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第四章圖形的相似7.相似三角形的性質(zhì)(一)一、學(xué)生知識(shí)狀況分析學(xué)生在之前七年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了全等圖形判定和性質(zhì),對(duì)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊的比已有所了解。在本章又學(xué)習(xí)了相似圖形的判定條件,對(duì)相似圖形,特別是相似三角形已有一定的認(rèn)識(shí)。通過前面的學(xué)習(xí)學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了一些關(guān)于相似三角形性質(zhì)的探究。例如,利用相似三角形測(cè)量旗桿的高度等實(shí)際問題,感受到了數(shù)學(xué)的實(shí)際價(jià)值,利用相似三角形的性質(zhì)的解決問題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。本節(jié)主要研究相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比、對(duì)應(yīng)中線的比都等于相似比這一性質(zhì),九年級(jí)學(xué)生在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)過程,具有了一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),學(xué)生間相互評(píng)價(jià)、相互提問的積極性高,因此,參與有關(guān)性質(zhì)的實(shí)踐探究活動(dòng)的熱情應(yīng)該是比較高的。二、教學(xué)任務(wù)分析教材基于學(xué)生對(duì)相似三角形的性質(zhì)的基礎(chǔ)上,提出了本課的學(xué)習(xí)任務(wù):理解相似三角形的性質(zhì),讓學(xué)生經(jīng)歷探索相似三角形性質(zhì)的過程,并在探索過程中,發(fā)展學(xué)生積極的情感、態(tài)度、價(jià)值觀、體現(xiàn)解決問題策略的多樣性,同時(shí)也力圖在學(xué)習(xí)過程中,逐步達(dá)成學(xué)生的有關(guān)情感態(tài)度目標(biāo)。為此本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是:(一)知識(shí)目標(biāo):經(jīng)歷探索相似三角形中對(duì)應(yīng)線段比值與相似比的關(guān)系的過程,理解相似三角形的性質(zhì)。利用相似三角形的性質(zhì)解決一些實(shí)際問題.(二)能力目標(biāo):培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和合作意識(shí);通過運(yùn)用相似三角形的性質(zhì),增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).在探索過程中發(fā)展學(xué)生類比的數(shù)學(xué)思想及全面思考的思維品質(zhì).(三)情感與價(jià)值觀目標(biāo):在探索過程中發(fā)展學(xué)生積極的情感、態(tài)度、價(jià)值觀,體現(xiàn)解決問題策略的多樣性.三、教學(xué)過程分析本節(jié)課設(shè)計(jì)了五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié):第一環(huán)節(jié):探究相似三角形對(duì)應(yīng)高的比.;第二環(huán)節(jié):類比探究相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比;第三環(huán)節(jié):學(xué)以致用(相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用);第四環(huán)節(jié):課堂小結(jié)(初步升華所學(xué)內(nèi)容)第五環(huán)節(jié):布置作業(yè)。第一環(huán)節(jié):探究相似三角形對(duì)應(yīng)高的比.引入語:在前面我們學(xué)習(xí)了相似三角形的定義和判定條件,知道相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例。那么,在兩個(gè)相似三角形中是否只有對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例這個(gè)性質(zhì)呢?本節(jié)課我們將研究相似三角形的其他性質(zhì).內(nèi)容:探究活動(dòng)一:(投影片)在生活中,我們經(jīng)常利用相似的知識(shí)解決建筑類問題.如圖,小王依據(jù)圖紙上的AABC,以1:2的比例建造了模型房梁△A/B/C/,CD和C/D/分別是它們的立柱。(1)試寫出4ABC與△A/B/C/的對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系,對(duì)應(yīng)角之間的關(guān)系。(2)△ACD與AA/C/D/相似嗎?為什么?如果相似,指出它們的相似比。(3)如果CD=1.5cm,那么模型房的房梁立柱有多高?(4)據(jù)此,你可以發(fā)現(xiàn)相似三角形怎樣的性質(zhì)?[生]解:(1)色=匹=至=1ArB'B'C'AC'2ZA=ZA/,NB=NB/,ZACB=ZA/C/B/(2)△ACDs^A'CD';CD±AB,C/D/上A/B/???,ZADC=ZA/D/C/=90o;ZA=ZA/
???△ACD-△A‘CD'(兩個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形相似).ACADCD1?? = = =—A/C/A/D/C/D/ 2(3)?.?CD=1,cD=1.5cmCD'2AC/D/=3cm(4)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比目的:通過學(xué)生熟悉的建筑模型房入手,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,層層設(shè)問,引發(fā)學(xué)生思維層層遞進(jìn),從相似三角形的最基本性質(zhì)展開研究.使學(xué)生明確相似比與對(duì)應(yīng)高的比的關(guān)系.效果:通過層層設(shè)問,引導(dǎo)學(xué)生剝開問題的表面看到了相似三角形的性質(zhì):對(duì)應(yīng)高的比等于相似比.第二環(huán)節(jié):類比探究相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比過渡語:剛才我們利用相似的判定與基本性質(zhì)得到了相似三角形中一種特殊線段的關(guān)系,即對(duì)應(yīng)高的比等于相似比,相似三角形中除了高是特殊線段,還有哪些特殊線段?它們也具有特殊關(guān)系嗎?下面讓我們一起探究:內(nèi)容:探究活動(dòng)二:(投影片)如圖:已知△ABCs^A,B,C,相似比為k,AD平分NBAC,A/D/平分NB/A/C/;E、E/分別為BC、B/C/的中點(diǎn)。試探究AD與A/D/的比值關(guān)系,AE與A/E/呢?要求:類比探究,小組合作,至少證明其中一個(gè)結(jié)論.[生1]解:???△abcs^a,b,c,???NBAC=NB/A/C/ZB=ZBzAb-=kA/B/VAD平分NBAC,A/D/平分NB/A/C/:.(BAD=/B/A/D/???△BAD-AB/A/D/(兩個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形相似).ABBDAD,?? = = =kA/B/B/D/A/D/[生2]解:TAABC-△A'B'C'NB=/B‘旦=匹=kA/B/B/C/???E、E/分別為BC、B/C/的中點(diǎn)1八 1 八:.BE=bBC,B/E/=B/C/2 2BE_BCB/E/B/C/ABBC==kA/B/B/C/ABBE==kA/B/B/E/NB=NB'△BAE-AB/A/E/(兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似)ABBEAE? = = =kA/B/B/E/A/E/小結(jié):由此可知相似三角形還有以下性質(zhì).相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比和對(duì)應(yīng)中線的比都等于相似比.目的:通過學(xué)生小組合作探究,類比前面探究過程,引發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究意識(shí)、培養(yǎng)合作交流能力,發(fā)展學(xué)生的類比的思維能力,與歸納總結(jié)能力.效果:學(xué)生通過合作探究,可以發(fā)現(xiàn)相似三角形中對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比.內(nèi)容:探究活動(dòng)三:(投影片)過渡語:我們已經(jīng)得到了相似三角形中特殊線段的關(guān)系,如果把角平分線、中線變?yōu)閷?duì)應(yīng)角的三等分線、四等分線、…口等分線,對(duì)應(yīng)邊的三等分線、四等分線、…n等分線,那么它們也具有特殊關(guān)系嗎?下面請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立探索以下問題:如圖3—32.已知&姐cs&n田k:a姐c與也3七七’的相似比為上111若/e%?d=WnbRC,則第等于多少?0 0 A£J{21若BE=^BC.BE=;B七;則考等于多少?o u AE7(3)你能得到哪些結(jié)論?圖3-32[生1](1)解:,?AABC^AA1B'CAJl:.ABAC=ABAiCi/B=/B'-=-=kAB/:ABAD=-ZBAC9ZB/A/D/=-ZB/A/C/3 3:.ABAD=ABiAiDi??ABAD-AB/A/D/(兩個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形相似).ABBDAD,AiBiB/D/AiDi[生2](2)解:,?AABC^AAzB'CAiBiB/Ci???BE=-BC.BiEi=-BiCi3 3BE_BCB/EiBiCi
ABBC. = =kA/B/B/C//B=/B,AABAE-AB/A/E/(兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似)ABBEAE = = =kA/B/B/E/A/E/[生3](3)相似三角形對(duì)應(yīng)角的n等分線的比和對(duì)應(yīng)邊的n等分線的比等于相似比.目的:有了前面探索的基礎(chǔ),學(xué)生完全有能力獨(dú)立完成“變式問題”的探索,在探索過程中,發(fā)展學(xué)生類比探究的能力與獨(dú)立解決問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生全面思考的思維品質(zhì).效果:學(xué)生能夠很順利地完成探究活動(dòng),并能夠通過類比的思想總結(jié)出相關(guān)結(jié)論.第三環(huán)節(jié):學(xué)以致用(相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用)內(nèi)容:網(wǎng)如圖3-33.月。是以應(yīng)的高?點(diǎn)巴。在雨邊I:?點(diǎn)衛(wèi)在」匚邊卜??點(diǎn)后在-拉邊上.5C=G0cm, 四邊把叩盤是正方形.(J)&4即與品相似嗎?為汁餐?(2)求iE方形尸◎起的邊長.解二(1)&AS及&ABC.理由是二1四邊用尸g圖是正方形...SR//BC./..4SR=/_B,/'.4RS=7.C... 姐匚(兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似).;1|⑴可卿A.'JST?5&4BC.祭=罟(相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比).AUjlfL設(shè)正方君也留的邊長為工cm則越=(40—工)cn-10_而解得工=2L..正方瑙PQRS的邊任為血cm練習(xí):課本95頁隨堂練習(xí)2兩個(gè)相似三角形中一組對(duì)應(yīng)角平分線的長分別是2cm和5cm,求這兩個(gè)三角形的相似比。在這兩個(gè)三角形的一組對(duì)應(yīng)中線中,如果較短的中線是3cm,那么較長的中線多長?[生1]解:根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比可知:2相似比為2;較長中線的長等于3x5+2=7.5cm.5目的:要求學(xué)生能用相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比的性質(zhì)來解決生活與生產(chǎn)中的實(shí)際問題。增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。效果:學(xué)生能夠運(yùn)用前面所學(xué)解決問題,培養(yǎng)學(xué)生能發(fā)現(xiàn)問題,能夠利用相似三角形相關(guān)性質(zhì)解決問題的能力。第四環(huán)節(jié):課堂小結(jié)(初步升華所學(xué)內(nèi)容)內(nèi)容:師生互相交流相似三角形的性質(zhì)定理及拓展結(jié)論,在方法上的收獲。目的:本節(jié)課主要根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和判定推導(dǎo)出了相似三角形的性質(zhì):相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比和對(duì)應(yīng)中線的比都等于相似比。能夠總結(jié)出運(yùn)用類比數(shù)學(xué)思想方法解決問題。效果:學(xué)生暢所欲言自己切身的感受和實(shí)際收獲,會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問題,使學(xué)生充分感受:我們周圍無處沒有數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)就在我們身邊!第五環(huán)節(jié):布置作業(yè)習(xí)題1、2、3、4(再次升華所學(xué)內(nèi)容)學(xué)法指導(dǎo)相似圖形是現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在的現(xiàn)象,探索相似圖形的一些重要性質(zhì)的過程,不僅可以是學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)、描述物體的形狀,體會(huì)圖形相似在刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的重要作用,而且也可以通過解決
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