《運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)》第一章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

第一章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)第一章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)【本章重點(diǎn)內(nèi)容】點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的三種描述方法;用不同方法求解點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程;速度和加速度.第一章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)§1-1點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)§1-1點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)第一章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)§1-1點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)1.運(yùn)動(dòng)方程設(shè)點(diǎn)M沿直線軌道運(yùn)動(dòng).

取此直線為x軸，在軸上任選一點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，即參考點(diǎn).上式稱為點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程.它表示點(diǎn)M的位置隨時(shí)間的變化規(guī)律.

3.加速度除研究速度方向外，通常還要研究速度變化的快慢，為此引入加速度的概念.

平均加速度，以a﹡表示.

則

瞬時(shí)加速度，以a表示.

則點(diǎn)的加速度等于點(diǎn)的速度對(duì)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù).

§1-1點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)在直線運(yùn)動(dòng)中，點(diǎn)的速度等于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù).速度的正負(fù)表示點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)的方向，在直線運(yùn)動(dòng)中，速度是代數(shù)量.

2.速度在某瞬時(shí)t，點(diǎn)M坐標(biāo)x.經(jīng)過(guò)Δt后坐標(biāo)是x'=x+Δx

Δx與Δt的比值，叫做點(diǎn)在Δt時(shí)間內(nèi)的平均速度.以v*表示，則在工程實(shí)際中，有時(shí)必須引入瞬時(shí)速度的概念（以下簡(jiǎn)稱速度），以v表示，則§1-1點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的加速度又等于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù).

在國(guó)際單位制中，加速度單位是m/s2.

直線運(yùn)動(dòng)中，點(diǎn)的加速度是代數(shù)量.

其方向并不代表點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向.

如果v與a同號(hào)，點(diǎn)作加速運(yùn)動(dòng)；如果v與a異號(hào)，點(diǎn)作減速運(yùn)動(dòng).§1-1點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)4.兩種特殊情況（1）勻速直線運(yùn)動(dòng)速度不變的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)叫做點(diǎn)的勻速直線運(yùn)動(dòng).

由將上式積分由于v為常量，得故上式即為勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程.

§1-1點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)（2）勻變速直線運(yùn)動(dòng)加速度不變的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)叫做點(diǎn)的勻變速直線運(yùn)動(dòng).由積分由于a為常量，得§1-1點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)將代入，得得積分得§1-1點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)例1-1已知點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為x=10-6t+t2（t以s計(jì)，x以m計(jì)）；求t=2s時(shí)的速度和加速度.

解：已知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為故將t=2s代入上式得由于a為常量，v與a異號(hào)，點(diǎn)在該瞬時(shí)作勻減速運(yùn)動(dòng).

常量§1-1點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)解：（1）分析運(yùn)動(dòng)滑槽中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)即可代表?xiàng)U的運(yùn)動(dòng).

例1-2如圖所示偏心驅(qū)動(dòng)油泵中的正弦機(jī)構(gòu).設(shè)曲柄OA長(zhǎng)為r，自水平位置開(kāi)始以勻角速度

轉(zhuǎn)動(dòng)，即=t

.滑槽K-K與桿B-B制成一體.曲柄端點(diǎn)A通過(guò)滑塊在滑槽K-K中滑動(dòng)，因而曲柄帶動(dòng)桿B-B作上下直線運(yùn)動(dòng)，試求桿的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度.

§1-1點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)（2）列運(yùn)動(dòng)方程這就是M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程.它的位置x隨時(shí)間成正弦規(guī)律變化，稱為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).取M點(diǎn)的直線軌跡為x軸，曲柄的轉(zhuǎn)動(dòng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn).

M點(diǎn)的坐標(biāo)為將=t代入上式，得§1-1點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)M點(diǎn)的加速度又可以表示為（3）分析討論曲線如圖所示，分別叫做運(yùn)動(dòng)圖、速度圖和加速度圖.M點(diǎn)以O(shè)點(diǎn)為中心，作周期往復(fù)運(yùn)動(dòng).O稱為M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)中心.M點(diǎn)離開(kāi)運(yùn)動(dòng)中心最遠(yuǎn)處的距離r稱為幅值.§1-1點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)頻率以f表示，即國(guó)際單位是Hz，把=2f

稱為圓頻率.

以T表示曲柄轉(zhuǎn)動(dòng)一周所需的時(shí)間，則T稱為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期，單位s.

§1-1點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)§1-1點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)例1-3曲柄滑塊機(jī)構(gòu)是由曲柄、連桿及滑塊組成的機(jī)構(gòu)（如圖示）.當(dāng)曲柄OA繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于連桿AB帶動(dòng)，滑塊B沿直線作往復(fù)運(yùn)動(dòng).曲柄滑塊機(jī)構(gòu)在工程上有廣泛應(yīng)用，在蒸汽機(jī)、內(nèi)燃機(jī)中，用它可實(shí)現(xiàn)往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)與回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)之間的轉(zhuǎn)換；在往復(fù)式水泵、曲柄沖壓機(jī)中，應(yīng)用它將回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為直線運(yùn)動(dòng).設(shè)曲柄OA長(zhǎng)為r，以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，即=t

，連桿AB長(zhǎng)為l.試求滑塊的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度.§1-1點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)解：（1）分析運(yùn)動(dòng)滑塊B沿直線作往復(fù)運(yùn)動(dòng).（2）列運(yùn)動(dòng)方程，求未知量.

由幾何關(guān)系知，B點(diǎn)坐標(biāo)為由此處§1-1點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)將上式及=t代入，得到略去高階項(xiàng)，方程簡(jiǎn)化為§1-1點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)一般曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中，將展開(kāi)為級(jí)數(shù)，得整理后得求導(dǎo)，得滑塊B的速度和加速度方程為由§1-1點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)例1-4如圖是礦井提升機(jī).主要數(shù)據(jù)如下：提升高度為876m，開(kāi)始提升時(shí)罐籠的加速度是0.7m/s2，速度達(dá)到7.84m/s時(shí)即以此速度勻速提升，最后再以減速度0.7m/s2減速提升，直到最后停止，運(yùn)動(dòng)變化如圖所示.試求提升一次所需的時(shí)間T.

§1-1點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)（1）分析運(yùn)動(dòng)罐籠沿鉛垂線運(yùn)動(dòng)，第一階段（啟動(dòng)階段）為勻加速運(yùn)動(dòng)，第二階段為勻速運(yùn)動(dòng)，第三階段（制動(dòng)階段）為勻減速運(yùn)動(dòng).（2）列勻變速運(yùn)動(dòng)與勻速運(yùn)動(dòng)公式，求未知量首先計(jì)算t1.由勻變速運(yùn)動(dòng)公式因t=0時(shí)，v0=0；a1=0.7m/s2

；t=t1時(shí)v1=7.84m/s.代入上式，得§1-1點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)再計(jì)算t3.由勻變速運(yùn)動(dòng)公式因v2=v1=7.84m/s；a3=–

0.7m/s2；t=t3時(shí)，v3=0.代入上式得最后計(jì)算t2.

必須考慮起動(dòng)和制動(dòng)階段所走過(guò)的高度.在t1時(shí)間內(nèi)提升罐籠的高度h1

§1-1點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)有：在t3時(shí)間內(nèi)提升罐籠的高度h3也等于44m.而總提升高度876m.

所以，t2時(shí)間內(nèi)罐籠提升高度h2為因該階段是勻速運(yùn)動(dòng).速度7.84m/s.

則所需時(shí)間為故提升一次所需的時(shí)間為§1-1點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)第一章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)描述點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)，通常采用三種方法，即矢量法、自然坐標(biāo)法和直角坐標(biāo)法.點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條平面上的曲線時(shí)，稱平面曲線運(yùn)動(dòng).1.矢量法上式稱為以矢量表示的動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程.§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)M沿一平面曲線運(yùn)動(dòng)，任選一點(diǎn)O為原點(diǎn)，M的位置可表示為矢徑當(dāng)矢徑隨時(shí)間變化時(shí)，矢徑端點(diǎn)在平面上畫出的曲線稱為矢端曲線，顯然它是動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡.§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)設(shè)動(dòng)點(diǎn)沿某一曲線運(yùn)動(dòng)，在瞬時(shí)t動(dòng)點(diǎn)在M點(diǎn)，其位置矢徑為，經(jīng)過(guò)Δt，動(dòng)點(diǎn)在M′點(diǎn)其矢徑為.稱為Δt時(shí)間內(nèi)的位移，動(dòng)點(diǎn)在Δt時(shí)間內(nèi)的平均速度，以表示，則（1）點(diǎn)的速度動(dòng)點(diǎn)在瞬時(shí)t

的瞬時(shí)速度，以v表示動(dòng)點(diǎn)的速度等于它的位置矢徑對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù).§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)△r（2）點(diǎn)的加速度動(dòng)點(diǎn)的加速度等于它的速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù).§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)t動(dòng)點(diǎn)在M點(diǎn)，其速度是，經(jīng)過(guò)Δt后，動(dòng)點(diǎn)在M'點(diǎn)其速度是，將矢量平移到M，動(dòng)點(diǎn)在Δt時(shí)間內(nèi)的平均加速度以表示，則動(dòng)點(diǎn)在瞬時(shí)t的瞬時(shí)加速度，以表示動(dòng)點(diǎn)的加速度又等于它的矢徑對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù).§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)M在不同瞬時(shí)的速度

.

由矢量的端點(diǎn)描出一條曲線，稱為速度端圖.由加速度定義，可知瞬時(shí)加速度的方向沿著動(dòng)點(diǎn)速度端圖的切線方向.

2.自然坐標(biāo)法在曲線軌跡上任選一點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，并規(guī)定沿軌跡的某一邊為正方向，任意瞬時(shí)點(diǎn)M在軌跡上的位置可以用弧長(zhǎng)s（帶正負(fù)號(hào)）來(lái)確定，s稱弧坐標(biāo).

上式稱為點(diǎn)沿已知軌跡的運(yùn)動(dòng)方程.

這種確定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方法稱為自然坐標(biāo)法.（1）運(yùn)動(dòng)方程§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)（2）速度根據(jù)速度的定義§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)而式中Δs為弧長(zhǎng)，當(dāng)Δs趨近于零時(shí)，則的大小趨近于1，其方向趨近于軌跡的切線方向，并指向軌跡的正向，即切線單位矢量的方向，故§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)沿已知軌跡的速度的代數(shù)值等于弧坐標(biāo)s對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)；速度的方向沿軌跡的切線方向，當(dāng)為正值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)沿弧坐標(biāo)的正向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)為負(fù)值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)沿弧坐標(biāo)的負(fù)向運(yùn)動(dòng).（3）曲率曲率代表弧上點(diǎn)的彎曲程度.曲線在M點(diǎn)的曲率M點(diǎn)曲率的倒數(shù)，稱曲線在該點(diǎn)的曲率半徑，以

表示，即曲率半徑的圓心O點(diǎn)稱為M點(diǎn)的曲率中心，對(duì)于圓弧，曲率半徑即為圓的半徑，對(duì)于直線，曲率半徑可視為∞.

§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)（4）加速度而故§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)第一項(xiàng)，表示速度代數(shù)值改變的情況，第二項(xiàng)中的表示速度方向的改變情況.切向加速度加速度在切線上的投影等于速度代數(shù)值對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，或等于弧坐標(biāo)s對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù).

§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)令，顯然它的方向沿軌跡的切線方向，即的方向，故稱切向加速度法向加速度求的大小和方向：說(shuō)明矢量與切線垂直，位于法線上，并指向軌跡凹的一面，與單位矢量同向.

是與的矢量差，當(dāng)Δs→0時(shí)，，.

§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)令，而求矢量的大小當(dāng)為微小量時(shí)，，因而§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)故由于它的方向沿著法線方向，故稱為法向加速度；它的大小是個(gè)總為正值的量.§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)綜上所述，點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，加速度由兩部分組成：切向加速度，它表示速度大小的變化率，它的大小等于速度的代數(shù)值對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即，方向沿軌跡切線.

法向加速度，它表示速度方向的變化率，它的大小等于速度的平方除以曲率半徑，即，方向沿軌跡的法線（曲率半徑）指向曲率中心.

全加速度為與的矢量和，即§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)大小方向切向加速度是表示點(diǎn)的速度大小的變化，判別點(diǎn)是否作加速運(yùn)動(dòng)，用而不用.

減速運(yùn)動(dòng)加速運(yùn)動(dòng)式中，q是全加速度與法線方向的夾角.§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)（5）幾種特殊情況勻速曲線運(yùn)動(dòng)由得將上式積分，得常量，故§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)=常量勻變速曲線運(yùn)動(dòng)常量將上式積分將代入上式§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)積分得直線運(yùn)動(dòng)由于§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)因此而，，.例1-5如圖所示料斗提升機(jī)示意圖.

料斗A通過(guò)鋼絲繩由繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的卷筒提升.已知卷筒半徑R=16cm，料斗沿鉛垂提升的運(yùn)動(dòng)方程為y=2t2，y以cm計(jì)，t以s計(jì).求卷筒邊緣上一點(diǎn)M在t=4s時(shí)的速度和加速度.

解：（1）分析運(yùn)動(dòng)卷筒邊緣上M點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng).§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)法向加速度為全加速度為大?。悍较颍骸?-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)（2）列運(yùn)動(dòng)方程，求未知量當(dāng)t=4s時(shí)，M點(diǎn)的速度設(shè)t=0時(shí)，料斗在A0位置，M點(diǎn)在M0處.而在某瞬時(shí)t，料斗在A處，M點(diǎn)到達(dá)M'位置.

取M0為弧坐標(biāo)原點(diǎn)，則M點(diǎn)的弧坐標(biāo)為這時(shí)，M點(diǎn)的切向加速度為常量§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)例1-6列車沿曲線軌道行駛，初速度v1=18km/h，速度均勻增加，行駛s=1km后，速度增加到v2=54km/h，若鋼軌曲線形狀如圖所示.在點(diǎn)M1和M2處的曲率半徑分別為1=600m、2=800m.求列車從M1到M2所需的時(shí)間，經(jīng)過(guò)M1和M2處的加速度.

解：（1）分析運(yùn)動(dòng)列車做勻變速曲線運(yùn)動(dòng).

§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)（2）寫出勻變速曲線運(yùn)動(dòng)公式，并求未知量由題意常量而v1=18km/h=5m/s，v2=54km/h=15m/s，s=1000m，代入式（b）得（b）（a）§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)代入（a）得到所需時(shí)間為再求列車經(jīng)過(guò)M1和M2點(diǎn)的法向加速度分別為§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)因此，列車經(jīng)過(guò)M1點(diǎn)時(shí)的加速度為列車經(jīng)過(guò)M2點(diǎn)時(shí)的加速度為§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)3.直角坐標(biāo)法已知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，用自然坐標(biāo)法比較方便.

若不知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，為求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)采用直角坐標(biāo)法.（1）運(yùn)動(dòng)方程點(diǎn)M在平面內(nèi)作曲線運(yùn)動(dòng)這組方程叫做點(diǎn)的直角坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程.

消去時(shí)間t，得點(diǎn)的軌跡方程為§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)（2）速度點(diǎn)沿x軸與y軸方向的運(yùn)動(dòng)速度分別為速度的大小和方向§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)（3）加速度點(diǎn)M沿x軸與y軸方向的加速度分別為加速度的大小和方向§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)解：選O點(diǎn)為原點(diǎn)，作直角坐標(biāo)系Oxy，M點(diǎn)的坐標(biāo)為例1-7橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)如圖所示.已知AC=CB=OC=r.

曲柄OC轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)=t

，帶動(dòng)AB尺運(yùn)動(dòng).A、B分別在鉛直和水平槽內(nèi)滑動(dòng).

求BC中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng).§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)這就是M點(diǎn)的直角坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程.

消去時(shí)間t得軌跡方程M點(diǎn)的軌跡是個(gè)橢圓.將=t及r代入上式§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)又§1-2點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)又