及講解數(shù)學(xué)一真題89年1397j

3sinxx2cos x x0(1cosx)ln(13【答案】23sinxx2cos1 x0(1cosx)ln(13sinxx2cos

x2cos 3sin x0(1cos30

x0(1cos

f' 應(yīng)存在或?yàn)?，而本題中xx0g'(3sinxx2cos1 3cosx2xcos1sin (1cosx)xsin 設(shè)冪級(jí)數(shù)axn的收斂半徑為3，則冪級(jí)數(shù)na(x1)n1的收斂區(qū)間 n

從而知nan(x1)n1的收斂區(qū)間為(13,13)2,

存在，那么

1

在點(diǎn)(,)(e2 2 esine

ecos,ysinesin將

ecosesin以2

(xd ，也有人誤認(rèn)為切點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（xe2，yA

，B為三階非零矩陣，且AB0，則t 3 1

【解析】將B按列分塊，設(shè)B b31 則A

A

t

(t3)得t袋中有50個(gè)乒乓球，其中20個(gè)是黃球，30個(gè)是白球，今有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一球，取后不放回，則 25 :PA2PA1PA2|A1PA1PA2|A1應(yīng) PA PA黃球的個(gè)數(shù)202 球的總 球的總 PA|A20119（第一個(gè)人取得黃球的條件下，黃球個(gè)數(shù)變成20119，球的總數(shù)變成50149 50 PA|A

PAPAPA|APAPA|A2?19320 5 5 ,(x,y)(0,f(xyx2 (x,y)(0,

在點(diǎn)(0,0) (A)連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在 (B)連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在(C)不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在 (D)不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在【答案】 f(x,f(xy在點(diǎn)(0,0)處不連續(xù)

x0x2k2 1k f'(0,0)limf(x,0)f(0,0)lim000 x f'(0,00.f(xy在點(diǎn)(0,0處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均存在【評(píng)注】

(x,y)(x0,y0

f(xy f'(0,0f0,0都不存在. 1b設(shè)在區(qū)間[a,b]上f(x)0,f'(x)0,f''(x)0,令 1ba

f(x)dx，

f(b)(ba)S1[f(a)f(b)](ba)， (A)SSS (B)S2S1S3

S3S1S2 (D)S2S3S1【答案】

由f(x)0,f'(x)0,f''(x)0,y f(x)的圖形大致如圖ffbS1af(x)dx曲邊梯形aABbbS2f(b)(ba矩形aB'BbS1f(bf(a)](ba)=梯形aABb的面積 由積分中值定理，bf(x)dxf()(ba),ab.再由f'(x)0,所以f() abS1af(x)dxf(b)(baS2.S3S1b(x)1[f(x)f(a)](xa)xf (a)'(x)1f'(x)(xa)1(f(x)f(a))f 1f'(x)(xa)1(f(x)f 1(f'(x)f'())(xa)0,ax,所以(x0，從而(b0.S3S1.如果題目改為證明題，則應(yīng)該用評(píng)注所講的辦法去證，而不能用圖證設(shè)F(x)x2esintsintdt,則F x 【答案】由于esintsint具有周期2 Ix2esintsintdtesintsintdtx無(wú)關(guān).不選 為估

劃分esintsint取值正、負(fù)的區(qū)間I

esintsintdt

esintsintdtesintsin00esinu(sinu)(du)esintsin0(esintesint)sintdt0當(dāng)0tsint0esintesint0,I0.I

esintsintdt

esintcosesintcost|e0(1(1))

esintcost2dt設(shè)

,

,

則三條直線(xiàn)axbyc0axbyc0axbyc0（abc 2 2 2 abc iai2b20,i1,2,3）交于一點(diǎn)的充要條件 i秩r(1,2,3秩r(1,21,2,3線(xiàn)性相關(guān)，1,2線(xiàn)性無(wú)關(guān).三條直線(xiàn)交于一點(diǎn)方程組 a b axby c1 Xb其中A b是其系數(shù)矩陣，bc.則 2 2a3b3 AXb有唯一解rArA|b2（方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等且等于未知量的個(gè)數(shù)）即A的列向量組1,2線(xiàn)性相關(guān)1,2,3線(xiàn)性相關(guān)，當(dāng)123時(shí)，根據(jù)（方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等且小于未知量的個(gè)數(shù)）秩r(1,2,3秩r(1,2當(dāng)r(1,2,3r(1,21時(shí)，三條直線(xiàn)重合，不只交于一點(diǎn)，與題設(shè)條件矛 量X和Y的方差分別為4和2，則 量3X2Y的方差是 (A) DXYDX2cov(X,YDYD(3X2Y)D(3X)2cov(3X,2Y)D(2Y故cov(3X2Y6cov(X,Ycov(X,Y)E(XEX)(YEY)EXYX和Y獨(dú)立有EXY所以cov(X,YEXEX)(YEY)EXYEXEYD(3X2Y32DX2cov(3X2Y22D(Y9DX4DY368y2I(x2y2)dv其中為平面曲線(xiàn)

x

x2y2 在某一人群中推廣新技術(shù)是通過(guò)其中已掌握新技術(shù)的人進(jìn)行的.N，在t0時(shí)刻已掌握數(shù)和未掌握新技術(shù)人數(shù)之積成正比，比例常數(shù)k0,x(t又可分先z后(r,，或先(r,z兩種方法.本題的區(qū)域?yàn)槔@z軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體，用柱面坐標(biāo)先(r,z方便.方法1：采用柱面坐標(biāo)，先(r,z.zz截題設(shè)區(qū)域Dz(x,y,z)|x2y22z,z0I(x2y2dv8dzr2rdrd（將直角坐標(biāo)化為柱面坐標(biāo)0

2zr3dr1024 I(xy)dv ddrr2r 44

r3(8 )dr

1024 乘即可.如本例方法2中0d可以單獨(dú)先做曲線(xiàn)Cx2y21xyz2的交線(xiàn).將CCxOy平x2y2C1:zxcostysintz=2-x+y=2-cost+sint，t從20IC(zy)dx(xz)dy(xy)dzC(2x)dx(xz)dy(2 2(2x(t))dx(t)2[cost(2costsint)]costdt2(2 dxkx(Nx),x(0)x x(N

1(1 )dxkdt Nx1ln

kt x 1x(0)x0

c Nx N

0xyb（1）設(shè)直線(xiàn)lxayz3

在平面上，且平面zx2y2相切于點(diǎn)(1,-2,5)，求ab之值 2 2 2

f(esiny)滿(mǎn)足方

ezf(u

求出曲面S:x2y2z0在點(diǎn)M0 L上的點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿(mǎn)足切平面方程，由此定出參數(shù)a和b曲面zx2y2上的點(diǎn)(1,2,5)處的法向量為n(2x,2 zx2y2在點(diǎn)(1,2,5)處的切平面方程為2(x1)4y2z5)02x4yz5xyb將直線(xiàn)l的方程xayz3zx3a(xzx3a(xx(5a4bab2上式都成立，所以a5,4bab20從而2zf(exsinyzf(u與二元函數(shù)uexsiny復(fù)合而成的二元函數(shù)，它滿(mǎn)足微分方程（偏微分方程）.為了求f(u)，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，導(dǎo)出 2 2 xyx2y2fz

f'(u)exsiny,z

f'(u)excos2z2

f'(u)exsinyf''(u)e2xsin2y

f'(u)exsinyf''(u)e2xcos2將后兩式代入2z2z 2x f f 即f''(u)f(u)即相應(yīng)的特征方程為21特征根為1f(u)CeuC

（其中1、2為任意常數(shù)f(x連續(xù)，(x)1f(xt)dt且limf(x)A（A為常數(shù)），求'(x并討論'(xx0處的連續(xù)性 limf(xAf(0)0，從而（0）1f(0)dt0 由題設(shè)limf(x)Af(0)0,f'(0A且有(00xx1x0fx又(x)0f(xt)dtu x

(x 于是lim'(xlimxf(x

f(u)dulimf(x)

0f （x)(0x li

f(0

)dx xli f(xx 2 2而xlimxf(x)0f xlimf(x)lim0f AAA' 可見(jiàn)，'(xx=0處的連續(xù)性 1 f(u)du得到的 x na12an12(ann

nliman a級(jí)數(shù) 1收斂an1 （1）an單調(diào)有界顯然an (n1,2,)xy 1

1)12 (n 2 n1

) a a 由（1）知0an1anan1a

an

由比較判別法知，級(jí)數(shù) 1也收斂n1 a

a2 a2令b n1，利用遞 ，有l(wèi)imn1 01 n n4 2 a級(jí)數(shù) 1也收級(jí)數(shù) 1也收 n1 (anan1收斂liman存在

Bx0的解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基1（2）已知1

A

2

1 r(B解空間的維數(shù)n,此時(shí)n4【解析】（1）因秩r(B2,根據(jù)矩陣與解的空間的關(guān)系式數(shù)為：4?r(B1 3 3 3 152 233 因?yàn)榫仃? 1 2 2 9 03

3 4 2 1 112,22(,)1433

10

再將其單位化，令：11

11 115

1

1,由對(duì)應(yīng)三個(gè)分量相等，得5a31

1b21b21,b05a31,a3212 2（II）由（1）解得的a3,b0AA

1

E

可見(jiàn)λ?1為A的三重根，但秩r(EA=2,由可對(duì)角化的條件：特征值次數(shù)等于其對(duì)應(yīng)的特征向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量的個(gè)數(shù).從而λ=?1對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)特征向量只有3?r(EA)=1個(gè)，故A不可對(duì)角化.【評(píng)注】A相似于對(duì)角陣A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)特征向量A的每個(gè)ri重特征值有ri個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.八、（本題滿(mǎn)分5分）AB1【解析】（1）E(ij是由n階單位矩陣的第i行和第jB=E(i,jABE(i,

A0.由矩陣可逆的充要條件（矩陣是滿(mǎn)秩的則可逆）故B（2）因?yàn)锽=E(i,jAAB1A[E(i,jA]1AA1E1(i,jE1(i,jE(i,【評(píng)注】關(guān)鍵在于把初等變換“將A的第i行和第j行對(duì)換后得到B”表示成A與初等陣的乘積.即BE(i,j 5【解析】首先需要清楚二項(xiàng)分布的產(chǎn)生背景.它的背景是：做n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)（要么成功，要么失?。看卧囼?yàn)成功的概率都為p，隨量X表示n次試驗(yàn)成功的次數(shù)，則X~B(n,p)，這道題中經(jīng)過(guò)2

522X~B(3,)5

52X~B(3)5nPXkCkpk(1p)nkn3pXkCkpk(1p)3k3

k0,1,,nk0,1,2,F(xPXx xiF(x)（1）x0時(shí)F(xpk（2）當(dāng)0x F(x)

pPX0

3 當(dāng)1x

3

)F(x)pppPX0PX127 12 231)

C3(5)(1 當(dāng)2xF(x)pkp0p1p2PX0PX1PX)81 22 232) C3(5) （5）x3F(x)