中考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義習(xí)題解答第23講圓與圓

第二十三講圓與圓圓與圓的地點(diǎn)關(guān)系有外離、外切、訂交、內(nèi)切、內(nèi)含五種情況，判斷兩圓的地點(diǎn)關(guān)系有以下三種方法：1．經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確立；2．經(jīng)過(guò)兩圓的半徑與圓心距的大小量化確立；3．經(jīng)過(guò)兩圓的公切線的條數(shù)確立．為了交流兩圓，經(jīng)常增添與兩圓都有聯(lián)系的一些線段，如公共弦、共切線、連心線，以及兩圓公共部分有關(guān)的角和線段，這是解圓與圓地點(diǎn)關(guān)系問(wèn)題的常用協(xié)助線．熟習(xí)以下基本圖形、基本結(jié)論：【例題求解】【例1】如圖，⊙Ol與半徑為4的⊙O2內(nèi)切于點(diǎn)A，⊙Ol經(jīng)過(guò)圓心O2，作⊙O2的直徑BC交⊙Ol于點(diǎn)D，EF為過(guò)點(diǎn)A的公切線，若O2D=22，那么∠BAF=度．思路點(diǎn)撥直徑、公切線、O2的特別地點(diǎn)等，隱含豐富的信息，而連O2Ol必過(guò)A點(diǎn)，先求出∠DO2A的度數(shù)．注：(1)兩圓相切或訂交時(shí)，公切線或公共弦是重要的近似于“橋梁”的協(xié)助線，它能夠使1弦切角與圓周角、圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)角與外角得以交流．同時(shí)，又是生成圓冪定理的重要要素．(2)波及兩圓地點(diǎn)關(guān)系的計(jì)算題，常作半徑、連心線，聯(lián)合切線性質(zhì)等結(jié)構(gòu)直角三角形，將分別的條件集中，經(jīng)過(guò)解直角三角形求解．【例2】如圖，⊙Ol與⊙O2外切于點(diǎn)A，兩圓的一條外公切線與⊙O1相切于點(diǎn)B，若AB與兩圓的另一條外公切線平行，則⊙Ol與⊙O2的半徑之比為()A．2：5B．1：2C．1：3D．2：3思路點(diǎn)撥增添協(xié)助線，要研究?jī)砂霃街g的關(guān)系，一定求出∠COlO2(或∠DO2Ol)的度數(shù)，為此需追求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的關(guān)系．【例3】如圖，已知⊙Ol與⊙O2訂交于A、B兩點(diǎn)，P是⊙Ol上一點(diǎn)，PB的延伸線交⊙O2于點(diǎn)C，PA交⊙O2于點(diǎn)D，CD的延伸線交⊙Ol于點(diǎn)N．(1)過(guò)點(diǎn)A作AE∥CN交⊙Oll于點(diǎn)E，求證：PA=PE；(2)連接PN，若PB=4，BC=2，求PN的長(zhǎng)．思路點(diǎn)撥(1)連AB，充分運(yùn)用與圓有關(guān)的角，證明∠PAE=∠PEA；(2)PB·PC=PD·PA，探訪PN、PD、PA對(duì)應(yīng)三角形的聯(lián)系．2【例4】如圖，兩個(gè)齊心圓的圓心是O，AB是大圓的直徑，大圓的弦與小圓相切于點(diǎn)D，連接OD并延伸交大圓于點(diǎn)E，連接BE交AC于點(diǎn)F，已知AC=42，大、小兩圓半徑差為2．(1)求大圓半徑長(zhǎng)；(2)求線段BF的長(zhǎng)；(3)求證：EC與過(guò)B、F、C三點(diǎn)的圓相切．思路點(diǎn)撥(1)設(shè)大圓半徑為R，則小圓半徑為R-2，成立R的方程；(2)證明△EBC∽△ECF；(3)過(guò)B、F、C三點(diǎn)的圓的圓心O′，必在BF上，連OˊC，證明∠O′CE=90°．注：本例以齊心圓為背景，綜合了垂徑定理、直徑所對(duì)的圓周角為直角、切線的判斷、勾股定理、相像三角形等豐富的知識(shí)．作出圓中基本協(xié)助線、運(yùn)用與圓有關(guān)的角是解本例的重點(diǎn)．【例5】如圖，AOB是半徑為1的單位圓的四分之一，半圓O1的圓心O1在OA上，并與弧AB內(nèi)切于點(diǎn)A，半圓O2的圓心O2在OB上，并與弧AB內(nèi)切于點(diǎn)B，半圓O1與半圓O2相切，設(shè)兩半圓的半徑之和為x，面積之和為y．3(1)試成立以x為自變量的函數(shù)y的分析式；(2)求函數(shù)y的最小值．思路點(diǎn)撥設(shè)兩圓半徑分別為R、r，對(duì)于(1)，y12r2)，經(jīng)過(guò)變形把R2+r2用“x=R+r”(R2的代數(shù)式表示，作出基本協(xié)助線；對(duì)于(2)，因x=R+r，故是在拘束條件下求y的最小值，解題的重點(diǎn)是求出R+r的取值范圍．注：如圖，半徑分別為r、R的⊙Ol、⊙O2外切于C，AB，CM分別為兩圓的公切線，OlO2與AB交于P點(diǎn)，則：(1)AB=2Rr；∠ACB=∠OlMO2=90°；(3)PC2=PA·PB；(4)sinP=Rr；Rr(5)設(shè)C到AB的距離為d，則112．rRd學(xué)力訓(xùn)練1．已知：⊙Ol和⊙O2交于A、B兩點(diǎn)，且⊙Ol經(jīng)過(guò)點(diǎn)O2，若∠AOlB=90°，則∠AO2B的度數(shù)是．42．矩形ABCD中，AB=5，BC=12，假如分別以A、C為圓心的兩圓相切，點(diǎn)D在圓C內(nèi)，點(diǎn)B在圓C外，那么圓A的半徑r的取值范圍．(2003年上海市中考題)3．如圖；⊙Ol、⊙O2訂交于點(diǎn)A、B，現(xiàn)給出4個(gè)命題：(1)若AC是⊙O2的切線且交⊙Ol于點(diǎn)C，AD是⊙Ol的切線且交⊙O2于點(diǎn)D，則AB2=BC·BD；(2)連接AB、OlO2，若OlA=15cm，O2A=20cm，AB=24cm，則OlO2=25cm；(3)若CA是⊙Ol的直徑，DA是⊙O2的一條非直徑的弦，且點(diǎn)D、B不重合，則C、B、D三點(diǎn)不在同一條直線上，(4)若過(guò)點(diǎn)A作⊙Ol的切線交⊙O2于點(diǎn)D，直線DB交⊙Ol于點(diǎn)C，直線CA交⊙O2于點(diǎn)E，連接DE，則DE2=DB·DC，則正確命題的序號(hào)是(寫出全部正確命題的序號(hào))．4．如圖，半圓O的直徑AB=4，與半圓O內(nèi)切的動(dòng)圓Ol與AB切于點(diǎn)M，設(shè)⊙Ol的半徑為y，AM的長(zhǎng)為x，則y與x的函數(shù)關(guān)系是，自變量x的取值范圍是．5．如圖，施工工地的水平川面上，有三根外徑都是1米的水泥管兩兩相切摞在一同，則其最高點(diǎn)到地面的距離是()A．2B．12C．13D．132226．如圖，已知⊙Ol、⊙O2訂交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)Ol在⊙O2上，過(guò)A作⊙Oll的切線AC5交BOl的延伸線于點(diǎn)P，交⊙O2于點(diǎn)C，BP交⊙Ol于點(diǎn)D，若PD=1，PA=5，則AC的長(zhǎng)為()A．5B．25C．25D．357．如圖，⊙Ol和⊙O2外切于A，PA是內(nèi)公切線，BC是外公切線，B、C是切點(diǎn)①PB=AB；②∠PBA=∠PAB；③△PAB∽△OlAB；④PB·PC=OlA·O2A．上述結(jié)論，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．48．兩圓的半徑分別是和r(R>r)，圓心距為d，若對(duì)于x的方程x22rx(Rd)20有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則兩圓的地點(diǎn)關(guān)系是()A．必定內(nèi)切B．必定外切C．訂交D．內(nèi)切或外切9．如圖，⊙Ol和⊙O2內(nèi)切于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P的直線交⊙Ol于點(diǎn)D，交⊙O2于點(diǎn)E，DA與O2相切，切點(diǎn)為C．1）求證：PC均分∠APD；(2)求證：PD·PA=PC2+AC·DC；(3)若PE=3，PA=6，求PC的長(zhǎng)．10．如圖，已知⊙Ol和⊙O2外切于A，BC是⊙Ol和⊙O2的公切線，切點(diǎn)為B、C，連接BA并延伸交⊙Ol于D，過(guò)D點(diǎn)作CB的平行線交⊙O2于E、F，求證：(1)CD是⊙Ol的直徑；(2)試判斷線段BC、BE、BF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．611．如圖，已知A是⊙Ol、⊙O2的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)M是OlO2的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線BC垂直于MA，分別交⊙Ol、⊙O2于B、C．(1)求證：AB=AC；(2)若OlA切⊙O2于點(diǎn)A，弦AB、AC的弦心距分別為dl、d2，求證：dl+d2=O1O2；(3)在(2)的條件下，若dld2=1，設(shè)⊙Ol、⊙O2的半徑分別為R、r，求證：R2+r2=R2r2．12．已知半徑分別為1和2的兩個(gè)圓外切于點(diǎn)P，則點(diǎn)P到兩圓外公切線的距離為．13．如圖，7根圓形筷子的橫截面圓半徑為r，則捆扎這7根筷子一周的繩索的長(zhǎng)度為．14．如圖，⊙Ol和⊙O2內(nèi)切于點(diǎn)P，⊙O2的弦AB經(jīng)過(guò)⊙Ol的圓心Ol，交⊙Ol于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，則⊙Ol與⊙O2的直徑之比為()A．2：7B．2：5C．2：3D．1：315．如圖，⊙Ol與⊙O2訂交，P是⊙Ol上的一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作兩圓的切線，則切線的條數(shù)可能是()7A．1，2B．1，3C．1，2，3D．1，2，3，416．如圖，相等兩圓交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)B任作向來(lái)線交兩圓于M、N，過(guò)M、N各引所在圓的切線訂交于C，則四邊形AMCN有下邊關(guān)系成立()A．有內(nèi)切圓無(wú)外接圓B有外接圓無(wú)內(nèi)切圓C．既有內(nèi)切圓，也有外接圓D．以上狀況都不對(duì)17．已知：如圖，⊙O與訂交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于點(diǎn)A，CP及其延伸線交⊙PP于點(diǎn)D，E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CE交CB的延伸線于F．（1）求證：BC是⊙P的切線；(2)若CD=2，CB=22，求EF的長(zhǎng)；(3)若k=PE：CE，能否存在實(shí)數(shù)k，使△PBD恰巧是等邊三角形?若存在，求出是的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因．18．如圖，⊙A和⊙B是外離兩圓，⊙A的半徑長(zhǎng)為2，⊙B的半徑長(zhǎng)為1，AB=4，P為連8接兩圓圓心的線段AB上的一點(diǎn)，PC切⊙A于點(diǎn)C，PD切⊙B于點(diǎn)D．(1)若PC=PD，求PB的長(zhǎng)；(2)試問(wèn)線段AB上能否存在一點(diǎn)P，使PC2+PD2=4？，假如存在，問(wèn)這樣的P點(diǎn)有幾個(gè)?并求出PB的值；假如不存在，說(shuō)明原因；(3)當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上運(yùn)動(dòng)到某處，使PC⊥PD時(shí)，就有△APC∽△PBD．請(qǐng)問(wèn)：除上述狀況外，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)到哪處(說(shuō)明PB的長(zhǎng)為多少，或PC、PD擁有何種關(guān)系)時(shí)，這兩個(gè)三角形仍相像；并判斷此時(shí)直線CP與OB的地點(diǎn)關(guān)系，證明你的結(jié)論．19．如圖，D、E是△ABC邊BC上的兩點(diǎn)，F(xiàn)是BA延伸線上一點(diǎn)，∠DAE=∠CAF．(1)判斷△ABD的外接圓與△AEC的外接圓的地點(diǎn)關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若△ABD的外接圓半徑是△AEC的外接圓半徑的2倍，BC=6，AB=4，求BE的長(zhǎng)．20．問(wèn)題：要將一塊直徑為2cm的半圓形鐵皮加工成一個(gè)圓柱的兩個(gè)底面和一個(gè)圓錐的底面．操作：方案一：在圖甲中，設(shè)計(jì)一個(gè)使圓錐底面最大，半圓形鐵皮得以