模糊優(yōu)化方法

模糊優(yōu)化方法模糊優(yōu)化

多年來，傳統(tǒng)的優(yōu)化技術(shù)和方法已經(jīng)成功地應(yīng)用于求解一類具有清晰定義結(jié)構(gòu)/行為的系統(tǒng)，也稱作硬系統(tǒng)，一般地，稱此類優(yōu)化方法為確定型或清晰型優(yōu)化方法。清晰型優(yōu)化方法的基礎(chǔ)是清晰的數(shù)字模型和精確的數(shù)學(xué)方法。然而，由于社會、生產(chǎn)和經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中常常存在多種形式的非確定性信息，如事件發(fā)生的隨機性、數(shù)據(jù)的非精確性、語言的含糊性等，這些非確定性信息常來源于多種方式，其中包括測量誤差；缺乏足夠的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)；缺乏足夠可用的理論來描述和支持；知識表達(dá)的方式；人類的主觀性判斷或偏好等。這些形式的非確定性可以歸類為兩種類型，即隨機非確定性和模糊性。模糊優(yōu)化隨機非確定性的特點是信息的描述是清晰的，但非確定性以頻率形式表現(xiàn)出來，這類系統(tǒng)常稱為隨機系統(tǒng)，常用基于概率理論的隨機優(yōu)化方法求解。實際上，決策者并不認(rèn)為通常的概率分布是正確的，對于一些非精確情形，特別是沒有清晰界限的信息，與人類語言/行為相關(guān)的信息，或者由于受知識和認(rèn)識所限而難以表達(dá)和清晰定義的信息等，這種非確定性信息統(tǒng)稱為模糊性信息。具有模糊性信息的系統(tǒng)稱為模糊系統(tǒng)，有時也稱軟系統(tǒng)，這類系統(tǒng)的特點是，系統(tǒng)的行為/結(jié)構(gòu)沒有清晰的界定，系統(tǒng)的信息反映了人類的主觀屬性和非精確性?；诰_數(shù)學(xué)理論的優(yōu)化方法和基于概率理論的隨機優(yōu)化方法都不能準(zhǔn)確地描述這類系統(tǒng)的行為和特性，因而也不能有效地求解這類系統(tǒng)。起源于50年代并很快得到發(fā)展的模糊集理論和基于模糊集理論的模糊優(yōu)化方法提供了處理這類軟系統(tǒng)的建模和優(yōu)化的有效方法與技術(shù)，基于模糊集理論的建模和優(yōu)化方法稱為模糊建模和模糊優(yōu)化方法。模糊優(yōu)化

模糊優(yōu)化理論和方法的研究，在70年代有人提出模糊決策的概念和模糊環(huán)境下的決策模型后迅速發(fā)展。許多學(xué)者相繼研究了模糊線性規(guī)劃模型，模糊多目標(biāo)規(guī)劃模型，模糊整數(shù)規(guī)劃模型，模糊動態(tài)規(guī)劃模型，可能性線性規(guī)劃模型和模糊非線性規(guī)劃模型，并提出了求解這些模型的方法。同時,模糊排序，模糊集運算，靈敏度分析和對偶理論以及模糊優(yōu)化在生產(chǎn)實際中的應(yīng)用也成為模糊優(yōu)化理論和方法的重要研究內(nèi)容。通過查找相關(guān)文獻(xiàn)，總結(jié)了模糊優(yōu)化的理論與方法，主要包括五個部分： 1、模糊建模與模糊優(yōu)化； 2、模糊優(yōu)化問題的一般形式與分類； 3、模糊優(yōu)化方法的基本框架和主要優(yōu)化方法； 4、模糊線性規(guī)劃問題的分類； 5、模型與求解方法及最優(yōu)解的類型。1模糊建模與模糊優(yōu)化

模糊建模是指從模糊信息的描述到建立一個適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型的過程。模糊優(yōu)化是指模糊模型的求解過程。一般地，對于一個復(fù)雜問題，從建立模糊優(yōu)化模型（模糊建模）到求解模糊優(yōu)化模型（模糊優(yōu)化）需要經(jīng)過以下五個基本環(huán)節(jié)模糊建模階段1ABC基于對問題本身的理解，分析問題中存在哪些模糊信息，以及出現(xiàn)的形式（如模糊目標(biāo)，可行集、約束集或參數(shù)）和方式，如非精確的量化形式或者是含糊不清的語言等。模糊信息的描述與表達(dá)，采取適當(dāng)?shù)姆绞?，如隸屬函數(shù)、可能性分布函數(shù)，以線性形式或非線性形式等來描述模糊信息。在這個過程中，應(yīng)該充分反映決策者的意愿和觀點，即主觀性或偏愛。在A、B的基礎(chǔ)上，根據(jù)問題的特點和要求，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具和方法，建立模糊優(yōu)化模型。D將模糊優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為清晰優(yōu)化模型。在這個過程中，首先要明確問題是尋求什么形式的最優(yōu)解，是確定型的最優(yōu)解、滿意解或是模糊解，這要取決于決策者對問題的理解和問題的要求，即對最優(yōu)解的理解。然后基于模糊數(shù)學(xué)的一些理論和原理如模糊排序理論、擴展原理、模糊集運算等，提出一些新的概念。在此基礎(chǔ)上，把模糊優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為等價的，或者近似的確定型清晰優(yōu)化模型。E清晰優(yōu)化模型的求解。根據(jù)等價的或近似的清晰優(yōu)化模型的特點（線性、非線性；單目標(biāo)、多目標(biāo)；連續(xù)型、離散型或混合型等），采用或者設(shè)計合適的優(yōu)化算法，如傳統(tǒng)的啟發(fā)式算法、單純型算法，或者智能化優(yōu)化方法，如模擬退火、遺傳算法、禁忌搜索等。模糊優(yōu)化階段12模糊優(yōu)化問題的一般描述

令X={x}是可選方案的集合，目標(biāo)函數(shù)F：X→L(R)，其中，L(R)是R的一類模糊子集，可行域是一個模糊子集，Uc(x)∈[0,1]，模糊優(yōu)化問題可以表述為一般形式(FOP)：F(x,r)→。其中，r是參數(shù)，可以是清晰型，也可以是模糊型。(FOP)表示尋找x“屬于”C，使得F(x,r)具有“盡可能大”的值。2模糊優(yōu)化問題的兩種類型

類似于確定型優(yōu)化問題，一般把模糊優(yōu)化問題分為兩種類型，模糊極值問題（無約束模糊優(yōu)化問題）和模糊數(shù)學(xué)規(guī)劃問題（約束模糊優(yōu)化問題）1、模糊極值問題一般形式是:max/minY=F(X,r)，其中X∈X是模糊子集，F(xiàn)是一個清晰定義的函數(shù)，Y是R的模糊子集。模糊優(yōu)化問題的兩種類型2、模糊數(shù)學(xué)規(guī)劃問題在FOP中,?C是用模糊系統(tǒng)約束或清晰的系統(tǒng)約束來描述，F(xiàn)(x,r)是清晰定義的目標(biāo)函數(shù)或非清晰定義的目標(biāo)函數(shù)。由于模糊因素在目標(biāo)/系統(tǒng)約束中出現(xiàn)的形式不同，一般將模糊數(shù)學(xué)規(guī)劃問題分為：i)目標(biāo)/系統(tǒng)約束的參數(shù)清晰型；ii)目標(biāo)/系統(tǒng)約束的參數(shù)模糊型。由于目標(biāo)函數(shù)和系統(tǒng)約束的不同形式（線性、非線性；單目標(biāo)、多目標(biāo)等）以及模糊因素的描述方式（隸屬函數(shù)、可能性分布函數(shù);線性、非線性），一般形式的模糊數(shù)學(xué)規(guī)劃問題分別可以描述成多種形式：①模糊線性規(guī)劃(FLP)模型，②模糊非線性規(guī)劃(FNLP)模型(0-1規(guī)劃模型，整數(shù)規(guī)劃模型)，③可能性線性規(guī)劃(PLP)模型，④模糊多目標(biāo)規(guī)劃(FMOP)模型，⑤模糊動態(tài)規(guī)劃(FDP)模型等。。。23模糊優(yōu)化方法基本框架1）確定可選解集X。2）構(gòu)造結(jié)果函數(shù)e(x,C0,C)，用于表達(dá)每個可選解x∈X對目標(biāo)和約束的位置。其中，C0和C分別表示模糊目標(biāo)和約束。3）定義由所有可能的結(jié)果組成的集合I上一個兼容性函數(shù)K(e(x,C0,C))，表示可選解X與目標(biāo)和約束的兼容性程度。4）構(gòu)造一個轉(zhuǎn)換函數(shù)T，即T：x∈X→TK(x)∈R，原模糊優(yōu)化問題FOP轉(zhuǎn)變?yōu)門K(x)=F(x)。模糊優(yōu)化方法的主要方法3

現(xiàn)有的各種模糊優(yōu)化方法主要表現(xiàn)在定義不同的X,K和T及最優(yōu)解類型上。基本框架體現(xiàn)了模糊優(yōu)化方法的基本思想是把模糊優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為確定性的優(yōu)化問題。因而模糊優(yōu)化方法研究的重點是如何轉(zhuǎn)換，在轉(zhuǎn)換過程中，首先要根據(jù)問題的要求，解決對最優(yōu)解的理解問題，即確定最優(yōu)解的類型，是確定型解、模糊解，還是滿意解；其次是提出一些新的概念，利用模糊集理論的一些原理和概念，根據(jù)最優(yōu)解的類型，設(shè)計轉(zhuǎn)換的方法。3模糊優(yōu)化方法的主要方法現(xiàn)有的模糊優(yōu)化方法主要包括以下幾種：1、對稱方法

i）基于模糊決策的對稱方法,即Bellman-Zadeh方法

ii）基于非劣關(guān)系的對稱方法2、非對稱方法3、Bellman-Zadeh方法擴展化的方法4、交互式滿意解法5、模糊遺傳算法3基于模糊決策的對稱方法

通過引進(jìn)模糊決策D的概念，把模糊約束C和模糊目標(biāo)G等同考慮，F(xiàn)OP可以解釋為滿足模糊約束的同時達(dá)到模糊目標(biāo)，即D=C∩G，其中∩是交叉算子，用隸屬函數(shù)的形式，可以描述為:

其中“*”是對應(yīng)∩的算子，模糊決策D是問題的最優(yōu)解。該方法提供了求解模糊優(yōu)化問題的基本框架，被視為模糊環(huán)境下決策的基本方法。由于選取不同形式的算子，相應(yīng)地可以得到不同的方法,其中最常見的是取最小運算?；谶@種方法，以模糊約束和目標(biāo)滿足程度的各種平衡形式為優(yōu)化目標(biāo)，而發(fā)展起來多種方法，其最優(yōu)解的形式因采用的方法不同而不同，包括精確最優(yōu)解、模糊決策集、模糊最優(yōu)解等。其中容差法即是基于這種方法中最有影響，也是最實用的一種方法。在這一方法中，提出了最大決策的概念。在這些基于模糊決策的對稱方法中，容差法已被成功地應(yīng)用于解決生產(chǎn)實際問題。=*3基于非劣關(guān)系的對稱方法

基本思想是首先構(gòu)造一個模糊嚴(yán)格偏愛關(guān)系。定義e(x,,C)=(x,x)用以表達(dá)兩個元素優(yōu)劣關(guān)系(x嚴(yán)格優(yōu)于x)的程度。然后定義x與目標(biāo)和約束的兼容性程度K(e(x,?,C))=1-(x,x)=(x)其中，(X)稱為非劣于其它任何元素的程度。最后將原模糊優(yōu)化問題FOP轉(zhuǎn)化為(X)進(jìn)而轉(zhuǎn)化為等價的半無窮規(guī)劃模型，用割平面算法和三階段算法求解。兩種對稱方法共同特點是把約束和目標(biāo)視為相同的概念。3非對稱方法

非對稱方法求解具有形式的模糊優(yōu)化問題FOP，其中

是相對于目標(biāo)和約束的清晰定義的兼容性函數(shù)。由于對最優(yōu)解的不同理解，導(dǎo)致不同的方法，主要包括：

1、模糊最大決策方法。定義模糊最大決策M(jìn)為一個模糊集，其元素的隸屬度反映模糊可行解集的支集與模糊目標(biāo)集的兼容性程度.模糊最大決策為問題的最優(yōu)解。

2、基于模糊最大決策的精確最優(yōu)解，基本思想是最大化模糊最大決策和模糊可行解集的交集。問題的最優(yōu)解是確定性最優(yōu)解。

3、模糊解方法。為了反映問題的模糊性，1977年有人提出了模糊解的概念，并提出了模糊解的兩種描述方法。分別通過參數(shù)規(guī)劃技術(shù)和多目標(biāo)規(guī)劃方法得到所描述的模糊解。模糊解為問題的最優(yōu)解。3模糊遺傳算法

Buckley提出了模糊遺傳算法，近似求解具有maxY=F(X)形式的模糊極值問題，其中X是[0,M]任何一種類型的模糊子集，M>0，F(xiàn)是一個清晰定義的影射(函數(shù))。模糊遺傳算法的基本思想是：首先定義一個測度函數(shù)m(y)=θ；離散化X,?X=(x0,x1,x2,,,xN),xi=ux(zi),zi=i*M/N,i=0,1,2,…,N.原模糊優(yōu)化問題可以描述為如何確定xi，i=0,1,2,…,N，使得m(y)=Hymax。然后利用遺傳算法求解確定型最大值問題。4模糊線性規(guī)劃問題的分類與描述4模糊線性規(guī)劃問題的分類與描述

模糊環(huán)境下線性規(guī)劃問題的描述將取決于模糊性出現(xiàn)的形式。模糊性出現(xiàn)的形式包括：1）目標(biāo)描述的非精確定義2）模糊關(guān)系（模糊等式，模糊不等式）表達(dá)的線性系統(tǒng)約束3）具有模糊效益/價格系數(shù)ci的目標(biāo)函數(shù)4）具有模糊技術(shù)系數(shù)Aij和模糊資源可用量bi的線性系統(tǒng)約束4模糊線性規(guī)劃問題的分類與描述據(jù)此，將模糊線性規(guī)劃問題FLP分為以下兩類：I)清晰系數(shù)型。包括:i)模糊資源型(FLP1)——模糊關(guān)系定義的線性系統(tǒng)約束；ii)模糊目標(biāo)-資源型(FLP2)——非精確定義的目標(biāo)和模糊關(guān)系定義的線性系統(tǒng)約束。II)模糊系數(shù)型。包括:i)模糊資源可用量型(FLP3)——資源可用量是模糊數(shù)；ii)模糊效益/價格系數(shù)型(FLP4)——目標(biāo)函數(shù)中效益/價格系數(shù)是模糊數(shù)；iii)模糊技術(shù)系數(shù)和資源可用型(FLP5)——技術(shù)系數(shù)和資源可用量都是模糊數(shù)；iv)系數(shù)全模糊型(FLP6)——效益/價格系數(shù)，技術(shù)系數(shù)和資源可用量都是模糊數(shù)。5基本模型與方法

模糊線性規(guī)劃問題的基本模型主要分為兩類，即對稱模型和非對稱模型。求解模糊線性規(guī)劃問題的基本模型和方法，側(cè)重于模糊數(shù)的描述、最優(yōu)解的定義和表達(dá)，如下：1、FLP1

Verdegay非對稱模型2、FLP2

Zimmermann的對稱模型和容差法

Werner的對稱模型

Chanas的對稱模型5Verdegay非對稱模型5Zimmermann的對稱模型和容差法5Zimmermann的對稱模型和容差法5Werner的對稱模型5Chanas的對稱模型5Chanas的對稱模型5Chanas的對稱模型

對于不同形式的FLP3~FLP6，根據(jù)模糊系數(shù)的類型和特點，構(gòu)造不同形式的Li(x)和L0(x)。

FLP3~FLP6問題均可描述成對稱模型和非對稱模型，用前面介紹的四種方法求解。非對稱模型的模糊最優(yōu)解集和滿意解以及對稱模型的精確最優(yōu)解是對應(yīng)問題的最優(yōu)解。5

基本模型與方法模糊非線性規(guī)劃問題5

模糊非線性規(guī)劃問題的分類應(yīng)該從非線性和模糊性兩個方面來綜合考慮。非線性主要表現(xiàn)在:

1)目標(biāo)由非線性函數(shù)描述;

2)約束條件由非線性函數(shù)或關(guān)系描述;

3)模糊目標(biāo)和/或系統(tǒng)約束用非線性隸屬函數(shù)來描述。同時，模糊性主要表現(xiàn)在:

1)目標(biāo)描述的非精確定義;

2)模糊關(guān)系(模糊等式,模糊不等式)表達(dá)的系統(tǒng)約束;

3)具有模糊系數(shù)或參數(shù)的目標(biāo)函數(shù);

4)具有模糊系數(shù)或參數(shù)的系統(tǒng)約束。模糊非線性規(guī)劃問題5

類似于一般模糊數(shù)學(xué)規(guī)劃問題的分類方法，從模糊性角度來考慮，模糊非線性規(guī)劃問題一般分為：

1）清晰型系數(shù)/參數(shù)的模糊非線性規(guī)劃問題。這類問題常常通過容差方法描述為對稱模型或非對稱模型求解。

2）模糊型系數(shù)/參數(shù)的模糊非線性規(guī)劃問題。這類問題的求解常常較前者復(fù)雜。一般地，通過對模糊參數(shù)的描述，轉(zhuǎn)化為類一問題或者多目標(biāo)規(guī)劃問題，用多目標(biāo)規(guī)劃方法或參數(shù)方法求解。

各種模糊優(yōu)