三步法解牛吃草

三步法解“牛吃草問題”各種牛吃草問題演練大全“一堆草可供10頭牛吃3天，這堆草可供6頭牛吃幾天？”這道題太簡單了，一下就可求出：3X10寧6=5（天）如果我們把“一堆草”換成“一片正在生長的草地”，問題就不那么簡單了，因?yàn)椴菝刻於荚谏L，草的數(shù)量在不斷變化。這類工作總量不固定（均勻變化）的問題就是牛吃草問題。例1牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問：可供25頭牛吃幾天？分析與解：這類題難就難在牧場上草的數(shù)量每天都在發(fā)生變化，我們要想辦法從變化當(dāng)中找到不變的量?？偛萘靠梢苑譃槟翀錾显械牟莺托律L出來的草兩部分。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，因?yàn)槭莿蛩偕L，所以這片草地每天新長出的草的數(shù)量相同，即每天新長出的草是不變的。下面，就要設(shè)法計(jì)算出原有的草量和每天新長出的草量這兩個(gè)不變量。設(shè)1頭牛一天吃的草為1份。那么，10頭牛20天吃200份，草被吃完；15頭牛10天吃150份，草也被吃完。前者的總草量是200份，后者的總草量是150份，前者是原有的草加20天新長出的草，后者是原有的草加10天新長出的草。200－150=50（份），20—10=10（天），說明牧場10天長草50份，1天長草5份。也就是說，5頭牛專吃新長出來的草剛好吃完，5頭牛以外的牛吃的草就是牧場上原有的草。由此得出，牧場上原有草（10—5）X20=100（份）或（15—5）X10=100（份）現(xiàn)在已經(jīng)知道原有草100份，每天新長出草5份。當(dāng)有25頭牛時(shí)，其中的5頭專吃新長出來的草，剩下的20頭吃原有的草，吃完需100寧20=5（天）所以，這片草地可供25頭牛吃5天。在例1的解法中要注意三點(diǎn)：（1） 每天新長出的草量是通過已知的兩種不同情況吃掉的總草量的差及吃的天數(shù)的差計(jì)算出來的。（2） 在已知的兩種情況中，任選一種，假定其中幾頭牛專吃新長出的草，由剩下的牛吃原有的草，根據(jù)吃的天數(shù)可以計(jì)算出原有的草量。（3） 在所求的問題中，讓幾頭牛專吃新長出的草，其余的牛吃原有的草，根據(jù)原有的草量可以計(jì)算出能吃幾天。例2一個(gè)水池裝一個(gè)進(jìn)水管和三個(gè)同樣的出水管。先打開進(jìn)水管，等水池存了一些水后，再打開出水管。如果同時(shí)打開2個(gè)出水管，那么8分鐘后水池空；如果同時(shí)打開3個(gè)出水管，那么5分鐘后水池空。那么出水管比進(jìn)水管晚開多少分鐘？分析：雖然表面上沒有“牛吃草”，但因?yàn)榭偟乃吭诰鶆蜃兓?，“水”相?dāng)于“草”進(jìn)水管進(jìn)的水相當(dāng)于新長出的草，出水管排的水相當(dāng)于牛在吃草，所以也是牛吃草問題，解法自然也與例1相似。出水管所排出的水可以分為兩部分：一部分是出水管打開之前原有的水量，另一部分是開始排水至排空這段時(shí)間內(nèi)進(jìn)水管放進(jìn)的水。因?yàn)樵械乃渴遣蛔兊?，所以可以從比較兩次排水所用的時(shí)間及排水量入手解決問題。設(shè)出水管每分鐘排出水池的水為1份，則2個(gè)出水管8分鐘所排的水是2X8=16（份），3個(gè)出水管5分鐘所排的水是3X5=15（份）這兩次排出的水量都包括原有水量和從開始排水至排空這段時(shí)間內(nèi)的進(jìn)水量。兩者相減就是在8-5=3（分）內(nèi)所放進(jìn)的水量，所以每分鐘的進(jìn)水量是（16-15）/3=1/3（份）假設(shè)讓1/3個(gè)出水管專門排進(jìn)水管新進(jìn)得水,兩相抵消,其余得出水管排原有得水,可以求出原有水得水量為：（2-1/3）X8=40/3（份）或（3-1⑶X5=40/3（份）解:設(shè)出水管每分鐘排出得水為1份,每分鐘進(jìn)水量（2X8-3X5）/（8-5）=1/3（份）進(jìn)水管提前開了（2-1/3）X8寧1/3=40（分）答：出水管比進(jìn)水管晚開40分鐘。例3由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計(jì)算，可供多少頭牛吃10天？分析與解：與例1不同的是，不僅沒有新長出的草，而且原有的草還在減少。但是，我們同樣可以利用例1的方法，求出每天減少的草量和原有的草量。設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。20頭牛5天吃100份，15頭牛6天吃90份，100-90=10（份），說明寒冷使牧場1天減少青草10份，也就是說，寒冷相當(dāng)于10頭牛在吃草。由“草地上的草可供20頭牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10頭牛同時(shí)在吃草，所以牧場原有草（20+10）X5=150（份）由150寧10=15知，牧場原有草可供15頭牛吃10天，寒冷占去10頭牛，所以，可供5頭牛吃10天。例4自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級梯級，女孩每分鐘走15級梯級，結(jié)果男孩用了5分鐘到達(dá)樓上，女孩用了6分鐘到達(dá)樓上。問：該扶梯共有多少級？分析：與例3比較，“總的草量”變成了“扶梯的梯級總數(shù)”，“草”變成了“梯級”，“?！弊兂闪恕八俣取?，也可以看成牛吃草問題。上樓的速度可以分為兩部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自動(dòng)扶梯的速度。男孩5分鐘走了20X5=100（級）女孩6分鐘走了15X6=90（級）女孩比男孩少走了100－90=10（級），多用了6－5=1（分），說明電梯1分鐘走10級。由男孩5分鐘到達(dá)樓上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和，所以扶梯共有（20+10）X5=150（級）解：自動(dòng)扶梯每分鐘走（20X5—15X6）寧（6—5）=10（級）自動(dòng)扶梯共有（20+10）X5=150（級）答：扶梯共有150級。例5某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，同時(shí)開4個(gè)檢票口需30分鐘，同時(shí)開5個(gè)檢票口需20分鐘。如果同時(shí)打開7個(gè)檢票口，那么需多少分鐘？分析與解：等候檢票的旅客人數(shù)在變化，“旅客”相當(dāng)于“草”，“檢票口”相當(dāng)于“牛”，可以用牛吃草問題的解法求解。旅客總數(shù)由兩部分組成：一部分是開始檢票前已經(jīng)在排隊(duì)的原有旅客，另一部分是開始檢票后新來的旅客。設(shè)1個(gè)檢票口1分鐘檢票的人數(shù)為1份。因?yàn)?個(gè)檢票口30分鐘通過（4X30）份，5個(gè)檢票口20分鐘通過（5X20）份，說明在（30-20）分鐘內(nèi)新來旅客（4X30-5X20）份，所以每分鐘新來旅客（4X30-5X20）寧（30-20）=2（份）假設(shè)讓2個(gè)檢票口專門通過新來的旅客，兩相抵消，其余的檢票口通過原來的旅客，可以求出原有旅客為（4-2）X30=60（份）或（5-2）X20=60（份）同時(shí)打開7個(gè)檢票口時(shí)，讓2個(gè)檢票口專門通過新來的旅客，其余的檢票口通過原來的旅客，需要60寧（7-2）=12（分）例6有三塊草地，面積分別為5，6和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問：第三塊草地可供19頭牛吃多少天？分析與解：例1是在同一塊草地上，現(xiàn)在是三塊面積不同的草地。為了解決這個(gè)問題，只需將三塊草地的面積統(tǒng)一起來。[5,6,8]=120。因?yàn)?公頃草地可供11頭牛吃10天，120寧5=24,所以120公頃草地可供11X24=264（頭）牛吃10天。因?yàn)?公頃草地可供12頭牛吃14天，120寧6=20，所以120公頃草地可供12X20=240（頭）牛吃14天。120寧8=15，問題變?yōu)椋?20公頃草地可供19X15=285（頭）牛吃幾天？因?yàn)椴莸孛娣e相同，可忽略具體公頃數(shù)，所以原題可變?yōu)椋骸耙粔K勻速生長的草地，可供264頭牛吃10天，或供240頭牛吃14天，那么可供285頭牛吃幾天？”這與例1完全一樣。設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。每天新長出的草有（240X14—264X10）寧（14—10）=180（份）草地原有草（264—180）X10=840（份）?？晒?85頭牛吃840寧（285—180）=8（天）所以，第三塊草地可供19頭牛吃8天。牛吃草問題是行測數(shù)學(xué)運(yùn)算中的重要問題，也是我們考生最頭疼的問題。不過頭疼歸頭疼，我們還是要試著去把這攔路虎打倒了。一、問題提出有這樣的問題，如：牧場上有一片均勻生長的牧草，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周。那么它可供21頭牛吃幾周？這類問題統(tǒng)稱為"牛吃草"問題，它們的共同特點(diǎn)是由于每個(gè)單位時(shí)間草的數(shù)量在發(fā)生變化，從而導(dǎo)致時(shí)間不同，草的總量也不相同。目前小學(xué)奧數(shù)輔導(dǎo)教材中對此類問題的通用解法是用算術(shù)方法求出每個(gè)單位時(shí)間草的變化量等于多少頭牛的吃草量，再求出原有草的量等于多少頭牛的吃草量，從而得出答案。這種方法在數(shù)量之間的關(guān)系換算上較麻煩，一旦題目增加難度，或與工程問題結(jié)合，轉(zhuǎn)成進(jìn)水排水問題，常常使人找不到解題的正確思路。如果用方程思想求解此類問題，思路可以清晰，步驟也可以明確，并形成一個(gè)通用的方法。各種牛吃草問題演練大全三步法玩轉(zhuǎn)“牛吃草問題”解決牛吃草問題的幾種思路及其演變問題的方法二、方程解題方法用方程思路解決"牛吃草"問題的步驟可以概括為三步：1、 設(shè)定原有草的總量和單位時(shí)間草的變化量，一般設(shè)原有總量為1，單位時(shí)間變化量為X；2、 列出表格，分別表示牛的數(shù)量、時(shí)間總量、草的總量(原有總量+一定時(shí)間內(nèi)變化的量)、每頭牛單位時(shí)間吃草數(shù)量3、根據(jù)每頭牛單位時(shí)間吃草數(shù)量保持不變這一關(guān)系列方程求解X,從而可以求出任意時(shí)間的草的總量，也可以求出每頭牛單位時(shí)間吃草數(shù)量。從而針對題目問題設(shè)未知數(shù)為Y進(jìn)行求解。下面結(jié)合幾個(gè)例題進(jìn)行分析：例題1：一牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周。那么可供21頭牛吃幾周？解：第一步：設(shè)牧場原有草量為1,每周新長草X；第二步：列表格如下:牛的數(shù)量272321時(shí)間69Y草的總量1+6*X1+9*X1+Y*X根據(jù)每頭牛單位時(shí)間吃草數(shù)量保持不變這一關(guān)系列方程求解X有方程(1+6*X)/(27*6)=(1+9*X)/(23*9)求出X然后代到(1+9*X)/(23*9)=(1+Y*X)/21*Y牛吃草還有多種出題方式,例如題目演變之一(青草減少)例題2：由于天氣逐漸變冷,牧場上的草每天以均勻的速度減少。經(jīng)計(jì)算,牧場上的草可供20頭牛吃5天,或可供16頭牛吃6天。那么,可供11頭牛吃幾天？解：第一步，設(shè)牧場原有草量為1,每天減少草X；第二步,列表如下：牛的數(shù)量201611時(shí)間56Y草的總量1-5X1-6X1-YX每頭牛單位時(shí)間吃草數(shù)量(1-5X)/20*5(1-6X)/16*6(1-YX)/11Y第三步：根據(jù)表格第四行彼此相等列出方程：(1-5X)/20*5=(1-6X)/16*6(1)(1-5X)/20*5=(1-6X)/16*6(1)(1-5X)/20*5=(1-YX)/11Y (2)由(1)得到X=l/30,代入(2)得到Y(jié)=8(天)題目演變之二(排水問題)例題3：有一水池,池底有泉水不斷涌出。要想把水池的水抽干,10臺抽水機(jī)需抽8時(shí),8臺抽水機(jī)需抽12時(shí)。如果用6臺抽水機(jī),那么需抽多少小時(shí)？解：第一步：設(shè)水池原有水量為1,每小時(shí)泉水涌出X；第二步：列表格如下：抽水機(jī)數(shù)量1086時(shí)間812Y水的總量1+8X1+12X1+YX每臺抽水機(jī)單位時(shí)間抽水?dāng)?shù)量(1+8X)/10*8(1+12X)/8*12(1+YX)/6Y第三步：根據(jù)表格第四行彼此相等列出議程：(1+8X)/10*8=(1+12X)/8*12(1)(1+8X)/10*8=(1+YX)/6Y (2)由1得到X=1/12，代入(2)得到Y(jié)=24(小時(shí))題目演變之三(排隊(duì)問題)例題5：某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，若同時(shí)開5個(gè)檢票口則需30分鐘，若同時(shí)開6個(gè)檢票口則需20分鐘。如果要使隊(duì)伍10分鐘消失，那么需同時(shí)開幾個(gè)檢票口？(解：第一步：設(shè)開始檢票之前人數(shù)為1，每分鐘來人X；第二步：列表格如下：檢票口數(shù)量56Y時(shí)間302010人數(shù)總量1+30X1+20X1+10X每個(gè)檢票口單位時(shí)間檢票數(shù)量(1+30X)/50*30(1+20X)/6*20(1+10X)/10Y第三步：根據(jù)表格第四行彼此相等列出方程：(1+30X)/5*30=(1+20X)/6*20 (1)(1+30X)/5*30=(1+10X)/10Y (2)由(1)得到X=1/20,代入(2)得到Y(jié)=9(個(gè))題目演變之四(數(shù)量上限問題)題目類似:牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天,要使這片草地上的草永遠(yuǎn)吃不完，至少可以放幾頭牛？解答:最多可以供多少牛吃,其實(shí)換言之,就是永遠(yuǎn)不要?jiǎng)釉胁萘?因?yàn)槿绻刻觳莸脑隽坎粔?只要吃一份的原有草量,就總有一天會(huì)吃完),每天的牛剛好吃完草的增量就可以,牛的數(shù)量就是牛的最大數(shù)值那么從上可以解得x+20y=20*10x+10y=15*10x為原有草量y為每天