集合論的誕生與發(fā)展

集合論誕與發(fā)展集合論作為數(shù)學(xué)中最富創(chuàng)造性的偉大成果之一，是在世紀(jì)末由德國的康托（1845－1918創(chuàng)立起來的。但是，它萌發(fā)、孕育的歷史卻源遠(yuǎn)流長，至少可以追溯到兩千多年前。（一）早期研究集合論是關(guān)于無窮集合和超窮數(shù)的數(shù)學(xué)理論。集合作為數(shù)學(xué)中最原始的概念之一，通常是指按照某種特征或規(guī)律結(jié)合起來的事物的總體。例如美國國會圖書館的全部藏書，自然數(shù)的全體以及直線上所有點(diǎn)的總體等等。集合論的全部歷史都是圍繞無窮集合而展開的。早在集合論創(chuàng)立之前兩千多年，數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家們就已經(jīng)接觸到了大量有關(guān)無窮的問題，古希臘的學(xué)者最先注意并考察了它們。公元前5世紀(jì)，埃利亞學(xué)派的芝（約公元前－前430提出45個悖論，其中關(guān)于運(yùn)動的四個悖論：二分法悖論、阿基里斯追龜悖論、飛矢不動悖論與運(yùn)動場悖論尤為著名，前三個悖論都與無窮直接有關(guān)。芝諾在悖論中雖然沒有明確使用無窮集合的概念，但問題的實(shí)質(zhì)卻與無窮集合有關(guān)。在數(shù)理哲學(xué)中，有兩種無窮方式歷來為數(shù)學(xué)家和

哲學(xué)家所關(guān)注，一種是無窮過程，稱為潛在無窮，一種是無窮整體，稱為實(shí)在無窮。希臘哲學(xué)家亞里士多（前384－前最先提出要把潛在的無窮和實(shí)在的無窮加以區(qū)別，這種思想在當(dāng)今仍有重要意義。他認(rèn)為只存在潛在無窮，如地球的年齡是潛在無窮，但任意時刻都不是實(shí)在無窮。他承認(rèn)正整數(shù)是潛在無窮的，因為任何正整數(shù)加上總能得到一個新數(shù)。對他來說，無窮集合是不存在的。哲學(xué)權(quán)威亞里士多德把無窮限于潛在無窮之內(nèi)，如同下了一道禁令，誰敢冒天下之大不韙，以至于影響對無窮集合的研究達(dá)兩千多年之久。公元5世紀(jì)，拜占庭的普羅克拉斯（485）是歐幾里德《幾何原本》的著名評述者。他在研究直徑分圓問題時到圓的一根直徑分圓成兩個半圓，由于直徑有無窮多，所以必須有兩倍無窮多的半圓。為了解釋這個在許多人看來是一個矛盾的問題，他指出：任何人只能說有很大很大數(shù)目的直徑或者半圓，而不能說一個實(shí)實(shí)在在無窮多的直徑或者半圓，也就是說，無窮只能是一種觀念，而不是一個數(shù)，不能參與運(yùn)算。其實(shí)，他這里是接受了亞里士多德的潛無窮的概念，而否認(rèn)實(shí)無窮的概念，對這種對應(yīng)關(guān)系采用了回避的態(tài)度。

到了中世紀(jì)，隨著無窮集合的不斷出現(xiàn)，部分能夠同整體構(gòu)成一一對應(yīng)這個事實(shí)也就越來越明顯地暴露出來。例如，數(shù)學(xué)家們注意到把兩個同心圓上的點(diǎn)用公共半徑聯(lián)結(jié)起來，就構(gòu)成兩個圓上的點(diǎn)之間的一一對應(yīng)關(guān)系科學(xué)的開拓者伽利1642）注意到個不等的線段上的點(diǎn)可以構(gòu)成一一對應(yīng)。他又注意到整與它們的平方可以構(gòu)成一一對應(yīng)，這說明無窮大有不同“量級，不過利略認(rèn)為這是不可能的。他說，所有無窮大量都一樣，不能比較大小。（二）奠定基礎(chǔ)到了十七世紀(jì)，數(shù)學(xué)家把無窮小量引進(jìn)數(shù)學(xué)，構(gòu)成所謂窮小演算”這就是微積分的最早名稱。所謂積分法無非是無窮多個無窮小量加在一起，而微分法則是兩個無窮小量相除無窮小量運(yùn)算的引進(jìn)，無窮大模大樣地進(jìn)入數(shù)學(xué)，雖然它給數(shù)學(xué)帶來前所未有的繁榮和進(jìn)步，它的基礎(chǔ)及其合法性仍然受到許多數(shù)學(xué)家的質(zhì)疑，他們對無窮仍然心存疑慮，這方面以“數(shù)學(xué)家之王高斯（—1855）意見為代表。高斯是一個潛在無窮論者，他在年月日給他的朋友舒馬赫爾的信中說“我必須最最強(qiáng)烈地反對你把無窮作為一完成的東西來使用，因為這在數(shù)

學(xué)中是從來不允許的。無窮只不過是一種談話方式，它是指一種極限，某些比值可以任意地逼近它，而另一些則容許沒有限制地增加限概念只不過是一種潛在的無窮過程。這里高斯反對那些哪怕是偶爾用一些無窮的概念，甚至是無窮的記號的人，特別是當(dāng)他們把它當(dāng)成是普通數(shù)一樣來考慮時。法國大數(shù)學(xué)家柯西（1857）也同他的前人一樣，不承認(rèn)無窮集合的存在。他認(rèn)為部分同整體構(gòu)成一一對應(yīng)是自相矛盾的事?？茖W(xué)家們接觸到無窮無力去把握和認(rèn)識它，這的確是向人類提出的尖銳挑戰(zhàn)正如大衛(wèi)·希爾伯特（1862－在他的1926年《論無窮》的講演中所說的那樣有任何問題象無窮那樣深深地觸動人的情感，很少別的觀念能象無窮那樣激勵理智產(chǎn)生富有成果的思想，然而也沒有任何其它概念能象無窮那樣需要加以闡明”面“窮”長期挑戰(zhàn)，數(shù)學(xué)家們不會無動于衷，他們?yōu)榻鉀Q無窮問題而進(jìn)行的努力，首先是從集合論的先驅(qū)者開始的。數(shù)學(xué)分析嚴(yán)格化的先驅(qū)波爾查諾（1781－）也是一位探索實(shí)無窮的先驅(qū)，他是第一個為了建立集合的明確理論而作出了積極努力的人。他明確談到實(shí)在無窮集合的存在，強(qiáng)調(diào)兩個集合等價的概念，也就

是后來的一一對應(yīng)的概念。他知道，無窮集合的一個部分或子集可以等價于其整體，他認(rèn)為這個事實(shí)必須接受如0到5之間的實(shí)數(shù)通過公式y(tǒng)=12x/5可與到之間的實(shí)數(shù)構(gòu)成一一對應(yīng)然后面的集包含前面的集合。為此，他為無窮集合指定超限數(shù)，使不同的無窮集合限數(shù)不同過來康托爾指出，波爾查諾指定無窮集合的超限數(shù)的具體方法是錯誤的。另外，他還提出了一些集合的性質(zhì)，并將他們視為悖論此關(guān)于無窮的研究哲學(xué)意義大于數(shù)學(xué)意義。應(yīng)該說，他是康托爾集合論的先驅(qū)。黎（1826－是在年的就職論《關(guān)于用三角級數(shù)表示函數(shù)的可能性》中首次提出“唯一性問題”的。大意是：如果函數(shù)f（x）在某個區(qū)間內(nèi)除間斷點(diǎn)外所有點(diǎn)上都能展開為收斂于函數(shù)值的三角級數(shù)，那么這樣的三角級數(shù)是否是唯一的？但他沒有給予回答。1870年海（1821－證明x續(xù)，且它的三角級數(shù)展開式一致收斂時開式是唯一的。進(jìn)一步的問題是：當(dāng)f（x）具有無窮多個間斷點(diǎn)時，唯一性能否成立？康托爾就是通過對唯一性問題的研究，認(rèn)識到無窮集合的重要性，并開始從事無窮集合的一般理論研究。

（三）創(chuàng)立德國著名數(shù)學(xué)家康托（Cantor1845-1918數(shù)學(xué)而瘋的數(shù)學(xué)家于19世紀(jì)末創(chuàng)立了集合論他對集合所下的定義是——把若干確定的有區(qū)別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物成為該集合的元素。早在1870年和年，康托爾兩次在《數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表論文，證明了函數(shù)fx）的三角級數(shù)表示的唯一性定理，而且證明了即使在有限個間斷點(diǎn)處不收斂，定理仍然成立1872年他在《數(shù)學(xué)年鑒》上發(fā)表了一篇題三角數(shù)中一個定理的推廣論文，把海涅的一致收斂的嚴(yán)酷條件推廣到允許間斷點(diǎn)是某種無窮的集合的情形。為了描述這種集合，他首先定義了點(diǎn)集的極限點(diǎn)，然后引進(jìn)了點(diǎn)集的導(dǎo)集和導(dǎo)集的導(dǎo)集等有關(guān)重要概念。這是從唯一性問題的探索向點(diǎn)集論研究的開端，并為點(diǎn)集論奠定了理論基礎(chǔ)。1873年11月29日康托爾在給戴德金（18311916）的一封信中，于把導(dǎo)致集合論產(chǎn)生的問題明確地提了出來正整數(shù)的集與實(shí)數(shù)的集x）之間能否把它們一一對應(yīng)起來年月7日康托爾寫信給戴德金已能成功地證明實(shí)數(shù)體”是不可數(shù)的，也就是不能同正整數(shù)的“集體”一一對

應(yīng)起來。這個時期應(yīng)該看成是集合論的誕生日。（四）發(fā)展1874年，康托爾發(fā)表了這個證明，不過論文題目換成另外一個題論有實(shí)代數(shù)數(shù)集體的一個性質(zhì)因為克洛內(nèi)克（－1891）根本反對這種論文，他認(rèn)為這種論文根本沒有內(nèi)容，無的放矢。該文提出了“可數(shù)集”概念，并以一一對應(yīng)為準(zhǔn)則對無窮集合進(jìn)行分類，證明了如下重要結(jié)果一切代數(shù)數(shù)是可數(shù)的有限線上的實(shí)數(shù)是不可數(shù)的超越數(shù)是不可數(shù)的集并非都是可數(shù)的，無窮集同有窮集一樣也有數(shù)量（基數(shù)）上的區(qū)別。1874年月日，康托爾給戴德金寫信，提出下面的問題：是否能把一塊曲面（如包含邊界在內(nèi)的正方形）一一地映射到一條（包含端點(diǎn)在內(nèi)的線段面上每一點(diǎn)對應(yīng)線上一點(diǎn)而且反過來線上每一點(diǎn)對應(yīng)面上一點(diǎn)？1877年月日，他給戴德金寫信，這次他告訴他的朋友這個問題答案是肯定的理由，雖然幾年以來他都認(rèn)為答案是否定的。信中說“我看到了它，但我簡直不能相信它于這一成果的論文1878年發(fā)表后，吸引人們研究度量空間維數(shù)的本質(zhì)，很快出現(xiàn)

一批論文。這批論文標(biāo)志集合拓?fù)涞拈_始。1879年1883爾寫了六篇系列論文，論文總題目“論無窮線形點(diǎn)流形前四篇同以前的論文類似，討論了集合論的一些數(shù)學(xué)成果，特別是涉及集合論在分析上的一些有趣的應(yīng)用。第五篇論文后來以單行本出版，單行本的書名《一般集合論基礎(chǔ)論文是第五篇的補(bǔ)充合論基礎(chǔ)》在數(shù)學(xué)上的主要成果是引進(jìn)超窮數(shù)。該文從內(nèi)容到敘述方式都同現(xiàn)代的樸素集合論基本一致，所以該書標(biāo)志著點(diǎn)集論體系的建立。1884年，由于連續(xù)統(tǒng)假設(shè)長期得不到證明，再加上與克羅內(nèi)克的尖銳對立神上屢遭打擊月底，康托爾支持不住了次精神崩潰的精神沮喪，不能很好地集中研究集合論，從此深深地卷入神學(xué)、哲學(xué)及文學(xué)的爭論而不能自拔。不過每當(dāng)他恢復(fù)常態(tài)時，他的思想總變得超乎尋常的清晰，繼續(xù)他的集合論的工作?！秾ΤF集合論基礎(chǔ)的貢獻(xiàn)》是康托爾最后一部重要的數(shù)學(xué)著作獻(xiàn)分兩部分第一部分是全序集合的研究，于年5月在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表。第二部分于年5月在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表獻(xiàn)發(fā)表標(biāo)志集論已從點(diǎn)集論過渡到抽象集合論。

但是，由于它還不是公理化的，而且它的某些邏輯前提和某些證明方法如不給予適當(dāng)?shù)南拗票銜?dǎo)出悖論，所以康托爾的集合論通常成為古典集合論或樸素集合論。（五）艱辛曲折的過程——因悖論導(dǎo)致懷疑康托爾的集合論并不是完美無缺的，一方面，康托爾對“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”和“良序性定理”始終束手無策；另一方面，19和20世紀(jì)之交發(fā)現(xiàn)的布拉利－福蒂悖論、康托爾悖論和羅素悖論，使人們對集合論的可靠性產(chǎn)生了嚴(yán)重的懷疑。加之集合論的出現(xiàn)確實(shí)沖擊了傳統(tǒng)的觀念，顛倒了許多前人的想法，很難為當(dāng)時的數(shù)學(xué)家所接受，遭到了許多人的反對，其中反對的最激烈的是柏林學(xué)派的代表人物之一、構(gòu)造主義者克羅內(nèi)克?？肆_內(nèi)克認(rèn)為，數(shù)學(xué)的對象必須是可構(gòu)造出來的，不可用有限步驟構(gòu)造出來的都是可疑的，不應(yīng)作為數(shù)學(xué)的對象對無理數(shù)和連續(xù)函數(shù)的理論，同樣嚴(yán)厲批評和惡毒攻擊康托爾的無窮集合和超限數(shù)理論不是數(shù)學(xué)而是神秘主義。他說康托爾的集合論空空洞洞毫無內(nèi)容。集合論的悖論出現(xiàn)之后，他們開始認(rèn)為集合論根本是一種病態(tài)，他們以不同的方式發(fā)展為經(jīng)驗主義、半經(jīng)驗主義、直覺主義、構(gòu)造主義等學(xué)派，在基礎(chǔ)大戰(zhàn)中，構(gòu)成反康托爾的陣營。

到世紀(jì)初集論已得到數(shù)學(xué)家們的認(rèn)可他們樂觀地認(rèn)為，從算術(shù)公理系統(tǒng)出發(fā)，借助集合論的概念，便可以建造起整個數(shù)學(xué)大廈，但羅素悖論的提出指出了集合論的漏洞。羅素（B.Russell）構(gòu)造了一個有不屬于自（不包含自身作為元素的集合現(xiàn)在問R是否屬于？如果R屬于R則R滿足R的定義，因此R不應(yīng)屬于自身，即R不屬于。另一方面，如果R不屬于R，R不滿足R的定義。因此R應(yīng)屬于自身，即屬于。這樣不論何種情況都存在著矛盾。這個僅涉及集合和屬于兩個最基本概念的悖論，如此簡單明了致根不留有為集合論漏洞辯解的余地，絕對嚴(yán)密的數(shù)學(xué)陷入了自相矛盾之中，這就是數(shù)學(xué)史上的第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，危機(jī)產(chǎn)生后，眾多數(shù)學(xué)家投入到解決問題的工作中去。1908年，策梅洛（E.Zermelo，1871-1953提出公理化集合論，后經(jīng)改進(jìn)，形成無矛盾的集合論公理系統(tǒng)簡稱公理系統(tǒng)原本直觀的集合概念被建立在嚴(yán)格的公理基礎(chǔ)之上，從而避免了悖論的出現(xiàn)，這就是集合論發(fā)展的第二個階段：公理化集合論。（六）逐漸被認(rèn)可和肯定集合論和邏輯與一階邏輯共同構(gòu)成了數(shù)學(xué)的公理

化基礎(chǔ)，以未定義的“集合”與“集合成員”等術(shù)語來形式化地建構(gòu)數(shù)學(xué)物件。在樸素集合論中，集合被當(dāng)做一堆物件構(gòu)成的整體之類的自證概念。在公理化集合論中，集合和集合成員并不直接被定義，而是先規(guī)范可以描述其性質(zhì)的一些公理。在此一想法之下，集合和集合成員是有如在歐式幾何中的點(diǎn)和線，而不被直接定義。然而有關(guān)集合論基礎(chǔ)的重要問題還沒有得到完滿的解決。那么，如何正確的理解集合論的合理性呢？集合論的等勢性原理，是康托為了給現(xiàn)代分析學(xué)構(gòu)建理論和邏輯基礎(chǔ)而準(zhǔn)備的，而不是為了描述“常識世界”而構(gòu)造的。試圖用“常識”來反駁等勢性原理是荒謬的像在現(xiàn)實(shí)生中思考實(shí)無窮是沒有意義的一樣，因為你只能舉出潛無窮的例子（例如探究真理時，實(shí)踐與認(rèn)識之間的反復(fù)至無窮不出實(shí)無窮的例子。只要能在邏輯上構(gòu)成一致的體系，在現(xiàn)代分析學(xué)體系下就是正確的基礎(chǔ)。作為一個構(gòu)造性原理，康托的理論假設(shè)可以被置換，在對爭議公理研究里已經(jīng)闡明。不過如果替代了某些公理能夠形成新的體系是能描述新的體系，不能描述原有體系是“錯誤?？低袪柕募险摰玫焦_的承認(rèn)和熱情的稱贊應(yīng)

該說首先在瑞士蘇黎世召開的第一屆國際數(shù)學(xué)家大會上表現(xiàn)出來士蘇黎世理工大學(xué)教授胡爾維－1919）在他的綜合報中，明確地闡述康托爾集合論對函數(shù)論的進(jìn)展所起的巨大推動作用，這破天荒第一次向國際數(shù)學(xué)界顯示康托爾的集合論不是可有可無的哲學(xué)，而是真正對數(shù)學(xué)發(fā)展起作用的理論工具。在分組會上法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)（1865－1963