統(tǒng)計學(xué)第五章參數(shù)估計與假設(shè)檢驗

統(tǒng)計學(xué)第五章參數(shù)估計與假設(shè)檢驗第一頁，共四十八頁，2022年，8月28日推斷統(tǒng)計：利用樣本統(tǒng)計量對總體某些性質(zhì)或數(shù)量特征進行推斷。隨機原則總體樣本總體參數(shù)統(tǒng)計量推斷估計參數(shù)估計檢驗假設(shè)檢驗抽樣分布第二頁，共四十八頁，2022年，8月28日抽樣分布簡單隨機抽樣和簡單隨機樣本的性質(zhì)無限總體有限總體不放回放回樣本樣本放回不放回樣本樣本獨立性和同一性同一性當(dāng)n/N≤5%時，有限總體不放回抽樣等同于放回抽樣無限總體第三頁，共四十八頁，2022年，8月28日統(tǒng)計量與抽樣分布統(tǒng)計量：即樣本指標(biāo)。樣本均值樣本成數(shù)樣本方差如：第四頁，共四十八頁，2022年，8月28日抽樣分布：某一統(tǒng)計量所有可能的樣本的取值形成的分布。性質(zhì)數(shù)字特征0≤P（Xi）1∑P（Xi）=1均值E（X）方差E[x-E(x)]2第五頁，共四十八頁，2022年，8月28日樣本均值的抽樣分布（簡稱均值的分布）抽樣總體樣本均值X,(N)均值μ=∑Xi/Nx,(n)樣本均值是樣本的函數(shù)，故樣本均值是一個統(tǒng)計量，統(tǒng)計量是一個隨機變量，它的概率分布稱為樣本均值的抽樣分布。第六頁，共四十八頁，2022年，8月28日無限總體均值：方差：有限總體放回抽樣？樣本均值的數(shù)字特征第七頁，共四十八頁，2022年，8月28日有限總體不放回抽樣均值：方差：校正系數(shù)第八頁，共四十八頁，2022年，8月28日從正態(tài)總體中抽樣得到的均值的分布也服從正態(tài)分布。從非正態(tài)總體中抽樣得到的均值的分布呢？中心極限定理：無論總體為何種分布，只要樣本n足夠大（n≥30），均值標(biāo)準(zhǔn)化為（z）變量，必定服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，均值則服從正態(tài)分布，即：第九頁，共四十八頁，2022年，8月28日結(jié)論：1、無論是放回或不放回抽樣，樣本均值的數(shù)學(xué)期望總是等于總體的均值；3、擴大樣本容量，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差減??；2、樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差即抽樣誤差，總是按一定比例小于總體標(biāo)準(zhǔn)差，而且不放回抽樣的抽樣誤差比放回抽樣誤差??；4、當(dāng)總體為非正態(tài)分布時，樣本均值的抽樣分布隨著樣本容量的擴大而趨近于正態(tài)分布。第十頁，共四十八頁，2022年，8月28日例：某類產(chǎn)品的抗拉強度服從正態(tài)分布，平均值為99.8公斤/平方厘米，標(biāo)準(zhǔn)差為5.48公斤/平方厘米，從這個總體中抽出一個容量為12的樣本，問這一樣本的平均值介于98.8公斤/平方厘米和100.9公斤/平方厘米之間的概率？解：將X變換為Z變量，即標(biāo)準(zhǔn)化第十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日于是乎第十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日樣本成數(shù)（即比例）的抽樣分布（簡稱成數(shù)的分布）抽樣總體樣本成數(shù)X,(N)成數(shù)P=Ni/Nx,(n)所有可能的樣本的成數(shù)（）所形成的分布，稱為樣本成數(shù)的抽樣分布。第十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日樣本成數(shù)分布的數(shù)字特征無限總體均值：方差：有限總體放回抽樣？第十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日有限總體不放回抽樣均值：方差：第十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日例：已知辦公室人員所填寫的表格中5%有筆誤，檢查一個由475份表格組成的簡單隨機樣本，問有筆誤的表格的成數(shù)在0.03和0.075之間的概率？解：近似認(rèn)為服從正態(tài)分布，均值=0.05，方差=0.0001。于是乎：第十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日第十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日一個樣本方差的抽樣分布抽樣總體樣本從一個正態(tài)總體中抽樣所得到的樣本方差的分布n,S2則當(dāng)則第十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日參數(shù)估計點估計以樣本指標(biāo)直接估計總體參數(shù)。評價準(zhǔn)則：無偏性估計量的數(shù)學(xué)期望等于總體參數(shù)，即該估計量稱為無偏估計。第十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日有效性

當(dāng)為的無偏估計時，方差越小，無偏估計越有效。一致性

對于無限總體，如果對任意，則稱是的一致估計。第二十頁，共四十八頁，2022年，8月28日充分性一個統(tǒng)計量如能完全地包含未知參數(shù)信息，即為充分統(tǒng)計量，用該統(tǒng)計量估計時，稱為充分估計量。第二十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日定義區(qū)間估計設(shè)θ是總體的未知參數(shù)，是兩個統(tǒng)計量，對于給定的α（0<α

<1），如果滿足，則稱是θ的置信度為1-α的置信區(qū)間。第二十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日步驟：構(gòu)造一個合適的函數(shù)U，該函數(shù)與未知參數(shù)θ有關(guān)，與其他未知參數(shù)無關(guān)，且U分布已知；對給定的α，求一個λ1，一個λ2，使解不等式第二十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日評價準(zhǔn)則：隨機區(qū)間置信度精確度隨機區(qū)間包含（即可靠程度）越大越好。的概率的平均長度（誤差范圍）越小越好第二十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日待估計參數(shù)θ已知條件置信區(qū)間總體均值μ正態(tài)總體，方差已知

正態(tài)總體，方差未知

非正態(tài)總體，n≥30

有限總體，n≥30（不放回抽樣）

總體均值的置信區(qū)間第二十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日待估計參數(shù)θ已知條件置信區(qū)間總體成數(shù)p無限總體，np和nq都大于5

有限總體，np和nq都大于5總體成數(shù)的置信區(qū)間第二十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日待估計參數(shù)θ已知條件置信區(qū)間總體方差正態(tài)總體

總體方差的置信區(qū)間第二十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日樣本容量的確定估計總體均值μ時假定服從正態(tài)分布。無限總體有限總體不放回第二十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日估計總體成數(shù)p時假定服從正態(tài)分布。無限總體有限總體不放回第二十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日例1：一家塑料公司想估計其產(chǎn)品的平均抗拉強度，要求以95%的置信度使估計值在真值附近1公斤/平方厘米的范圍內(nèi)，問應(yīng)抽多少樣本？經(jīng)驗表明方差估計值可取12.25。例2：一家市場調(diào)查公司想估計某地區(qū)有彩色電視的家庭所占的比重，估計誤差不超過0.05，置信度取95%，問應(yīng)抽取多大容量的樣本？公司調(diào)查人員認(rèn)為實際的比例不能大于20%。第三十頁，共四十八頁，2022年，8月28日練習(xí)：1、某車間生產(chǎn)滾珠，從長期實踐中知道，滾珠直徑可以認(rèn)為服從正態(tài)分布，其方差為0.05，從某天的產(chǎn)品里隨機抽取6個，量得直徑如下：14.7，15.21，14.9，14.91，15.32，15.32，試求μ的置信區(qū)間。（α=0.05）2、某進出口公司需要出口一批小型電機，其中有一個技術(shù)指標(biāo)為電機工作時定子線圈的最高溫度，為此該進出口公司進行了一次調(diào)查，已知該定子線圈最高溫度的總體標(biāo)準(zhǔn)差為8，隨機抽出49臺電機進行實測，得到該廠電機工作時定子線圈最高溫度的樣本均值為110，要求計算給定置信度99%的該廠電機工作時定子線圈最高溫度的總體均值的置信區(qū)間。第三十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日3、某公司為了分析新產(chǎn)品的電視廣告效果，隨機訪問了100名用戶，了解到其中有36人是通過電視廣告了解該產(chǎn)品的，要求以95%的置信水平估計通過電視廣告了解該產(chǎn)品的用戶占全部用戶的比重。4、用克矽平治療矽肺病患者，得治療前后血紅蛋白的差值為2.7，-1.2，-1，0，0.7，2，3.7，-0.6，0.8，-0.3，已知差值服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，求σ2的區(qū)間估計（α=0.05）第三十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日假設(shè)檢驗的基本原理基本思想小概率原理：如果對總體的某種假設(shè)是真實的，那么不利于或不能支持這一假設(shè)的事件A（小概率事件）在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生的；要是在一次試驗中A竟然發(fā)生了，就有理由懷疑該假設(shè)的真實性，拒絕這一假設(shè)。第三十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日總體（某種假設(shè)）抽樣樣本（觀察結(jié)果）檢驗（接受）（拒絕）小概率事件未發(fā)生小概率事件發(fā)生第三十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日假設(shè)的形式：

H0——原假設(shè)，H1——備擇假設(shè)

雙尾檢驗：H0：μ=μ0

，H1：μ≠μ0單尾檢驗：H0：μ≥μ0

，H1：μ＜μ0H0：μ≤μ0

，H1：μ＞μ0假設(shè)檢驗就是根據(jù)樣本觀察結(jié)果對原假設(shè)（H0）進行檢驗，接受H0，就否定H1；拒絕H0，就接受H1。第三十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日檢驗規(guī)則確定檢驗規(guī)則檢驗過程是比較樣本觀察結(jié)果與總體假設(shè)的差異。差異顯著，超過了臨界點，拒絕H0；反之，差異不顯著，接受H0差異臨界點拒絕H0接受H0cc判斷

怎樣確定c?第三十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日兩類錯誤接受或拒絕H0，都可能犯錯誤I類錯誤——棄真錯誤，發(fā)生的概率為α

II類錯誤——取偽錯誤，發(fā)生的概率為β檢驗決策H0為真 H0非真 拒絕H0

犯I類錯誤（α）正確 接受H0正確犯II類錯誤（β）第三十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日步驟：建立原假設(shè)和備擇假設(shè)；選擇一個合適的檢驗統(tǒng)計量；給定顯著性水平，當(dāng)原假設(shè)為真時求出臨界值；由樣本觀測值計算出檢驗統(tǒng)計量的數(shù)值，判斷。第三十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日幾種常見的假設(shè)檢驗總體均值的檢驗正態(tài)總體——方差已知構(gòu)造統(tǒng)計量（1）H0：μ=μ0H1：μ≠μ0第三十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日（2）H0：μ=μ0H1：μ>μ0（3）H0：μ=μ0H1：μ<μ0第四十頁，共四十八頁，2022年，8月28日正態(tài)總體——方差未知構(gòu)造統(tǒng)計量（1）H0：μ=μ0H1：μ≠μ0第四十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日（2）H0：μ=μ0H1：μ>μ0（3）H0：μ=μ0H1：μ<μ0第四十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日非正態(tài)總體若方差已知若方差未知檢驗方法同正態(tài)總體。第四十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日總體成數(shù)的檢驗構(gòu)造統(tǒng)計量(1)H0：P=P0H1：P≠P0(2)H0：P=P0H1：P＞P0(3)H0：P=P0

H1：P＜P0第四十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日一個正態(tài)總體方差的檢驗構(gòu)造統(tǒng)計量（1）H0：σ2=σ２0

H1：σ2≠σ２0

第四十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日（2）H0：σ2=σ２0

H1：σ2＞σ２0

（３）H0：σ2=σ２0

H1：σ2＜σ２0

第四十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日練習(xí)：1、用某儀器間接測量溫度，重復(fù)五次，所得數(shù)據(jù)為1250、1265、1245、1260、12