幾何輔助線提高專題一

幾何輔助線提高專題（一）拓展部分.如圖，等腰直角AABC中，D為AB邊上的中點(diǎn)，過點(diǎn)D引出相互垂直的兩條射線，分別在射線上取點(diǎn)M、N，連MC、NC.求證：當(dāng)NMCN=45時(shí)，NMAC=NNBD..如圖，AABC中，CP1AB于P，D、E為過點(diǎn)C引出的直線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足NAEC=180-2NABC，/BDC=180—2/CAB，EA=EC，DC=DB，連EP,DP.求證：NEPC=NDPC.如圖，在AABC中，CD為高，DE1AC于E,DF1BC于F,AE,BF的垂直平分線交于點(diǎn)P，且PQ±AB,求證：BD=CD.拓展：如圖：等腰直角三角形ABC中，D為BC邊上的中點(diǎn)，過點(diǎn)D引出相互垂直的兩條射線，DE,DF,過點(diǎn)B,C的射線分別交DE,DF于M,N兩點(diǎn)，且滿足NABM=NBCN，求證：NMAN=45。.第1頁共7頁CH1BC于C，過點(diǎn)A的直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，交BG、CH于G、H,【練1】CH1BC于C，過點(diǎn)A的直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，交BG、CH于G、H,(2)如圖，AABC中，AB=AC.點(diǎn)P與Q分別從B、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)以相同速度沿BA、AC運(yùn)動(dòng)，過P作PR1BC于R，連PQ交BC于S.①試猜想PS與SQ的大小關(guān)系，并加以證明；②求RS:BC的值.(3)如圖，在AABC中，/A是銳角，點(diǎn)D、E分別在AB,AC上，且/DCB=NEBC=1ZA,BE與CD相交于2點(diǎn)O,探究BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.*方法與技巧2：以等腰直角三角形為關(guān)鍵信息作為突破口【例2】(1)已知等腰RtAABC,CA=CB,點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，M、N分別在直線AC、BC上，ZMON=ZA.①如圖1,若/MON=45,求證：CN+MN=AM.②如圖2,若/MON=45,則CN、MN、AM之間的關(guān)系為第2頁共7頁（2）已知等腰RtAABC,^ABC=90,點(diǎn)D在AC上，以BD為直角邊作等腰RtKBDE，連EC.①當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上，求證：EC//AB；②當(dāng)點(diǎn)D在CA延長線時(shí)，（1）中結(jié)論是否仍然成立，若成立，試證明，若不成立，請(qǐng)說明理由.拓展：如圖：AABC是邊長為1的正三角形，D為BC中點(diǎn)，M、N分別為AB、AC上兩點(diǎn)，且滿足/MDN=60,連接DM、DN、MN,求：BM、MN、AN三邊的關(guān)系.【練2】（1）在AABC中，/C=90,AC=BC=2，將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，將此三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于點(diǎn)D，點(diǎn)E，圖①，②，③是旋轉(zhuǎn)得到的三種圖形.1）觀察線段PD和PE之間有怎樣的大小關(guān)系，并以圖②為例，加以說明;2）APBE是否構(gòu)成等腰三角形？若能，指出所有的情況（即求出APBE為等腰三角形時(shí)CE的長，直接寫出結(jié)果）;若不能，請(qǐng)說明理由.第3頁共7頁

(2)在平面內(nèi)有一等腰直角三角板(/ACB=90)和直線/.過點(diǎn)C作CE11于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BF11于點(diǎn)F.當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)(圖1),易證：AF+BF=2CE.當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2、圖3的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給于證明；若不成立，請(qǐng)直接寫出線段AF、BF、CE之間的數(shù)量關(guān)系.*方法與技巧3：以等邊三角形為關(guān)鍵信息作為突破口【例3】（1）如圖，在四邊形ABCD中，/B+ZD=180,AB=AD,^ACD=60,求證：AC=BC+CD.(2)如圖，AABC為等邊三角形，D為AC所在直線上一點(diǎn)，AE〃BC，且滿足/BDE=60。，當(dāng)D點(diǎn)分別運(yùn)動(dòng)到如圖所示情形時(shí).①求NCBD和ZADE的關(guān)系.②求證：DB=DE.③求AD、AE、和BC之間的關(guān)系.(3)等邊(3)等邊AOAB,G為OA上一點(diǎn)，K為OB延長線上一點(diǎn)，且滿足OG=BK.求證：GK=AK.第4頁共7頁【練3】（1）如圖，AABC、ACDE都是等邊三角形，①求證：BE=AD；②求BE與AD的夾角.A（2）如圖，等邊三角形AOAB中，G、H分別從O、A出發(fā)，以等速沿OA、AB運(yùn)動(dòng)，連OH、BG交于F.①試判斷/BFH的大小是否變化；②連AP，當(dāng)G、H運(yùn)動(dòng)到AF1BG時(shí)，求BF:OF的值.（3）如圖，等邊AABC中，若G從C出發(fā)，K從A出發(fā)，分別以等速沿AC和AB延長線運(yùn)動(dòng)，連GK、GB，求證：GK=GB.*方法與技巧4：以特殊角為關(guān)鍵信息作為突破口【例4】（1）如圖，AB=AC,若/A=20,在AB上取點(diǎn)W，使AW=BC,求N^WC的度數(shù).第5頁共7頁

C拓展：如圖，AB=AC，若/A=40，在AB上取點(diǎn)D，使BC=<3AD,求NBDC的度數(shù).(2)在AABC中，NA=100,AB=AC,點(diǎn)P為AABC內(nèi)一點(diǎn)，NPAC=NACP=20,求NPBA.【練4】(1)如圖，在AABC