新教材高中數(shù)學第一章空間向量與立體幾何2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用2空間中的平面與空間向量第2課時面面的位置關(guān)系三垂線定理及其逆定理訓(xùn)練含解析新人教B版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE7第2課時面面的位置關(guān)系、三垂線定理及其逆定理基礎(chǔ)達標練1.若平面α,β平行,則下列可以是這兩個平面的法向量的是()A.nB.nC.nD.n答案：D2.已知兩個不重合的平面α與平面ABC,若平面α的一個法向量為n=(2,-3,1),向量ABA.平面α∥平面ABCB.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能答案：A3.已知平面α的一個法向量是(2,3,-1),平面β的一個法向量是(4,λ,-2),若α∥β,則λ的值是()A.-310答案：C4.（多選）（2020山師附中高二檢測）下列命題中是真命題的有()A.直線l的一個方向向量為a=(1,-1,2),直線m的一個方向向量為b=(2,1,-12)B.直線l的一個方向向量為a=(0,1,-1),平面α的一個法向量為n=(1,-1,-1)C.平面α,β的法向量分別為n1=(0,1,3),D.平面α經(jīng)過三點A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的一個法向量,則答案：A;D解析：∵a=(1,-1,2),b∴直線l與m垂直,故A正確;a=(0,1,-1),n=(1,-1,-1)則a⊥n,∴l(xiāng)∥α∵n1=(0,1,3),n2∵點A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),∴AB∵向量n=(1,u,t)是平面α∴n?AB→=0,5.（2021山東青州第一中學高二月考）設(shè)平面α與向量a=(-1,2,-4)垂直,平面β與向量b=(-2,4,-8)垂直,則平面α與答案：平行或重合6.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C求證：AB答案：證明如圖,連接AC易知A∴∠A∴∠∵ABC-A1又∵B1∴B1C1⊥素養(yǎng)提升練7.已知平面α內(nèi)的兩向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1)且c=ma+nbA.-1,2B.1,-2C.1,2D.-1,-2答案：A解析：c=m由c為平面α的一個法向量,得c?a8.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=22,P為A.平行B.異面C.垂直D.以上都不對答案：C解析：取CD的中點P',連接PP',AP',M所以MP'為PM在平面由題意得,AM=6,MP'由三垂線定理知AM⊥PM.9.若正三棱錐P-ABC的側(cè)面互相垂直,則棱錐的高與底面邊長之比為.答案：1:解析：設(shè)棱錐的高為h,底面邊長為1,O為△ABC的中心,以O(shè)為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則P(0,0,h),A(PA=(設(shè)平面PAB的一個法向量為n1則PA→?令x1=所以平面PAB的一個法向量為n1設(shè)平面PAC的一個法向量為n2則PA即33x2-hz2=0,-3由平面PAB⊥平面PAC,知n即n1?n故高與底面邊長之比為6610.（2020山東濟南高二期末）如圖,在三棱錐P-ABC中,已知PA⊥平面ABC,△ABC是邊長為2的正三角形,D、E分別為PB、PC的中點.（1）若PA=2,求直線AE與PB所成角的余弦值;（2）若平面ADE⊥平面PBC,求PA的長.答案：（1）取AC的中點F,連接BF,則BF⊥AC.以A為坐標原點,過A且與BF平行的直線為x軸,AC、AP所在直線分別為y軸,z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示.易知A(0,0,0),B(3,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),PB=(設(shè)直線AE,PB所成角的大小為θ,則cosθ=所以直線AE,PB所成角的余弦值為14（2）設(shè)PA=a,則P(0,0,a),PB=(3,1,-a),PC=(0,2,-a)則PB→?m=3x1D(3設(shè)平面ADE的一個法向量為n=(則AD令z2=2,則n=(-若平面ADE⊥平面PBC,則m?即-13a所以PA=3創(chuàng)新拓展練11.如圖1,在直角三角形ABC中,∠ABC=90°,∠A=60°,AB=2.D,M分別是AC,BD的中點.現(xiàn)將三角形ABD沿BD邊折起,記折起后的點A位于點P的位置,且平面PBD⊥平面DBC,如圖2所示,點（1）若DB⊥平面PMN,求λ的值;（2）是否存在λ,使平面PDN⊥平面PMN？若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由.解析：命題分析本題為立體幾何中的折疊問題,體現(xiàn)了平面與空間的辯證統(tǒng)一,考查學生的運算求解能力和直觀想象的核心素養(yǎng),難度稍大.答題要領(lǐng)（1）根據(jù)題意,得到折疊前AD=AB=DB=2,∠DBC=30°,BC=23,折疊后,得出DM=BM=1,求出（2）先由平面PBD⊥平面DBC,得到PM⊥平面DBC,由（1）得到,當|BN|=|BC|3=233時,答案：詳細解析（1）折疊前,直角三角形ABC中,AB⊥BC,∠A=60°,D是所以AD=AB=DB=2,∠DBC=30折疊后,三角形PDB為等邊三角形,PD=PB=DB=2,因為點M為BD的中點,所以DM=BM=1.由DB⊥平面PMN,知DB⊥MN,直角三角形BMN中,∠DBC=30°,所以BN=BM（2）不存在.理由：由平面PBD⊥平面DBC,平面PBD∩平面DBC=DB,PM⊥DB,知PM⊥平面DBC.由（1）知,當|BN|=|BC|3=233時,以M為坐標原點,MN0所在直線為x軸,MB所在直線為y軸,作垂直于平面則M(0,0,0),P(0,0,3故PM=(0,0,-設(shè)平面PDN的一個法向量為n1則n所以-令z1=1,則設(shè)平面PMN的一個法向量為n2則n所以-令y2=3要使平面PDN⊥平面PMN,則n1?n2=0,即2-3λλ?3λ-1