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幾何輔助線提高專題(一)拓展部分.如圖,等腰直角AABC中,D為AB邊上的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D引出相互垂直的兩條射線,分別在射線上取點(diǎn)M、N,連MC、NC.求證:當(dāng)NMCN=45時(shí),NMAC=NNBD..如圖,AABC中,CP1AB于P,D、E為過(guò)點(diǎn)C引出的直線上的兩動(dòng)點(diǎn),且滿足NAEC=180-2NABC,/BDC=180—2/CAB,EA=EC,DC=DB,連EP,DP.求證:NEPC=NDPC.如圖,在AABC中,CD為高,DE1AC于E,DF1BC于F,AE,BF的垂直平分線交于點(diǎn)P,且PQ±AB,求證:BD=CD.拓展:如圖:等腰直角三角形ABC中,D為BC邊上的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D引出相互垂直的兩條射線,DE,DF,過(guò)點(diǎn)B,C的射線分別交DE,DF于M,N兩點(diǎn),且滿足NABM=NBCN,求證:NMAN=45。.第1頁(yè)共7頁(yè)CH1BC于C,過(guò)點(diǎn)A的直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),交BG、CH于G、H,【練1】CH1BC于C,過(guò)點(diǎn)A的直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),交BG、CH于G、H,(2)如圖,AABC中,AB=AC.點(diǎn)P與Q分別從B、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)以相同速度沿BA、AC運(yùn)動(dòng),過(guò)P作PR1BC于R,連PQ交BC于S.①試猜想PS與SQ的大小關(guān)系,并加以證明;②求RS:BC的值.(3)如圖,在AABC中,/A是銳角,點(diǎn)D、E分別在AB,AC上,且/DCB=NEBC=1ZA,BE與CD相交于2點(diǎn)O,探究BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.*方法與技巧2:以等腰直角三角形為關(guān)鍵信息作為突破口【例2】(1)已知等腰RtAABC,CA=CB,點(diǎn)O為AB的中點(diǎn),M、N分別在直線AC、BC上,ZMON=ZA.①如圖1,若/MON=45,求證:CN+MN=AM.②如圖2,若/MON=45,則CN、MN、AM之間的關(guān)系為第2頁(yè)共7頁(yè)(2)已知等腰RtAABC,^ABC=90,點(diǎn)D在AC上,以BD為直角邊作等腰RtKBDE,連EC.①當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上,求證:EC//AB;②當(dāng)點(diǎn)D在CA延長(zhǎng)線時(shí),(1)中結(jié)論是否仍然成立,若成立,試證明,若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.拓展:如圖:AABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,D為BC中點(diǎn),M、N分別為AB、AC上兩點(diǎn),且滿足/MDN=60,連接DM、DN、MN,求:BM、MN、AN三邊的關(guān)系.【練2】(1)在AABC中,/C=90,AC=BC=2,將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處,將此三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于點(diǎn)D,點(diǎn)E,圖①,②,③是旋轉(zhuǎn)得到的三種圖形.1)觀察線段PD和PE之間有怎樣的大小關(guān)系,并以圖②為例,加以說(shuō)明;2)APBE是否構(gòu)成等腰三角形?若能,指出所有的情況(即求出APBE為等腰三角形時(shí)CE的長(zhǎng),直接寫出結(jié)果);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.第3頁(yè)共7頁(yè)
(2)在平面內(nèi)有一等腰直角三角板(/ACB=90)和直線/.過(guò)點(diǎn)C作CE11于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BF11于點(diǎn)F.當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)(圖1),易證:AF+BF=2CE.當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2、圖3的位置時(shí),上述結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給于證明;若不成立,請(qǐng)直接寫出線段AF、BF、CE之間的數(shù)量關(guān)系.*方法與技巧3:以等邊三角形為關(guān)鍵信息作為突破口【例3】(1)如圖,在四邊形ABCD中,/B+ZD=180,AB=AD,^ACD=60,求證:AC=BC+CD.(2)如圖,AABC為等邊三角形,D為AC所在直線上一點(diǎn),AE〃BC,且滿足/BDE=60。,當(dāng)D點(diǎn)分別運(yùn)動(dòng)到如圖所示情形時(shí).①求NCBD和ZADE的關(guān)系.②求證:DB=DE.③求AD、AE、和BC之間的關(guān)系.(3)等邊(3)等邊AOAB,G為OA上一點(diǎn),K為OB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且滿足OG=BK.求證:GK=AK.第4頁(yè)共7頁(yè)【練3】(1)如圖,AABC、ACDE都是等邊三角形,①求證:BE=AD;②求BE與AD的夾角.A(2)如圖,等邊三角形AOAB中,G、H分別從O、A出發(fā),以等速沿OA、AB運(yùn)動(dòng),連OH、BG交于F.①試判斷/BFH的大小是否變化;②連AP,當(dāng)G、H運(yùn)動(dòng)到AF1BG時(shí),求BF:OF的值.(3)如圖,等邊AABC中,若G從C出發(fā),K從A出發(fā),分別以等速沿AC和AB延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng),連GK、GB,求證:GK=GB.*方法與技巧4:以特殊角為關(guān)鍵信息作為突破口【例4】(1)如圖,AB=AC,若/A=20,在AB上取點(diǎn)W,使AW=BC,求N^WC的度數(shù).第5頁(yè)共7頁(yè)
C拓展:如圖,AB=AC,若/A=40,在AB上取點(diǎn)D,使BC=<3AD,求NBDC的度數(shù).(2)在AABC中,NA=100,AB=AC,點(diǎn)P為AABC內(nèi)一點(diǎn),NPAC=NACP=20,求NPBA.【練4】(1)如圖,在AABC
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