中考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義習(xí)題解答第23講圓與圓

第二十三講圓與圓圓與圓的地點關(guān)系有外離、外切、訂交、內(nèi)切、內(nèi)含五種情況，判斷兩圓的地點關(guān)系有以下三種方法：1．經(jīng)過兩圓交點的個數(shù)確立；2．經(jīng)過兩圓的半徑與圓心距的大小量化確立；3．經(jīng)過兩圓的公切線的條數(shù)確立．為了交流兩圓，經(jīng)常增添與兩圓都有聯(lián)系的一些線段，如公共弦、共切線、連心線，以及兩圓公共部分有關(guān)的角和線段，這是解圓與圓地點關(guān)系問題的常用協(xié)助線．熟習(xí)以下基本圖形、基本結(jié)論：【例題求解】【例1】如圖，⊙Ol與半徑為4的⊙O2內(nèi)切于點A，⊙Ol經(jīng)過圓心O2，作⊙O2的直徑BC交⊙Ol于點D，EF為過點A的公切線，若O2D=22，那么∠BAF=度．思路點撥直徑、公切線、O2的特別地點等，隱含豐富的信息，而連O2Ol必過A點，先求出∠DO2A的度數(shù)．注：(1)兩圓相切或訂交時，公切線或公共弦是重要的近似于“橋梁”的協(xié)助線，它能夠使1弦切角與圓周角、圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)角與外角得以交流．同時，又是生成圓冪定理的重要要素．(2)波及兩圓地點關(guān)系的計算題，常作半徑、連心線，聯(lián)合切線性質(zhì)等結(jié)構(gòu)直角三角形，將分別的條件集中，經(jīng)過解直角三角形求解．【例2】如圖，⊙Ol與⊙O2外切于點A，兩圓的一條外公切線與⊙O1相切于點B，若AB與兩圓的另一條外公切線平行，則⊙Ol與⊙O2的半徑之比為()A．2：5B．1：2C．1：3D．2：3思路點撥增添協(xié)助線，要研究兩半徑之間的關(guān)系，一定求出∠COlO2(或∠DO2Ol)的度數(shù)，為此需追求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的關(guān)系．【例3】如圖，已知⊙Ol與⊙O2訂交于A、B兩點，P是⊙Ol上一點，PB的延伸線交⊙O2于點C，PA交⊙O2于點D，CD的延伸線交⊙Ol于點N．(1)過點A作AE∥CN交⊙Oll于點E，求證：PA=PE；(2)連接PN，若PB=4，BC=2，求PN的長．思路點撥(1)連AB，充分運用與圓有關(guān)的角，證明∠PAE=∠PEA；(2)PB·PC=PD·PA，探訪PN、PD、PA對應(yīng)三角形的聯(lián)系．2【例4】如圖，兩個齊心圓的圓心是O，AB是大圓的直徑，大圓的弦與小圓相切于點D，連接OD并延伸交大圓于點E，連接BE交AC于點F，已知AC=42，大、小兩圓半徑差為2．(1)求大圓半徑長；(2)求線段BF的長；(3)求證：EC與過B、F、C三點的圓相切．思路點撥(1)設(shè)大圓半徑為R，則小圓半徑為R-2，成立R的方程；(2)證明△EBC∽△ECF；(3)過B、F、C三點的圓的圓心O′，必在BF上，連OˊC，證明∠O′CE=90°．注：本例以齊心圓為背景，綜合了垂徑定理、直徑所對的圓周角為直角、切線的判斷、勾股定理、相像三角形等豐富的知識．作出圓中基本協(xié)助線、運用與圓有關(guān)的角是解本例的重點．【例5】如圖，AOB是半徑為1的單位圓的四分之一，半圓O1的圓心O1在OA上，并與弧AB內(nèi)切于點A，半圓O2的圓心O2在OB上，并與弧AB內(nèi)切于點B，半圓O1與半圓O2相切，設(shè)兩半圓的半徑之和為x，面積之和為y．3(1)試成立以x為自變量的函數(shù)y的分析式；(2)求函數(shù)y的最小值．思路點撥設(shè)兩圓半徑分別為R、r，對于(1)，y12r2)，經(jīng)過變形把R2+r2用“x=R+r”(R2的代數(shù)式表示，作出基本協(xié)助線；對于(2)，因x=R+r，故是在拘束條件下求y的最小值，解題的重點是求出R+r的取值范圍．注：如圖，半徑分別為r、R的⊙Ol、⊙O2外切于C，AB，CM分別為兩圓的公切線，OlO2與AB交于P點，則：(1)AB=2Rr；∠ACB=∠OlMO2=90°；(3)PC2=PA·PB；(4)sinP=Rr；Rr(5)設(shè)C到AB的距離為d，則112．rRd學(xué)力訓(xùn)練1．已知：⊙Ol和⊙O2交于A、B兩點，且⊙Ol經(jīng)過點O2，若∠AOlB=90°，則∠AO2B的度數(shù)是．42．矩形ABCD中，AB=5，BC=12，假如分別以A、C為圓心的兩圓相切，點D在圓C內(nèi)，點B在圓C外，那么圓A的半徑r的取值范圍．(2003年上海市中考題)3．如圖；⊙Ol、⊙O2訂交于點A、B，現(xiàn)給出4個命題：(1)若AC是⊙O2的切線且交⊙Ol于點C，AD是⊙Ol的切線且交⊙O2于點D，則AB2=BC·BD；(2)連接AB、OlO2，若OlA=15cm，O2A=20cm，AB=24cm，則OlO2=25cm；(3)若CA是⊙Ol的直徑，DA是⊙O2的一條非直徑的弦，且點D、B不重合，則C、B、D三點不在同一條直線上，(4)若過點A作⊙Ol的切線交⊙O2于點D，直線DB交⊙Ol于點C，直線CA交⊙O2于點E，連接DE，則DE2=DB·DC，則正確命題的序號是(寫出全部正確命題的序號)．4．如圖，半圓O的直徑AB=4，與半圓O內(nèi)切的動圓Ol與AB切于點M，設(shè)⊙Ol的半徑為y，AM的長為x，則y與x的函數(shù)關(guān)系是，自變量x的取值范圍是．5．如圖，施工工地的水平川面上，有三根外徑都是1米的水泥管兩兩相切摞在一同，則其最高點到地面的距離是()A．2B．12C．13D．132226．如圖，已知⊙Ol、⊙O2訂交于A、B兩點，且點Ol在⊙O2上，過A作⊙Oll的切線AC5交BOl的延伸線于點P，交⊙O2于點C，BP交⊙Ol于點D，若PD=1，PA=5，則AC的長為()A．5B．25C．25D．357．如圖，⊙Ol和⊙O2外切于A，PA是內(nèi)公切線，BC是外公切線，B、C是切點①PB=AB；②∠PBA=∠PAB；③△PAB∽△OlAB；④PB·PC=OlA·O2A．上述結(jié)論，正確結(jié)論的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．48．兩圓的半徑分別是和r(R>r)，圓心距為d，若對于x的方程x22rx(Rd)20有兩個相等的實數(shù)根，則兩圓的地點關(guān)系是()A．必定內(nèi)切B．必定外切C．訂交D．內(nèi)切或外切9．如圖，⊙Ol和⊙O2內(nèi)切于點P，過點P的直線交⊙Ol于點D，交⊙O2于點E，DA與O2相切，切點為C．1）求證：PC均分∠APD；(2)求證：PD·PA=PC2+AC·DC；(3)若PE=3，PA=6，求PC的長．10．如圖，已知⊙Ol和⊙O2外切于A，BC是⊙Ol和⊙O2的公切線，切點為B、C，連接BA并延伸交⊙Ol于D，過D點作CB的平行線交⊙O2于E、F，求證：(1)CD是⊙Ol的直徑；(2)試判斷線段BC、BE、BF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．611．如圖，已知A是⊙Ol、⊙O2的一個交點，點M是OlO2的中點，過點A的直線BC垂直于MA，分別交⊙Ol、⊙O2于B、C．(1)求證：AB=AC；(2)若OlA切⊙O2于點A，弦AB、AC的弦心距分別為dl、d2，求證：dl+d2=O1O2；(3)在(2)的條件下，若dld2=1，設(shè)⊙Ol、⊙O2的半徑分別為R、r，求證：R2+r2=R2r2．12．已知半徑分別為1和2的兩個圓外切于點P，則點P到兩圓外公切線的距離為．13．如圖，7根圓形筷子的橫截面圓半徑為r，則捆扎這7根筷子一周的繩索的長度為．14．如圖，⊙Ol和⊙O2內(nèi)切于點P，⊙O2的弦AB經(jīng)過⊙Ol的圓心Ol，交⊙Ol于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，則⊙Ol與⊙O2的直徑之比為()A．2：7B．2：5C．2：3D．1：315．如圖，⊙Ol與⊙O2訂交，P是⊙Ol上的一點，過P點作兩圓的切線，則切線的條數(shù)可能是()7A．1，2B．1，3C．1，2，3D．1，2，3，416．如圖，相等兩圓交于A、B兩點，過B任作向來線交兩圓于M、N，過M、N各引所在圓的切線訂交于C，則四邊形AMCN有下邊關(guān)系成立()A．有內(nèi)切圓無外接圓B有外接圓無內(nèi)切圓C．既有內(nèi)切圓，也有外接圓D．以上狀況都不對17．已知：如圖，⊙O與訂交于A，B兩點，點P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于點A，CP及其延伸線交⊙PP于點D，E，過點E作EF⊥CE交CB的延伸線于F．（1）求證：BC是⊙P的切線；(2)若CD=2，CB=22，求EF的長；(3)若k=PE：CE，能否存在實數(shù)k，使△PBD恰巧是等邊三角形?若存在，求出是的值；若不存在，請說明原因．18．如圖，⊙A和⊙B是外離兩圓，⊙A的半徑長為2，⊙B的半徑長為1，AB=4，P為連8接兩圓圓心的線段AB上的一點，PC切⊙A于點C，PD切⊙B于點D．(1)若PC=PD，求PB的長；(2)試問線段AB上能否存在一點P，使PC2+PD2=4？，假如存在，問這樣的P點有幾個?并求出PB的值；假如不存在，說明原因；(3)當(dāng)點F在線段AB上運動到某處，使PC⊥PD時，就有△APC∽△PBD．請問：除上述狀況外，當(dāng)點P在線段AB上運動到哪處(說明PB的長為多少，或PC、PD擁有何種關(guān)系)時，這兩個三角形仍相像；并判斷此時直線CP與OB的地點關(guān)系，證明你的結(jié)論．19．如圖，D、E是△ABC邊BC上的兩點，F(xiàn)是BA延伸線上一點，∠DAE=∠CAF．(1)判斷△ABD的外接圓與△AEC的外接圓的地點關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若△ABD的外接圓半徑是△AEC的外接圓半徑的2倍，BC=6，AB=4，求BE的長．20．問題：要將一塊直徑為2cm的半圓形鐵皮加工成一個圓柱的兩個底面和一個圓錐的底面．操作：方案一：在圖甲中，設(shè)計一個使圓錐底面最大，半圓形鐵皮得以