自動(dòng)控制原理 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

自動(dòng)控制原理線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析第一頁，共十頁，2022年，8月28日3.3.5

高階系統(tǒng)的時(shí)域分析-0.75-5

p2

p3

p1

j

j1.2-j1.20(a)閉環(huán)極點(diǎn)分布圖(b)單位階躍響應(yīng)曲線

c(t)

t特點(diǎn)：1)

高階系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)由簡單函數(shù)組成。

2)

如果閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部，高階系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

3)

時(shí)間響應(yīng)的類型取決于閉環(huán)極點(diǎn)的性質(zhì)和大小，形狀與閉環(huán)零點(diǎn)有關(guān)。分析方法：1)

可由系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)估算高階系統(tǒng)性能。

2)

忽略偶極子的影響。第二頁，共十頁，2022年，8月28日設(shè)初始條件為零時(shí)，作用一理想脈沖信號到一線性系統(tǒng)，這相當(dāng)于給系統(tǒng)加了一擾動(dòng)信號。若，則系統(tǒng)穩(wěn)定。3.4穩(wěn)定性分析

j0穩(wěn)定區(qū)域不穩(wěn)定區(qū)域[S平面]判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本方法：

(1)

勞斯—古爾維茨判據(jù)

(2)

根軌跡法

(3)

奈奎斯特判據(jù)

(4)

李雅普諾夫第二方法

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負(fù)實(shí)部.

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性概念系統(tǒng)工作在平衡狀態(tài),受到擾動(dòng)偏離了平衡狀態(tài)，擾動(dòng)消失之后，系統(tǒng)又恢復(fù)到平衡狀態(tài)，稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。穩(wěn)定性只由結(jié)構(gòu)、參數(shù)決定，與初始條件及外作用無關(guān)。第三頁，共十頁，2022年，8月28日勞斯判據(jù)采用表格形式，即勞斯表：

當(dāng)勞斯表中第一列的所有數(shù)都大于零時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，如果第一列出現(xiàn)小于零的數(shù)時(shí)，系統(tǒng)就不穩(wěn)定。第一列各系數(shù)符號的改變次數(shù)，代表特征方程的正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。2.勞斯判據(jù)第四頁，共十頁，2022年，8月28日判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。例3.4

設(shè)系統(tǒng)特征方程為s4+2s3+3s2+4s+5=0;試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)1234500注意兩種特殊情況的處理：

1）某行的第一列項(xiàng)為0，而其余各項(xiàng)不為0或不全為0。用因子（s+a）乘原特征方程（其中a為任意正數(shù)），或用很小的正數(shù)代替零元素，然后對新特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)。

2）當(dāng)勞斯表中出現(xiàn)全零行時(shí)，用上一行的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)輔助方程，對輔助方程求導(dǎo)，用所得方程的系數(shù)代替全零行。解：列出勞斯表第一列數(shù)據(jù)不同號，系統(tǒng)不穩(wěn)定性。第五頁，共十頁，2022年，8月28日設(shè)系統(tǒng)特征方程為：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0勞斯表s6s5s0s1s2s3s41246357(6－4)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1=-8-8

412勞斯表特點(diǎn)及第一種特殊情況勞斯表特點(diǎn)4

每兩行個(gè)數(shù)相等1

右移一位降兩階2

行列式第一列不動(dòng)3

次對角線減主對角線5

分母總是上一行第一個(gè)元素7

第一列出現(xiàn)零元素時(shí)，用正無窮小量ε代替。6一行可同乘以或同除以某正數(shù)ε2+8ε7ε-8(2+8)-ε7ε27ε127

-8ε第六頁，共十頁，2022年，8月28日勞斯判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件:有正有負(fù)一定不穩(wěn)定!缺項(xiàng)一定不穩(wěn)定!系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件:勞斯表第一列元素不變號!若變號系統(tǒng)不穩(wěn)定!變號的次數(shù)為特征根在s右半平面的個(gè)數(shù)!特征方程各項(xiàng)系數(shù)均大于零!-s2-5s-6=0穩(wěn)定嗎？第七頁，共十頁，2022年，8月28日勞斯表出現(xiàn)零行設(shè)系統(tǒng)特征方程為：s4+5s3+7s2+5s+6=0勞斯表s0s1s2s3s451756116601勞斯表何時(shí)會(huì)出現(xiàn)零行?2出現(xiàn)零行怎么辦?3如何求對稱的根?②由零行的上一行構(gòu)成輔助方程:①

有大小相等符號相反的特征根時(shí)會(huì)出現(xiàn)零行s2+1=0對其求導(dǎo)得零行系數(shù):2s1211繼續(xù)計(jì)算勞斯表1第一列全大于零,所以系統(tǒng)穩(wěn)定錯(cuò)啦!!!由綜合除法可得另兩個(gè)根為s3,4=-2,-3解輔助方程得對稱根:s1,2=±j勞斯表出現(xiàn)零行系統(tǒng)一定不穩(wěn)定第八頁，共十頁，2022年，8月28日判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例3.5

設(shè)系統(tǒng)特征方程為s4+2s3+s2+2s+2=0；試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)

例3.6

設(shè)系統(tǒng)特征方程為s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0；試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列出勞斯表s4112s3220s2

(取代0)2

s12-4/s02可見第一列元素的符號改變兩次，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的且在S右半平面上有兩個(gè)極點(diǎn)。解：列出勞斯表

s616104s5284s4284輔助多項(xiàng)式A(s)的系數(shù)

s3000第九頁，共十頁，2022年，8月28日

A(s)=2s4+8s2+4dA(s)/ds=8s3+16s第一列元素全為正，系統(tǒng)并非不穩(wěn)定；陣列出現(xiàn)全零行，系統(tǒng)不是穩(wěn)定的；綜合可見，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的（存在有共軛純虛根）。

解輔助方程可得共軛純虛根：令s2=y，

A(s)=2s4+8s2+4=2(y2+4y+2)=0以導(dǎo)數(shù)的系數(shù)取代全零行的各元素，繼續(xù)列寫勞斯表：

s616104s5284s4284s38