高中數(shù)學(xué)排列與組合

關(guān)于高中數(shù)學(xué)排列與組合第1頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日從已知的3個(gè)不同元素中每次取出2個(gè)元素,并成一組問(wèn)題2從已知的3

個(gè)不同元素中每次取出2個(gè)元素,按照一定的順序排成一列.問(wèn)題1排列組合有順序無(wú)順序第2頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．

排列與組合的概念有什么共同點(diǎn)與不同點(diǎn)？

概念講解組合定義:第3頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日組合定義:

一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．排列定義:一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)

個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從

n個(gè)不同元素中取出

m個(gè)元素的一個(gè)排列.共同點(diǎn):都要“從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素”不同點(diǎn):排列與元素的順序有關(guān)，而組合則與元素的順序無(wú)關(guān).概念講解第4頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日思考一:ab與ba是相同的排列還是相同的組合?為什么?思考二:兩個(gè)相同的排列有什么特點(diǎn)?兩個(gè)相同的組合呢?１）元素相同；２）元素排列順序相同.元素相同概念理解

構(gòu)造排列分成兩步完成，先取后排；而構(gòu)造組合就是其中一個(gè)步驟.思考三:組合與排列有聯(lián)系嗎?第5頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日判斷下列問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題?

(1)設(shè)集合A={a,b,c,d,e}，則集合A的含有3個(gè)元素的子集有多少個(gè)?(2)某鐵路線上有5個(gè)車站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車票?有多少種不同的火車票價(jià)？組合問(wèn)題排列問(wèn)題(3)10名同學(xué)分成人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和英語(yǔ)兩個(gè)學(xué)習(xí)小組,共有多少種分法?組合問(wèn)題(4)10人聚會(huì)，見面后每?jī)扇酥g要握手相互問(wèn)候,共需握手多少次?組合問(wèn)題(5)從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)游覽,有多少種不同的方法?組合問(wèn)題(6)從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè),并確定這2個(gè)風(fēng)景點(diǎn)的游覽順序,有多少種不同的方法?排列問(wèn)題組合問(wèn)題組合是選擇的結(jié)果，排列是選擇后再排序的結(jié)果.第6頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1.從a,b,c三個(gè)不同的元素中取出兩個(gè)元素的所有組合分別是:ab,ac,bc

2.已知4個(gè)元素a,b,c,d

,寫出每次取出兩個(gè)元素的所有組合.abcd

bcd

cd

ab,ac,ad,bc,bd,cd(3個(gè))(6個(gè))概念理解第7頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示.如:從a,b,c三個(gè)不同的元素中取出兩個(gè)元素的所有組合個(gè)數(shù)是:如:已知4個(gè)元素a、b、c、d,寫出每次取出兩個(gè)元素的所有組合個(gè)數(shù)是：概念講解組合數(shù):注意：是一個(gè)數(shù)，應(yīng)該把它與“組合”區(qū)別開來(lái)．

第8頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1.寫出從a,b,c,d

四個(gè)元素中任取三個(gè)元素的所有組合。abc，abd，acd，bcd.bcddcbacd練一練第9頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日組合排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb不寫出所有組合，怎樣才能知道組合的種數(shù)？你發(fā)現(xiàn)了什么?第10頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日如何計(jì)算:第11頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日組合數(shù)公式

排列與組合是有區(qū)別的，但它們又有聯(lián)系．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到：因此：

一般地，求從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，可以分為以下2步：

第1步，先求出從這個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)．

第2步，求每一個(gè)組合中個(gè)元素的全排列數(shù)．

這里，且，這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式．

概念講解第12頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日組合數(shù)公式:

從n個(gè)不同元中取出m個(gè)元素的排列數(shù)概念講解第13頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例1計(jì)算：⑴

⑵

例2.甲、乙、丙、丁4支足球隊(duì)舉行單循環(huán)賽，(1)列出所有各場(chǎng)比賽的雙方；（2)列出所有冠亞軍的可能情況.（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁

乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙(1)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：例題分析(4)求第14頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例3第15頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例1：一位教練的足球隊(duì)共有17名初級(jí)學(xué)員，他們中以前沒(méi)有一人參加過(guò)比賽。按照足球比賽規(guī)則，比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場(chǎng)隊(duì)員是11人。問(wèn)：（1）這位教練從這17名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場(chǎng)方案？（2）如果在選出11名上場(chǎng)隊(duì)員時(shí)，還要確定其中的守門員，那么教練員有多少種方式做這件事情？第16頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例3.(1)凸五邊形有多少條對(duì)角線？(2)凸n（n>3）邊形有多少條對(duì)角線？例2.(1)平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？(2)平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？第17頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例4：在100件產(chǎn)品中有98件合格品，2件次品。產(chǎn)品檢驗(yàn)時(shí),從100件產(chǎn)品中任意抽出3件。(1)一共有多少種不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少種？說(shuō)明：“至少”“至多”的問(wèn)題，通常用分類法或間接法求解。第18頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日變式練習(xí)按下列條件，從12人中選出5人，有多少種不同選法？（1）甲、乙、丙三人必須當(dāng)選；（2）甲、乙、丙三人不能當(dāng)選；（3）甲必須當(dāng)選，乙、丙不能當(dāng)選；（4）甲、乙、丙三人只有一人當(dāng)選；（5）甲、乙、丙三人至多2人當(dāng)選；（6）甲、乙、丙三人至少1人當(dāng)選；第19頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例5、某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現(xiàn)要派5人參加支邊醫(yī)療隊(duì)，至少要有1名內(nèi)科醫(yī)生和1名外科醫(yī)生參加，有多少種選法？例6：（1）平面內(nèi)有9個(gè)點(diǎn)，其中4個(gè)點(diǎn)在一條直線上，此外沒(méi)有3個(gè)點(diǎn)在一條直線上，過(guò)這9個(gè)點(diǎn)可確定多少條直線？可以作多少個(gè)三角形？（2）空間12個(gè)點(diǎn)，其中5個(gè)點(diǎn)共面，此外無(wú)任何4個(gè)點(diǎn)共面，這12個(gè)點(diǎn)可確定多少個(gè)不同的平面？第20頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例7、有翻譯人員11名，其中5名僅通英語(yǔ)、4名僅通法語(yǔ)，還有2名英、法語(yǔ)皆通?，F(xiàn)欲從中選出8名，其中4名譯英語(yǔ)，另外4名譯法語(yǔ)，一共可列多少?gòu)埐煌拿麊?？?、8雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求滿足如下條件各有多少種情況：（1）4只鞋子恰有兩雙；（2）4只鞋子沒(méi)有成雙的；（3）4只鞋子只有一雙。第21頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日課堂練習(xí)：2、從6位同學(xué)中選出4位參加一個(gè)座談會(huì)，要求張、王兩人中至多有一個(gè)人參加，則有不同的選法種數(shù)為

。3、要從8名男醫(yī)生和7名女醫(yī)生中選5人組成一個(gè)醫(yī)療隊(duì)，如果其中至少有2名男醫(yī)生和至少有2名女醫(yī)生，則不同的選法種數(shù)為（）4、從7人中選出3人分別擔(dān)任學(xué)習(xí)委員、宣傳委員、體育委員，則甲、乙兩人不都入選的不同選法種數(shù)共有（）1、把6個(gè)學(xué)生分到一個(gè)工廠的三個(gè)車間實(shí)習(xí)，每個(gè)車間2人，若甲必須分到一車間，乙和丙不能分到二車間，則不同的分法有

種。99CD第22頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日5、在如圖7x4的方格紙上（每小方格均為正方形）（1）其中有多少個(gè)矩形？（2）其中有多少個(gè)正方形？課堂練習(xí)：第23頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日排列組合組合的概念組合數(shù)的概念組合是選擇的結(jié)果，排列是選擇后再排序的結(jié)果聯(lián)系小結(jié)第24頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球．⑴從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？⑵從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？⑶從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？

⑵

⑶

解：（1）

性質(zhì)2第25頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

我們可以這樣解釋：從口袋內(nèi)的8個(gè)球中所取出的3個(gè)球，可以分為兩類：一類含有1個(gè)黑球，一類不含有黑球．因此根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，上述等式成立．

我們發(fā)現(xiàn)：為什么呢第26頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日性質(zhì)2第27頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

注:1

公式特征：下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個(gè)組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與原組合數(shù)上標(biāo)較大的相同的一個(gè)組合數(shù)．

2

此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡(jiǎn)化運(yùn)算．在今后學(xué)習(xí)“二項(xiàng)式定理”時(shí)，我們會(huì)看到它的主要應(yīng)用．第28頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例１計(jì)算：第29頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例2求證:第30頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日一、等分組與不等分組問(wèn)題例3、6本不同的書，按下列條件，各有多少種不同的分法；（1）分給甲、乙、丙三人，每人兩本；（2）分成三份，每份兩本；（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分給甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分給甲、乙、丙3人，每人至少一本；（6）分給5個(gè)人，每人至少一本；（7）6本相同的書，分給甲乙丙三人，每人至少一本。第31頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日練習(xí)：(1)今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分成三份,二份各1件,另一份4件,有多少種分法?(2)今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分給甲乙丙三人,每人二件有多少種分法?解:(1)(2)第32頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例4、某城新建的一條道路上有12只路燈，為了節(jié)省用電而不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，可以熄滅的方法共有（）（A）種（B）種（C）種（D）種二、不相鄰問(wèn)題插空法第33頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日三、混合問(wèn)題，先“組”后“排”例5對(duì)某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一進(jìn)行測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測(cè)試時(shí)全部發(fā)現(xiàn),則這樣的測(cè)試方法有種可能？解：由題意知前5次測(cè)試恰有4次測(cè)到次品，且第5次測(cè)試是次品。故有：種可能。第34頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日練習(xí)：1、某學(xué)習(xí)小組有5個(gè)男生3個(gè)女生，從中選3名男生和1名女生參加三項(xiàng)競(jìng)賽活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)至少有1人參加，則有不同參賽方法______種.解：采用先組后排方法:2、3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢,每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士,不同的分配方法共有多少種?解法一：先組隊(duì)后分校（先分堆后分配）解法二：依次確定到第一、第二、第三所學(xué)校去的醫(yī)生和護(hù)士.第35頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日四、分類組合,隔板處理例6、從