2020-2021數學選擇性第一冊教師用書：第2章 2.6.2雙曲線的幾何性質

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學年新教材數學人教B版選擇性必修第一冊教師用書：第2章2.6.2雙曲線的幾何性質2.學習目標核心素養(yǎng)1．了解雙曲線的簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、實軸長和虛軸長等）．2．理解離心率的定義、取值范圍和漸近線方程．（重點）3．能用雙曲線的簡單幾何性質解決一些簡單問題．(難點）1．通過對雙曲線幾何性質的學習,培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．2．借助于幾何性質的應用，提升邏輯推理，數學運算素養(yǎng)．我們知道，橢圓是一條封閉的曲線，而雙曲線是兩支“開放式”的曲線，橢圓既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，它具有四個頂點,離心率的范圍是(0,1)，它的大小決定著橢圓的扁圓程度;雙曲線和橢圓有著相似之處，那雙曲線又有怎樣的性質呢?讓我們一起對雙曲線的性質進行探究吧！1．雙曲線的幾何性質標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2，b2）＝1（a＞0，b＞0)eq\f(y2，a2）－eq\f（x2,b2)＝1(a＞0,b＞0）性質圖形焦點（－c，0）,（c,0）(0，－c），(0,c)焦距2范圍x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸:坐標軸；對稱中心：原點頂點A1(－a,0），A2（a,0）A1（0，－a），A2(0，a)軸實軸：線段A1A2，長：2a;虛軸：線段B1B2，長：2b；半實軸長:a離心率e＝eq\f(c，a）∈（1，＋∞)漸近線y＝±eq\f（b，a)xy＝±eq\f(a,b)x思考1：能否用a，b表示雙曲線的離心率？[提示］能。e＝eq\f（c,a）＝eq\f（\r(a2＋b2）,a)＝eq\r（1＋\f（b2，a2))．思考2：離心率對雙曲線開口大小有影響嗎？滿足什么對應關系?［提示]有影響，因為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r（a2＋b2）,a）＝eq\r(1＋\f（b2，a2))，故當eq\f(b，a)的值越大，漸近線y＝eq\f(b，a)x的斜率越大，雙曲線的開口越大,e也越大,所以e反映了雙曲線開口的大小，即雙曲線的離心率越大，它的開口就越大．2．等軸雙曲線實軸長和虛軸長相等的雙曲線叫等軸雙曲線,它的漸近線是y＝±x，離心率e＝eq\r(2）．1．思考辨析(正確的打“√”,錯誤的打“×")（1）等軸雙曲線的離心率為eq\r（2)． （)（2）雙曲線eq\f（y2，a2)－eq\f(x2，b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a）x． (）(3）離心率越大，雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2，b2)＝1的漸近線的斜率絕對值越大． （）［答案](1）√（2）×(3)√[提示］（1)√因為a＝b，所以c＝eq\r(2)a，所以e＝eq\f(c，a）＝eq\r(2）．（2）×由eq\f（y2，a2）－eq\f（x2,b2）＝1，得y＝±eq\f(a,b）x，所以漸近線方程為y＝±eq\f（a，b）x．（3)√由eq\f（b,a)＝eq\f（\r（c2－a2）,a)＝eq\r（e2－1)(e＞1）,所以e越大，漸近線y＝±eq\f（b,a）x斜率的絕對值越大．2．若0<k〈a，則雙曲線eq\f（x2,a2－k2）－eq\f(y2,b2＋k2)＝1與eq\f（x2，a2)－eq\f(y2,b2）＝1有()A．相同的實軸B．相同的虛軸C．相同的焦點 D．相同的漸近線C［∵0＜k＜a，∴a2－k2＞0．∴c2＝（a2－k2）＋(b2＋k2)＝a2＋b2．］3．x2－eq\f(y2,4)＝1的漸近線方程為()A．y＝±2xB．y＝±eq\f（1，2)xC．y＝±4x D．y＝±eq\f(1，4）xA[雙曲線x2－eq\f（y2,4）＝1焦點在x軸上且a2＝1，b2＝4，∴a＝1,b＝2,y＝±eq\f(b，a)x＝±2x．］4．已知雙曲線的焦點為(－4,0),（4,0），離心率為2，則雙曲線的標準方程為．eq\f(x2,4）－eq\f（y2,12）＝1［∵e＝eq\f(c，a）＝2，c＝4，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝12，且焦點在x軸上,故標準方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12）＝1．]5．已知雙曲線的漸近線方程是y＝±4x，則其離心率為．eq\r（17）或eq\f(\r（17）,4）[若雙曲線焦點在x軸上，依題意得,eq\f（b,a)＝4，∴eq\f（b2,a2)＝16,即eq\f（c2－a2,a2）＝16,∴e2＝17，e＝eq\r(17）．若雙曲線焦點在y軸上，依題意得，eq\f(a，b)＝4．∴eq\f(b,a)＝eq\f（1,4），eq\f（b2,a2）＝eq\f（1，16)，即eq\f(c2－a2，a2）＝eq\f（1,16）．∴e2＝eq\f(17,16），故e＝eq\f（\r（17)，4)，即雙曲線的離心率是eq\r(17)或eq\f（\r(17)，4)．］由雙曲線的標準方程求其簡單的幾何性質【例1】求雙曲線9y2－4x2＝－36的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程．［思路探究]要將雙曲線方程化成標準方程，然后由各個所求量的定義作答．[解］將9y2－4x2＝－36變形為eq\f(x2,9)－eq\f（y2,4)＝1，即eq\f(x2，32)－eq\f(y2，22）＝1,∴a＝3，b＝2，c＝eq\r(13）,因此頂點為A1(－3,0)，A2(3,0），焦點坐標為F1(－eq\r(13)，0)，F2（eq\r（13)，0)，實軸長是2a＝6，虛軸長是2b離心率e＝eq\f(c,a）＝eq\f（\r(13),3)，漸近線方程y＝±eq\f(b，a）x＝±eq\f(2，3)x．由雙曲線的方程研究幾何性質的解題步驟1把雙曲線方程化為標準形式是解決本題的關鍵.2由標準方程確定焦點位置,確定a、b的值.3由c2＝a2＋b2求出c值,從而寫出雙曲線的幾何性質.eq\o(［跟進訓練]）1．求雙曲線eq\f（x2，3）－eq\f(y2,4)＝1的實軸長、虛軸長、頂點坐標、焦點坐標、離心率和漸近線方程．[解]由題意知a2＝3，b2＝4,所以c2＝a2＋b2＝3＋4＝7，解得a＝eq\r（3），b＝2,c＝eq\r(7）．因此，雙曲線的實軸長2a＝2eq\r（3），虛軸長2b＝4．頂點坐標為(－eq\r(3)，0），（eq\r（3），0)，焦點坐標為(－eq\r(7），0），(eq\r(7），0）．離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f（\r(7），\r（3)）＝eq\f(\r（21)，3)，由于該雙曲線的焦點在x軸上，所以漸近線方程為y＝±eq\f（b,a）x，即y＝±eq\f（2\r(3）,3）x．由雙曲線的幾何性質確定標準方程【例2】根據下列條件,分別求出雙曲線的標準方程．(1）過點P（3，－eq\r（2)），離心率e＝eq\f（\r(5）,2）；（2）與雙曲線eq\f（x2，9)－eq\f(y2,16）＝1有共同的漸近線,且過點(－3，2eq\r(3）)．[思路探究］（1）（2)中焦點位置不明確，應先討論焦點位置；再根據已知條件求解,對于(2）也可以根據漸近線方程設雙曲線的方程求解．［解](1）依題意,雙曲線的焦點可能在x軸上，也可能在y軸上，分別討論如下：①若雙曲線的焦點在x軸上，設雙曲線的方程為eq\f（x2,a2）－eq\f(y2,b2）＝1(a＞0，b＞0)．由e＝eq\f(\r(5）,2)，得eq\f(c2，a2)＝eq\f(5，4)． ①由點P（3，－eq\r(2）)在雙曲線上，得eq\f（9，a2)－eq\f(2,b2）＝1． ②又a2＋b2＝c2，結合①②，得a2＝1,b2＝eq\f（1，4)．∴雙曲線的方程為x2－eq\f（y2,\f（1,4))＝1．②若雙曲線的焦點在y軸上,設雙曲線的方程為eq\f(y2，a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．同理有eq\f（c2,a2)＝eq\f(5,4)，eq\f(2，a2)－eq\f（9，b2）＝1，a2＋b2＝c2，解得b2＝－eq\f（17，2)(不合題意，舍去）．故雙曲線的焦點只能在x軸上，∴所求雙曲線的方程為x2－eq\f（y2，\f（1,4)）＝1．(2）法一：雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f（y2，16）＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(4,3)x．①當所求雙曲線的焦點在x軸上時，設標準方程為eq\f（x2，a2)－eq\f（y2,b2)＝1（a＞0，b＞0)，由題意,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（b，a）＝\f（4,3),,\f(9，a2）－\f（12,b2)＝1，）)解得a2＝eq\f(9,4)，b2＝4．∴雙曲線的方程為eq\f(x2，\f（9,4））－eq\f(y2，4)＝1．②當所求雙曲線的焦點在y軸上時，設標準方程為eq\f(y2，a2)－eq\f（x2,b2)＝1(a＞0,b＞0），由題意可得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(a，b)＝\f（4，3)，，\f（12，a2）－\f(9,b2）＝1，))此方程組無解，∴所求雙曲線的方程為eq\f(x2,\f(9，4))－eq\f(y2，4)＝1．法二：∵所求雙曲線與雙曲線eq\f(x2，9）－eq\f(y2,16)＝1有共同的漸近線．∴設所求雙曲線的方程為eq\f(x2,9）－eq\f（y2,16)＝λ（λ≠0）．將點(－3，2eq\r（3））代入,得eq\f(9,9)－eq\f(12，16）＝λ,即λ＝eq\f（1,4)，∴雙曲線的方程為eq\f（x2,9)－eq\f(y2,16）＝eq\f(1,4）,即為eq\f(x2,\f(9,4)）－eq\f（y2,4)＝1．求雙曲線的標準方程的方法與技巧(1)根據雙曲線的某些幾何性質求雙曲線方程，一般用待定系數法轉化為解方程（組)，但要注意焦點的位置,從而正確選擇方程的形式．（2）利用漸近線與雙曲線的位置關系，設有公共漸近線的雙曲線方程eq\f（x2，a2）－eq\f（y2，b2）＝λ（λ≠0)，這樣可避免分類討論，從而減少運算量，提高解題速度與準確性．拓展延伸：巧設雙曲線的六種方法與技巧(1)焦點在x軸上的雙曲線的標準方程可設為eq\f（x2，a2）－eq\f(y2,b2）＝1(a〉0,b>0)．（2）焦點在y軸上的雙曲線的標準方程可設為eq\f(y2,a2)－eq\f（x2,b2）＝1(a>0，b>0)．（3）與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f（y2，b2)＝1共焦點的雙曲線方程可設為eq\f(x2,a2－λ)－eq\f(y2，b2＋λ）＝1(λ≠0，－b2＜λ＜a2)．(4）與雙曲線eq\f（x2,a2）－eq\f（y2，b2)＝1具有相同漸近線的雙曲線方程可設為eq\f(x2,a2）－eq\f（y2，b2）＝λ（λ≠0）．（5)漸近線為y＝kx的雙曲線方程可設為k2x2－y2＝λ(λ≠0）．（6）漸近線為ax±by＝0的雙曲線方程可設為a2x2－b2y2＝λ（λ≠0)．eq\o(［跟進訓練]）2．求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1）一個焦點為(0,13)，且離心率為eq\f（13，5）;(2）漸近線方程為y＝±eq\f(1，2）x，且經過點A(2，－3)．［解］(1)依題意可知，雙曲線的焦點在y軸上，且c＝13，又eq\f(c，a）＝eq\f(13,5）,∴a＝5，b2＝c2－a2＝144，故其標準方程為eq\f（y2,25）－eq\f（x2,144）＝1．（2）∵雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f（1，2)x，若焦點在x軸上，設所求雙曲線的標準方程為eq\f（x2，a2)－eq\f(y2，b2）＝1（a＞0，b＞0），則eq\f（b，a)＝eq\f(1,2）． ①∵A(2，－3）在雙曲線上,∴eq\f（4，a2)－eq\f(9,b2)＝1． ②由①②聯(lián)立，無解．若焦點在y軸上，設所求雙曲線的標準方程為eq\f(y2，a2)－eq\f（x2,b2）＝1(a〉0，b>0），則eq\f(a，b）＝eq\f(1，2）． ③∵A(2，－3)在雙曲線上，∴eq\f（9,a2）－eq\f(4,b2）＝1． ④由③④聯(lián)立，解得a2＝8，b2＝32．∴所求雙曲線的標準方程為eq\f（y2,8)－eq\f(x2,32)＝1．與雙曲線有關的離心率問題［探究問題］1．求離心率的突破點是什么？[提示]通過已知條件結合雙曲線的幾何性質建立等式關系．2．如何求離心率的取值范圍？［提示］利用定義結合已知條件建立不等關系求解．【例3】已知A、B為雙曲線E的左、右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，求E的離心率．[解]設雙曲線方程為eq\f（x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0），如圖所示，|AB｜＝｜BM｜，∠ABM＝120°,過點M作MN⊥x軸,垂足為N，在Rt△BMN中,|BN｜＝a,|MN｜＝eq\r（3)a，故點M的坐標為M(2a，eq\r（3)a）,代入雙曲線方程得a2＝b2，所以e＝eq\r（2)．(變換條件）設F1，F2是雙曲線C：eq\f（x2，a2）－eq\f（y2，b2)＝1（a＞0,b＞0)的兩個焦點，若PF1⊥PF2且∠PF1F2＝30°,求離心率．［解]在直角三角形PF1F2中，由題設可知：｜F1F2｜＝2c,｜PF2｜＝c，｜PF1｜＝eq\r(3）c，又｜PF1｜－｜PF2|＝2a，所以2a＝eq\r(3c）－c，e＝eq\f(c,a)＝eq\f（2，\r（3)－1)＝eq\r(3）＋1．求離心率的方法與技巧(1)求雙曲線離心率的常見方法：一是依據條件求出a，c，再計算e＝eq\f（c，a）;二是依據條件建立參數a,b，c的關系式，一種方法是消去b轉化成離心率e的方程求解，另一種方法是消去c轉化成含eq\f(b,a）的方程,求出eq\f（b,a）后利用e＝eq\r(1＋\f(b2,a2)）求離心率．(2)求離心率的范圍一般是根據條件建立a，b，c的不等式，通過解不等式得eq\f(c，a)或eq\f（b,a)的范圍，再求得離心率的范圍．與漸進線有關的問題【例4】如圖，已知F1，F2為雙曲線eq\f(x2,a2）－eq\f(y2,b2）＝1(a＞0，b＞0）的焦點，過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，且∠PF1F2＝30°，求雙曲線的漸近線方程．［思路探究]根據Rt△PF2F1中的邊角關系及雙曲線的定義可得a，b［解]設F2（c,0），（c＞0），P（c,y0)，則eq\f（c2，a2）－eq\f(y\o\al(2，0)，b2）＝1，解得y0＝±eq\f（b2,a)．∴｜PF2|＝eq\f（b2，a）．在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，則｜PF1｜＝2｜PF由雙曲線的定義，得|PF1|－|PF2|＝2a由①②，得|PF2｜＝2a∵|PF2|＝eq\f（b2，a)，∴2a＝eq\f(b2，a），即b2＝2a2．∴eq\f（b，a)＝eq\r（2）．∴漸近線方程為y＝±eq\r(2）x．1．雙曲線eq\f（x2,a2）－eq\f（y2，b2）＝1的漸近線為y＝±eq\f（b，a)x，雙曲線eq\f（y2,a2)－eq\f(x2，b2）＝1的漸近線為y＝±eq\f（a,b)x，兩者容易記混，可將雙曲線方程中的“1”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程．2．若已知漸近線方程為mx±ny＝0,求雙曲線方程,雙曲線的焦點可能在x軸上，也可能在y軸上，可用下面的方法來解決．方法一：分兩種情況設出方程進行討論．方法二：依據漸近線方程,設出雙曲線方程m2x2－n2y2＝λ(λ≠0），求出λ即可．顯然方法二較好，避免了討論．3．有共同漸近線的雙曲線的方程．與雙曲線eq\f(x2，a2)－eq\f(y2，b2）＝1有共同漸近線的雙曲線方程可設為eq\f(x2，a2）－eq\f(y2,b2）＝λ（λ≠0)．若λ＞0,則實軸在x軸上；若λ＜0，則實軸在y軸上，再依據題設條件可確定λ．eq\o(［跟進訓練］）3．雙曲線C的對稱軸與坐標軸重合，兩個焦點分別為F1，F2，虛軸的一個端點為A，若△AF1F2是頂角為120°的等腰三角形．求雙曲線C［解]雙曲線C的對稱軸與坐標軸重合，兩個焦點分別為F1，F2，虛軸的一個端點為A，若△AF1F2可得c＝eq\r(3）b，所以c2＝3b2，即a2＋b2＝3b2，a2＝2b2，解得eq\f(b,a）＝eq\f(\r(2),2）,或eq\f(a，b)＝eq\r(2）．所以雙曲線的漸近線方程為:y＝±eq\r（2)x或y＝±eq\f（\r(2），2)x．1．漸近線是雙曲線特有的性質．兩方程聯(lián)系密切，把雙曲線的標準方程eq\f（x2，a2)－eq\f(y2,b2）＝1(a＞0，b＞0）右邊的常數1換為0，就是漸近線方程．反之由漸近線方程ax±by＝0變?yōu)閍2x2－b2y2＝λ，再結合其他條件求得λ就可得雙曲線方程．2．準確畫出幾何圖形是解決解析幾何問題的第一突破口．對圓錐曲線來說，漸近線是雙曲線特有的性質，利用雙曲線的漸近線來畫雙曲線特別方便,而且較為精確，只要作出雙曲線的兩個頂點和兩條漸近線，就能畫出它的近似圖形．1．中心在原點，實軸長為10，虛軸長為6的雙曲線的標準方程是()A．eq\f（x2，25）－eq\f(y2，9）＝1 B．eq\f(x2，25）－eq\f（y2，9）＝1或eq\f（y2,25)－eq\f(x2，9)＝1C．eq\f（x2,100）－eq\f(y2,36)＝1 D．eq\f(x2,100）－eq\f(y2,36)或eq\f（y2，100)－eq\f(x2,36）＝1B[實軸長為10,虛軸長為6，所以a＝5，b＝3．當焦點在x軸上時，方程為eq\f（x2，25）－eq\f(y2,9)＝1；當焦點在y軸上時，方程為eq\f(y2，25）－eq\f(x2,9）＝1．]2．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f（y2,b2）＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程是y＝±eq\f(\r（3),3）x，則雙曲線的離心率為（）A．eq\f（3,2) B．eq\f（2\r(3）,3）C．eq\f（\r（7），4） D．eq\f（\r（5)，5)B[由雙曲線的漸近線方程是y＝±eq\f（\r（3)，3)x知eq\f（b，a）＝eq\f(\r(3）,3），所以b＝eq\f(\r（3),3)a,所以c2＝a2＋b2＝a2＋eq\f（1，3）a2＝eq\f（4，3）a2，所以e2＝eq\f（c2,a2)＝eq\f(4，3），所以e＝eq\f(2\r（3）,3）．故選B．］3．已知雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f（x，2），虛軸長為4，則該雙曲線的標準方程是．eq\f(x2,16）－eq\f(y2，4)＝1或y2－e