簡(jiǎn)易邏輯打印2021

專題復(fù)習(xí)簡(jiǎn)易邏輯

題型1.命題及四種命題的關(guān)系

1.寫一個(gè)命題的其他三種命題時(shí)，需注意：

(1)對(duì)于不是“若P，則q”形式的命題，需先改寫；

(2)若命題有大前提，寫其他三種命題時(shí)需保留大前提.

2.(1)判斷一個(gè)命題為真命題，要給出推理證明；判斷命題是假命題，只需舉出反例.

(2)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題直接判

斷不易時(shí)，可間接判斷.

1.下面命題中是真命題的是(C)

A.函數(shù)尸sirx的最小正周期是2mB.等差數(shù)列一定是單調(diào)數(shù)列

—?-?

C.在△力比'中，a>0,51l」cosA<cosBD.在△48。中，若力8?a>0,則角8為銳角

1——2JI

解：對(duì)A,y=sin、=---,周期7=.=n,故A為假命題；對(duì)B,當(dāng)公差為零時(shí)，數(shù)列為

乙乙

—?―?—?-?

常數(shù)列，故B為假命題；對(duì)D,當(dāng)?比>0時(shí)，48與比的夾角為銳角，角8為鈍角，故D為假命題.故

選C.

2.已知a,6為兩條不同的直線，a,￡為兩個(gè)不同的平面，且6_L￡,則下列命題中，

假命題是(D)

A.若a〃力，則?！ā闎.若a_L￡,則a_L6

C.若a,6相交，則。，尸相交D.若a,￡相交，則a,6相交

解：由已知blB,若a,￡相交，a,6有可能異面.故選D.

3.已知命題“Va^wR，若而>0,則a>0"，則它的否命題是(B)

A.Va,beR,若ah<0,則a<0B.R,若出?W0,則a?O

C.3a,beR,^ab<0,則a<0D.ma/eR,若昉W0,則a<0

解:命題"Va/eR,若，活>(),則」>()”，則它的否命題是“Va力eR,若而<O,則。40”.故選

B.

4.關(guān)于原命題“在△/阿中，若cos/=2sin8sinC,則△/比是鈍角三角形”的敘述：①原命題是

假命題；②逆命題為假命題；③否命題是假命題；④逆否命題為真命題.其中正確敘述的序號(hào)為

.②③④

解：在△48c中，若cos/=2sin8sinC,則一cos(8+0=2sin8sin。，得cos^osC+sin8sinC=0,

得cos(6—0=0,故6—C=90°或8—。=一90°,即6=0+90°或。=8+90°,故是鈍角

三角形，原命題與逆否命題為真命題.逆命題和否命題互為逆否命題，是假命題，如在鈍角△力回

、后十、歷、后一、傷

匚口，A=15°,B—15°，C=150°,cos4=cosl5°=，~sin8=sinl5°=乂_/丫，sinC

44

1A/6—\/2

=sinl50=~,2sin6sinC=-：ii~Wcos4

24

5.命題“函數(shù)尸1。&(/一"+4)的值域?yàn)镽”為真命題，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為.(-

8,—4]U[4,+°°)

解:因?yàn)閥=log2(*—加x+4)的值域?yàn)镽,所以u(píng)=f—fflx+4可以取遍所有正數(shù)，所以/=(一加尸

—4X1X420.解得后一4或mN4.

6.設(shè)有兩個(gè)命題：夕：函數(shù)y=log2(/—勿x+4)的定義域?yàn)镽；q：函數(shù)f(x)=—(7—3加尸是減函數(shù)，

若這兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)是真命題，求實(shí)數(shù)力的取值范圍.

解若命題0為真命題，則/〈環(huán)；若命題q為真命題，則7—3加>1,即加2.

所以命題。和q中有且只有一個(gè)是真命題時(shí)，有0真q假或。假,真，故而的取值范圍是2Wm<4或

m<4.

題型2：含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題

1.判斷含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的方法與步驟

確定含有邏輯根據(jù)真值表判斷

判斷其中簡(jiǎn)單

聯(lián)結(jié)詞的命題含有邏輯聯(lián)結(jié)詞

命題的真假

的構(gòu)成形式的命題的真假

復(fù)合命題的真值表:

PqP"，八9

真真真真假

真假真假假

假真真假真

假假假假真

L設(shè)瓦反彳是非零向量.已知命題0:若M?5=O,5?乙=0,則5疝=0；命題q：若

且即+可=忖-可，則萬J_5.則下列命題中真命題是(A)

A./?VqB.p/\qC.(qp)A(-]q)D.p/\(qq)

解：取a=c=(1,0),b=(0,1),顯然a,6=0,b?c—0,但a?c=lW0,，/?是假命題.又a,b,

c是非零向量，是真命題.綜上知/A/q是真命題，是假命題.1。為真命題，")(7為假命題.

(-1p)A(-)q)，p^(nQ)都是假命題.

2.已知命題。：*eR,2">3"；命題4：若sinx=——,則cos2x=sin、，則下列為真命題的是(A)

3

A-p/\qB.（「〃）AqC.〃A（r）D.（引入（引

解：由x=-l時(shí)，2'>3',則命題p是真命題；由三角函數(shù)的性質(zhì)可知：若sinx=3,則

3

(廠\2

sin2x=予=；,且cos2x=l-2sin2x=l-2xg=g,所以命題q是真命題.則所給的四個(gè)復(fù)合命題

中，只彳J〃△q是真命題.故選A.

題型3：已知含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假，求參數(shù)取值范圍

I)在R上是增函數(shù)‘命題，方程e+臺(tái)表示橢圓’若命題

3.設(shè)命題P：函數(shù)〃x)=4

“p'q”為真，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

3

A.B.—,+oo

2

2—〃＞0

i333

解：若〃為真，則。一上＞1即。.若9為真，則。一1〉0即或二＜。＜2.

22322

aw一

2

33

因?yàn)閜vq為真,故口真或4真，故實(shí)數(shù)。的取值范圍為1＜。＜一或?！挡还蔬x：C.

22

4.命題p：實(shí)數(shù)a滿足a?+a—620,命題q：函數(shù)ax+1的定義域?yàn)镽,若命題0Aq為

假，pVq為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：當(dāng)命題o為真時(shí)，即才+a—6N0,解得a22或aW—3；當(dāng)命題q為真時(shí)，可得a*—ax+120

[a＞0,

對(duì)任意xWR恒成立，若a=0,則滿足題意；若aWO,則有＜,＞解得0＜忘4,二

〔/=a2-4aW0,

O-，：p\q為假，似q為真，I.“0真q假”或"p假q真"，①當(dāng)。真＜?假時(shí)，則

，a＞4或aW—3；②當(dāng)0假g真時(shí)，則八二二’...OWaa....實(shí)數(shù)a的

.a＞4或aVO,[0WaW4,

取值范圍是(-8,-3]U[0,2)U(4,+8).

5.已知兩個(gè)命題p：sinx+cosx＞加，q：x+zz?%+l＞0,如果對(duì)任意xWR,有pVg為真，p/\q為假，

求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

解當(dāng)命題p是真命題時(shí)，由于xGR,則sinx+cosx=，^sin(x+7)，一位，

所以有水一裂.當(dāng)命題q是真命題時(shí)，由于xSR,x+/zi￥+l＞0,則A=/?—4＜0,解得一2〈水2.

由于夕Vq為真，p八q為假,所以。與q一真一假.

⑴當(dāng)夕真Q假時(shí)，卜一乎'得RW—2.(2)當(dāng)「假q真時(shí)，卜"一啦'得一小W成2.

[加22或加W—2,〔一2〈欣2,

綜上所述，實(shí)數(shù)加的取值范圍是(-8,-2]U[—/，2).

6.已知命題。：函數(shù)/'(x)=a*+4x+2有零點(diǎn)；命題q：函數(shù)/'(x)=sirr1"x在區(qū)間(0,a)內(nèi)只有一

個(gè)極值點(diǎn).若(「向人口為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：若函數(shù)Ax)=ax"+4x+2有零點(diǎn)，則a=0或aWO,4=16—8a20,即aW2；函數(shù)f(x)=sin—

x的周期7=4,若函數(shù)F(x)=sirrpv在區(qū)間(0,a)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則fvaV*,即lVaV3.

fa>2,

???(「0)八9為真命題，二0假°真，則。即2VaV3..?.實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,3).

、1VaV3,

題型4.全稱(特稱)命題的否定及真假判斷

1.全稱命題與特稱命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)別，否定全稱命題和特稱命題時(shí)，一是要改

寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；二是要否定結(jié)論，而一般命題的否

定只需直接否定結(jié)論.

2.判定全稱命題弘p(x)”是真命題，需要對(duì)集合物中的每一個(gè)元素X,證明p(x)成立；要

判斷特稱命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)至少找到一個(gè)使夕(m)成立.

1.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，則下列命題一定為真命題的是(C)

A.VxWR,B.VxWR,『(一才)W—f(x)

C.mxoWR,f(一加#f(xo)D.mxoGR,/(一為)*—F(x0)

解：...定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，???VxGR,7'(一入)=/'5)為假命題，..7照6比A-

X。)WF(xo)為真命題.

命題R,片+寫出命題〃的否定：VxeR,2

2.P：3x0e2/+2<0,x+2x+2>0

解:命題P是特稱命題，它的否定是全稱命題，所以命題P的否定為：VXGR,X2+2X+2>0.

3.命題“VxeR,3neN*.使得的否定形式是(口)

A.VxdR,3/?GN*,使得水xB.VxGR,V〃WN*,使得/Kf

C.mxGR,3/?GN*,使得/K/D.mxGR,V/?eN*,使得

解:根據(jù)含有量詞的命題的否定的概念可知D正確，故選D.

4.下列選項(xiàng)敘述錯(cuò)誤的是(C)

A.命題“若XH1,貝3X+2HO”的逆否命題是“若/一3X+2=0,則X=1"

B.若命題p：xeAnB,則命題力是A或8

C.p:a〉O,Vxe[l,2],都有/+4>%貝ij「p:a407xw[l,2],都有/+-!-4a

exex

D.“x>2”是“f—3%+2>0”的充分不必要條件

解:對(duì)于力：命題“若XH1,則/一3x+2xO”的逆否命題是“若/一3》+2=0,則尤=1"，故/

正確，所以力不符合題意;對(duì)于8：若命題P/GADB,即xeA且xeB,則命題力是x/A或x/B,

故8正確，所以3不符合題意；對(duì)于C：若0^9為真命題，則夕，q有一個(gè)為真命題或兩個(gè)都為真

命題，故C錯(cuò)誤，所以。符合題意；對(duì)于〃因?yàn)閂一3x+2>0,所以x>2或x<l,所以x>2”是

"/一3》+2>0”的充分不必要條件，故〃正確，所以〃不符合題意.故選：C

題型5.由全稱特稱命題的真假求參數(shù)的取值范圍

5.已知命題"對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,存在實(shí)數(shù)加，使得4*-2*+1+7=0.若命題夕是假命題，則實(shí)數(shù)

力的取值范圍為.(1,+°°)

解：設(shè)亡=2'>0,f(t)=——+21，，/■(。在(0,1]上為增函數(shù)，在[1,+8)上為減函數(shù)，/(1)=—

1+2=1,...對(duì)于任意的實(shí)數(shù)％有-4"+2*+iWL若命題p是真命題時(shí),有/=-4*+2'+Wl,.?.命

題。是假命題時(shí)，實(shí)數(shù)力的取值范圍為(1,+8).

6.已知0：方程才f+ax—2=0在[―1,1]上有解，q：只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足不等式*2+2ax+2aW0.

若命題2Mq為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是―(-l,0)U(0,1)

21

解：若p為真命題，則aWO,由「*+ax—2=0得(ax+2)(ax—1)=0,；￡=一一或十=一.[―

?33

1,1],，|上這1或|一[這1,即|a|21.二。為假命題時(shí),|a|<l.

若q為真命題，則只有一個(gè)實(shí)數(shù)*滿足/+2ax+2aW0,即函數(shù)尸系+2ax+2a的圖象與x軸只有

一個(gè)交點(diǎn)，.?.函數(shù)對(duì)應(yīng)的一元二次方程根的判別式zl=4a2-8a=0,

.,.a=0或a—2.：.p為假命題時(shí)，aWO且aW2.又0Vq為假命題，二0，q均為假命題，，有

f|a|<l,

]n/.-l<a<O^O<a<l.：.ae(-1,0)U(0,1).

7.已知函數(shù)f(x)=x'g{x)=H]V—若對(duì)Vx￡[—1,3],mx2G[0,2],使得/1(石)2g(%),則實(shí)

數(shù)力的取值范圍是.m2：

解：因?yàn)槊禰—1,3],所以f(%,)e[0,9],又因?yàn)閷?duì)VxP[—1,3],3^e[0,2]，使得f(xj2g(應(yīng))，

即三萬￡[0,2],gWWO,即(；)v2—辰0,所以心(；)"心/J，即心;.

題型6.充要條件的判定

應(yīng)用范圍：常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、平面向量、立體幾何、解析幾何等知識(shí)綜合考查.

常見的解法如下：1.命題的真假判斷法：設(shè)“若"則"'為原命題，那么：

①原命題為真，逆命題為假時(shí)，則。是q的充不必；②原命題為假，逆命題為真時(shí)，則O是q的必

不充；③當(dāng)原命題與逆命題都為真時(shí)，則P是q的充要條件；④當(dāng)原命題與逆命題都為假時(shí)，則0

是9的既不充也不必.

2.集合判斷法若p以集合力的形式出現(xiàn)，q以集合8的形式出現(xiàn)，即p：a{x)(x)],q,B={x\q^},

則①若AqB，則0是q的充分條件；②若則0是q的必要條件；

③若則。是q的充分不必要條件；④若B》A,則夕是q的必要不充分條件；

⑤若A=B,則夕是g的充要條件；⑥若A*16且8&A,則p是《的既不充分也不必要條件.

3.逆否法

①0是q的充分不必要條件OF是的充分不必要條件；

②?是q的必要不充分條件Or是的必要不充分條件；

③0是q的充要條件Or/是的充要條件；

④O是q的既不充分也不必要條件Of是f的既不充分也不必要條件.

2

1.'%2=1”是“函數(shù)f(x)=lg(^—+a)為奇函數(shù)”的(B)

1—x

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

29

解：a2=1=><?=±1,f(x)=lg(-------Fa)為奇函數(shù)等價(jià)于f(x)+f(—x)=0,即1g(:;-------Fa)+

1—x1—x

292

lg(7=+a)=0<=>(------+a)(TT-4-a)=1化簡(jiǎn)得a=-1,故選B.

1十x1—x1+x

2.設(shè)萬B均為單位向量，則“心r|,山”是“一”的(C)

a力\3a+b\^\a-3b\,alb

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解:|a—34=|3a+引<=>(a-3Z?)'=(3a+Z>)2<=>a2—6<a,8+9Z/=9a,+6a?8+b~,又「|a|=|b\—1,

'.a?0=0=a_l_6,因此|a—38|=13a+6|是ual.bn的充要條件.

3.已知a,8eR,則“H=l”是“直線ax+y—1=0和直線x+b，一1=0平行”的

A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件

解：，充分性：^'iab=\=>h,則直線x+/?y—1=0可變形為x+'y-1=0,即or+y-a=0,當(dāng)

aa

a=0=l時(shí)，兩直線重合，所以充分性不成立；必要性：若兩直線平行，則ax匕=lxl="=l,必

要性成立.故選C.

4.已知同=3,忖=4,則“卜+可=7”是“向量方與5共線”的(A)

A.充分而不必要B.必要而不充分C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解:若向量方與B同向共線，由同=3,*4,可得卜+同=7；

若向量M與5反向共線，由同=3,忖=4,可得k+,=1；所以由“向量汗與5共線”不能推出

“卜+可=7"；若W+日=7,同=3,忖=4,則向2+2=￡+W=49,所以M/=12,所以

rJ-ab

cos<6?,/?>=,r.=1,因?yàn)橄蛄苛伺c5夾角為<且5>40,句，所以<「,，>=(),即“向量1與5共

甲rI

線；所以由“卜+可=7”能推出“向量值與5共線”；因此，叩+小7”是“向量己與日共線”

的充分而不必要條件.

5.命題“五°eR,片-”+140”為假命題的一個(gè)必要不充分條件是(A)

A.ciG[—2,2]B.a￡（-2,1）C.cie[-2,1]D.ciG（—2,2）

解:命題“斗）eR,x：-叫‘+”（）”為假命題，則△=（-。丫-4<0,解得-2<”2,

對(duì)于A,-2<a<2能推出2,2],反之不成立，故A正確；對(duì)于B,-2<a<2不能推出ae（―2,1）,

反之成立，故B不正確；對(duì)于C,-2<a<2不能推出ae[-2,l],反之成立，故C不正確；

對(duì)于D,-2<”2能推出-2<a<2,反之成立，故D不正確.所以命題“叫eH,片-/+1<0”為

假命題的一個(gè)必要不充分條件是a曰-2,2].選：A

6.使得成立的充分不必要條件可以是（CD）

A.a>b-\B.-<yC.4a>4bD.0.3a-1<0.3*

ab

解:A.因?yàn)閍>》-l不能推出但可以推出a>》-1,所以a>b-1是”成立的必要不充

分條件，故不滿足；B.因?yàn)椤埂?不能推出（例如：a=-1,b=l）,且也不能推出,<?（例

abab

如：a=l9b=-l）,

所以是成立的既不充分也不必要條件，故不滿足；

ab

C.因?yàn)?/p>