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文檔簡介
北師大版(2019)高中數(shù)學必修第二冊第一章
三角函數(shù)第5節(jié)
余弦函數(shù)的圖像與性質再認識新課程標準解讀核心素養(yǎng)1.會用“五點法”畫余弦函數(shù)的圖象數(shù)學抽象、直觀想象2.掌握余弦函數(shù)的圖象與性質及應用數(shù)學運算、直觀想象
右圖是我們已經(jīng)很熟悉的單位圓,我們用它來定義了任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù).
但既然是函數(shù),我們就得掌握它的圖象和性質,顯然,要研究圖象和性質,單位圓已經(jīng)不夠用了,我們得按照函數(shù)的定義,將角度看成自變量,三角函數(shù)值看成因變量.
今天,我們就進一步來學習余弦函數(shù)的圖象和性質.
余弦函數(shù)的圖像1,單位圓與余弦函數(shù)的圖象:分別在單位圓和平面直角坐標系中,描出下列表格中的點.
余弦函數(shù)的圖像
余弦函數(shù)的圖像
y10-11x0
五點(畫圖)法
余弦函數(shù)的性質思考:
請觀察余弦函數(shù)的圖象(如圖),試著說說余弦函數(shù)有哪些函數(shù)性質.
余弦函數(shù)的性質
余弦函數(shù)的性質
余弦函數(shù)的性質
余弦函數(shù)的性質
余弦函數(shù)的性質
典例剖析
余弦函數(shù)的性質
典例剖析
1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)函數(shù)y=cosx的圖象與y軸只有一個交點.
(
)(3)函數(shù)y=2cosx是偶函數(shù).
(
)(4)函數(shù)y=cosx的最小正周期是π. (
)√√√×2.函數(shù)y=cos2x,下列說法正確的是 (
)A.奇函數(shù),最小正周期為πB.奇函數(shù),最小正周期為2πC.偶函數(shù),最小正周期為πD.偶函數(shù),最小正周期為2πC3.在同一平面直角坐標系內,函數(shù)y=cosx,x∈[0,2π]與y=cosx,x∈[2π,
4π]的圖象
(
)A.重合 B.形狀相同,位置不同C.關于y軸對稱
D.形狀不同,位置不同解析:根據(jù)余弦曲線的作法可知函數(shù)y=cosx,x∈[0,2π]與y=cosx,x∈[2π,4π]的圖象位置不同,形狀相同.B
題型一余弦函數(shù)的圖象及應用
角度一“五點法”作余弦函數(shù)的圖象【例1】
(鏈接教科書例4)畫函數(shù)y=2cosx+3,x∈[0,2π]的圖象.解(1)列表:(3)連線:用光滑的曲線將描出的五個點順次連接起來,如圖所示.|通性通法|用五點法畫函數(shù)y=Acosx+b(A≠0),x∈[0,2π]的圖象的步驟(1)列表:
(3)連線:用光滑的曲線將描出的五個點順次連接起來.
|通性通法|與余弦函數(shù)圖象有關的根的個數(shù)問題的處理策略判斷f(x)-Acosx=0(A≠0)的根的個數(shù)時,運用數(shù)形結合的方法,轉化為函數(shù)圖象交點的個數(shù).由于余弦函數(shù)的圖象都是介于y=-1與y=1之間,只需考慮-A≤f(x)≤A的x的范圍,在該范圍內f(x)的圖象與Acosx的圖象的交點的個數(shù)即方程根的個數(shù).
|通性通法|用余弦函數(shù)圖象解不等式的步驟(1)作出余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的圖象;(2)寫出適合不等式在區(qū)間[0,2π]上的解集;(3)根據(jù)余弦函數(shù)周期確定取值范圍.
1.方程|x|=cosx在(-∞,+∞)內的所有根的和為 (
)A.2
B.1C.0 D.-1解析:如圖所示,在同一平面直角坐標系內畫出函數(shù)f(x)=|x|與g(x)=cosx的圖象,易知兩個函數(shù)的圖象在(-∞,+∞)內只有兩個交點,即原方程有兩個根,且兩根互為相反數(shù),故和為0.C2.滿足cosx>0,x∈[0,2π]的x的取值范圍為____________________.3.作出函數(shù)y=-cosx+1,x∈[0,2π]的圖象.解:(1)列表:(3)連線:用光滑的曲線將描出的五個點順次連接起來,如圖所示.題型二余弦函數(shù)的單調性及應用【例4】
(1)求函數(shù)y=1-cosx的單調區(qū)間;解
因為y=cosx在[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上單調遞增,在[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上單調遞減,所以y=1-cosx的單調遞減區(qū)間是[(2k-1)π,2kπ](k∈Z),單調遞增區(qū)間是[2kπ,(2k+1)π](k∈Z).|通性通法|1.對于余弦函數(shù)的性質,要善于結合余弦函數(shù)圖象并類比正弦函數(shù)的相關性質進行記憶,其解題方法與正弦函數(shù)的對應性質解題方法一致.2.單調性是對一個函數(shù)的某個區(qū)間而言的,不同函數(shù),不在同一單調區(qū)間內時,應先用誘導公式進行適當轉化,轉化到同一單調區(qū)間內,再利用函數(shù)的單調性比較大?。?/p>
(1)函數(shù)y=1-2cosx的單調增區(qū)間是__________________;解析:由于y=cosx的單調減區(qū)間為[2kπ,2kπ+π](k∈Z),所以函數(shù)y=1-2cosx的增區(qū)間為[2kπ,2kπ+π](k∈Z).[2kπ,2kπ+π](k∈Z)<
解析因為cosx∈[-1,1],(2)函數(shù)y=cos2x-4cosx+5的值域為________.解析令t=cosx,則-1≤t≤1.所以y=t2-4t+5=(t-2)2+1,所以t=-1時,y取得最大值10,t=1時,y取得最小值2.所以函數(shù)y=cos2x-4cosx+5的值域為[2,10].[2,10]|通性通法|求余弦函數(shù)值域的常用方法(1)求解形如y=acosx+b的函數(shù)的最值或值域問題時,利用余弦函數(shù)的有界性(-1≤cosx≤1)求解.求余弦函數(shù)取最值時相應自變量x的集合時,要注意考慮余弦函數(shù)的周期性;(2)求解形如y=acos2x+bcosx+c,x∈D的函數(shù)的值域或最值時,通過換元,令t=cosx,將原函數(shù)轉化為關于t的二次函數(shù),利用配方法求值域或最值即可.求解過程中要注意t=cosx的有界性.
D課堂小結
知識點二余弦函數(shù)的性質函數(shù)y=cosx定義域_______值域_______奇偶性_______周期性以2kπ為周期(k∈Z,k≠0),_______為最小正周期單調性在區(qū)間_____________(k∈Z)上單調遞增;在區(qū)間_____________(k∈Z)上單調遞減[-1,1]偶函數(shù)2π[2kπ-π,2kπ][2kπ,2kπ+π]最大值與最小值
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