平面向量的坐標(biāo)表示講義03-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算講義一、知識(shí)點(diǎn)梳理1、平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算運(yùn)算坐標(biāo)表示和（差）已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a+b=（x1+x2，y1+y2），a–b=（x1–x2，y1–y2）．?dāng)?shù)乘已知a=（x1，y1），則λa=（λx1，λy1），其中λ是實(shí)數(shù)．任一向量的坐標(biāo)已知A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2–x1，y2–y1）．（1）相等的向量坐標(biāo)相同；（2）向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的端點(diǎn)無(wú)關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)．2、平面向量共線的坐標(biāo)表示如果a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a∥b的充要條件為_(kāi)_________．3、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角（1）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)分別是x軸，y軸上的單位向量．由于向量即____________，（2）平面向量的模的坐標(biāo)公式若向量，由于，所以______________．（3）平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式已知原點(diǎn)，點(diǎn)，則，于是______________．（4）平面向量垂直的坐標(biāo)表示已知非零向量，則______________．（5）平面向量夾角的坐標(biāo)表示已知非零向量，是與的夾角，則．二、主講知識(shí)【講透例題1】平面向量的坐標(biāo)加減運(yùn)算例1、若向量，，，則等于()A．B．C． D．例2、在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝(4,3)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1,5)，則eq\o(BC,\s\up6(→))=()A．(－2,7)B．(－6,21)C．(2，－7) D．(6，－21)【相似題練習(xí)】1、已知點(diǎn)A(-1,-5),向量a=(-1,0),b=(1,-1),當(dāng)AB=a+2b時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A.(2,7) B.(0,-7)C.(3,-6) D.(-4,5)2、已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A.2,72 B.2,-3、已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,則c等于()A.(-2,6) B.(-4,0) C.(7,6) D.(-2,0)4、已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，則c＝()A．(－23，－12) B．(23，12)C．(7，0) D．(－7，0)5、已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，則．6、已知點(diǎn)A(-1,2),B(2,8),及AC=13AB,DA=-13BA7、已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).設(shè)AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n;(3)求M,N的坐標(biāo)及MN的坐標(biāo).【小結(jié)】平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算（1）在進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先將平面向量用坐標(biāo)的形式表示出來(lái)，再根據(jù)向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算（直角坐標(biāo)運(yùn)算法則即兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)等于兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差，數(shù)乘向量的積的坐標(biāo)等于數(shù)分別乘向量相應(yīng)坐標(biāo)的積）；（2）在求一個(gè)向量時(shí)，可以先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)；（3）求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求以原點(diǎn)為起點(diǎn)，該點(diǎn)為終點(diǎn)的向量的坐標(biāo)．已知A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2–x1，y2–y1）．已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a+b=（x1+x2，y1+y2），a–b=（x1–x2，y1–y2）；λa=（λx1，λy1），其中λ是實(shí)數(shù)．【講透例題3】平面向量共線條件例1、已知向量,，若與共線,則實(shí)數(shù)的值是（）A． B． C． D．【相似題練習(xí)】1、若向量，，與共線，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______2、已知三點(diǎn)共線，則，則______，______．3、已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b與非零向量ma+nb共線,則mn等于(A.-2 B.2 C.-12 D.4、已知，．（1）求證：，不共線；（2）若，求實(shí)數(shù)，的值：（3）若與共線，求實(shí)數(shù)的值．【小結(jié)】向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用（1）已知兩向量共線，求點(diǎn)或向量的坐標(biāo)；（2）證明或判定三點(diǎn)共線、直線平行．解題時(shí)要注意聯(lián)系平面幾何的相關(guān)知識(shí)，由兩向量共起點(diǎn)或共終點(diǎn)確定三點(diǎn)共線，由兩向量無(wú)公共點(diǎn)確定直線平行．【講透例題3】平面向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算例1、已知，，且，則向量與夾角的大小為()A． B． C． D．例2、已知向量a＝(0，－2eq\r(3))，b＝(1，eq\r(3))，則向量a在b方向上的投影為()A.eq\r(3) B.3 C.－eq\r(3) D.－3【相似題練習(xí)】1、已知a＝(－1，1)，b＝(1，2)，則a·(a＋2b)＝________.2、已知平面向量a＝(2，4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，則|c|＝________.3、已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則的值為_(kāi)_________;=____________4、設(shè)向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，則m＝________.5、（多選）若向量與共線，則A． B． C． D．6、已知．（1）求的坐標(biāo)和模；（2）求與的夾角的余弦值．【小結(jié)】（1）進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算，前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)．解題時(shí)通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算；二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開(kāi)，再依據(jù)已知計(jì)算．（2）對(duì)于以圖形為背景的向量數(shù)量積運(yùn)算的題目，只需把握?qǐng)D形的特征，并寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解．【講透例題4】平面向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算例1、已知向量，，若，且，則實(shí)數(shù)（）A．B．C． D．【相似題練習(xí)】1、已知，則等于______.2、（多選）已知向量，，則（）A．若與垂直，則 B．若，則的值為C．若，則 D．若，則與的夾角為3、已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R).(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.4、已知a，b，c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a＝(1，2).(1)若|c|＝2eq\r(5)，且c與a方向相反，求c的坐標(biāo)；(2)若|b|＝eq\f(\r(5),2)，且a＋2b與2a－b垂直，求a與b的夾角θ.5、在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，，．（1）若，求的值；（2）若與的夾角為，求的值．【小結(jié)】證明兩線段垂直：求證兩線段所對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積為0即可課堂總結(jié)1、已知向量，，若單位向量與平行，則．2、（多選）已知向量，，則下列結(jié)論正確的是A． B．與可以作為基底 C． D．與方向相反3、（多選）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，則A．與同方向的單位向量為，B．若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為， C．若，則 D．若，則四邊形為平行四邊形4、若向量，則下列