《線性代數(shù)》第五章 二次型

線性代數(shù)二次型第五章二次型不但在幾何中出現(xiàn)，而且在數(shù)學(xué)的其他分支中也有類似問題．研究二次型經(jīng)過線性變換化為平方和形式，這是本章討論的中心問題．第五章5.1二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形定義１含有個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式，（1）其中，稱為個(gè)變量的實(shí)二次型．當(dāng)為復(fù)數(shù)時(shí)，稱為復(fù)二次型．本教材中只討論實(shí)二次型．若取，則，于是（1）式可寫為（2）．第五章5.1二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形二、用正交變換法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形定理１任給二次型，總有正交變換，使化為標(biāo)準(zhǔn)形

，其中是的矩陣的特征值．推論任給二次型，總有可逆變換，使為規(guī)范形．第五章5.1二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形三、用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，除正交變換法外，還有多種不同的方法（對(duì)應(yīng)有多個(gè)可逆的線性變換），下面介紹拉格朗日配方法．下面舉例來說明這種方法．定義３二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中，系數(shù)為正的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為的正慣性指數(shù)；系數(shù)為負(fù)的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為的負(fù)慣性指數(shù)．其中是二次型的秩．定理２二次型的任一標(biāo)準(zhǔn)形中，系數(shù)為正的平方項(xiàng)是唯一確定的，它等于的正慣性指數(shù)；而系數(shù)為負(fù)的平方項(xiàng)也是唯一確定的，它等于的負(fù)慣性指數(shù)．第五章5.2正定二次型一、正定二次型的概念第五章5.2正定二次型一、正定二次型的概念第五章5.2正定二次型一、正定二次型的概念定理１元實(shí)二次型為正定的充分必要條件是：它的標(biāo)準(zhǔn)形的個(gè)系數(shù)全為正．定理２可逆變換不改變二次型的正定性．推論１元實(shí)二次型為正定的充分必要條件是：它的規(guī)范形為.推論２元實(shí)二次型為正定的充分必要條件是：它的正慣性指數(shù)為．推論３實(shí)對(duì)稱矩陣為正定矩陣的充分必要條件是：與單位矩陣合同．推論４實(shí)對(duì)稱矩陣為正定矩陣的充分必要條件是：的特征值全為正．第五章5.2正定二次型二、正定二次型的判定定義２設(shè)階矩陣，稱下列個(gè)行列式為矩陣的各階順序主子式：．的第階順序主子式記作．第五章5.2正定二次型二、正定二次型的判定定理３對(duì)稱矩陣正定的充分必要條件是：的順序主子式都為正，即