有限單元法課件VIP

本人程序：序號程序名稱功能1NMFRS可用于加筋土數值計算，除了常規(guī)方法外，還可用等效附件應力法計算2NM02.2NM3D.1可用于土石壩、地基等土工結構物平面應變情況、三維情況的應力應變計算3NM2dc.2除了具備NM02.2的全部功能外，還可對軸對稱問題進行計算。除了可計算常規(guī)應力應變問題，還可以用比奧固結理論計算固結問題4NM3dc.1將NM2dc.2擴展到三維，解決了三維情況下應力應變、固結計算等問題5EFMdam用無單元法計算二維平面應變問題，無單元和常規(guī)有限元通過界面相耦合6NMflow.1基于無單元法的滲流計算。主要針對有自由面的二維滲流問題。可以計算穩(wěn)定滲流、水位驟降、尤其水位驟升情況下的滲流問題NM2dc.3NMFW2D.1NM3dc.2NMFW3D.1高等土力學講義土工數值計算中的有限單元法清華大學水利系巖土所2005年5月介玉新jieyx@1概述2比奧固結理論的有限元格式3有限單元法的求解方法4有限元計算中的處理方法5文獻閱讀和編程中注意事項6案例分析：理論、經驗和直覺目錄1殷宗澤，土工原理與計算，中國水利水電出版社，19962龔曉南，土工計算機分析，中國建筑工業(yè)出版社，20003朱百里，沈珠江，計算土力學，上?？茖W技術出版社，19904朱伯芳，有限單元法原理與應用，中國水利水電出版社，20005王勖成，邵敏，有限單元法基本原理和數值方法，清華大學出版社，1997王勖成，有限單元法，清華大學出版社，20036Desai，巖土工程數值方法，1981參考文獻1概述基本方程：比奧固結方程基本方法：有限差分法有限單元法FLAC常用方法本講義以平面應變情況為例講解1概述1.1平衡方程總應力表示的平衡方程：以孔壓表示的平衡方程：其中：符號規(guī)定：彈性力學符號規(guī)定。孔壓以拉為正，壓為負1概述1.1平衡方程以總水頭表示的平衡方程：其中：記1概述1.2連續(xù)性方程體積壓縮：流出水量：水的壓縮：QV=-V·

dVC=Ss·h·dV連續(xù)性要求：Q＝V-C達西定律＋1概述1.2連續(xù)性方程Ss0以孔壓表示以總水頭表示1概述比奧固結方程平衡方程與連續(xù)性方程聯(lián)立以總水頭表示以孔壓表示若水頭為0，退化為一般的應力應變問題；若土骨架不變，退化為滲流控制方程1概述求解比奧固結方程，還需要：物理方程：幾何方程：邊界條件：力、位移邊界水頭、流量邊界1概述1.3有限單元法的基本原理里茲法：構造泛函離散化要求：泛函的駐值能夠滿足微分方程和邊界條件變分原理：若由范函的駐值條件=0能夠求得對應連續(xù)問題的解，則定義描述和求解該問題的定理統(tǒng)稱為變分原理泛函來源：伯努利：最速降線問題泛函：函數的函數1概述1.3有限單元法的基本原理分片離散化伽遼金法：試函數取試函數為權函數的加權殘值法加權殘值=0有限單元法本質：求解二維、三維情況下偏微分方程的一種方法里茲法：便于理論分析伽遼金法：便于構造有限元格式，理解相關概念1概述1.3有限單元法的基本原理有限元原理里茲法變分原理最速降線問題泛函分析伽遼金法加權殘值法虛位移原理不具一般性1概述1.3有限單元法的基本原理本構方程本質：非線形彈性模型：————由事物內部因素控制，故稱物理方程研究[D]陣（物理方程）及其變化，也即和的關系及其變化如Duncan-Chang模型：研究E、及其變化彈塑性模型：將變形分為兩部分：可恢復部分：廣義虎克定律不可恢復部分：塑性理論1概述1.3有限單元法的基本原理不可恢復部分（塑性部分）：塑性理論產生不可恢復變形（塑性變形）的條件屈服準則f=k屈服標準的變化硬化規(guī)律f=F(H)塑性變形發(fā)生后各應變分量之間的關系流動規(guī)則：塑性勢g已知f,F,g，可以得到：本構關系研究，大多是在找f,F,g1概述1.3有限單元法的基本原理匯總：有限單元法偏微分方程的解法研究本構關系物理關系（方程）研究有限變形（大變形）理論幾何關系（方程）研究大應變：拉面小應變大轉動：乒乓球壓癟本講義內容2比奧固結理論的有限元格式用伽遼金方法推導，以平面4節(jié)點單元為例2.1伽遼金方法概述2.2以總水頭為未知數的比奧固結理論有限元格式2.3以孔壓為未知數的比奧固結理論有限元格式2比奧固結理論的有限元格式2.1伽遼金方法概述伽遼金法：取試函數為權函數的加權殘值法參考：龔曉南《土工計算機分析》2比奧固結理論的有限元格式加權殘值法：2.1伽遼金方法概述某系統(tǒng)在域V上在邊界S上Q：待求函數F,G：微分算子(微分運算關系)設試函數有：Ui

:待定系數Ti

:形式已確定的試函數代入微分方程和邊界條件，有殘值：2比奧固結理論的有限元格式2.1伽遼金方法概述消去殘值的方程：內部殘值方程邊界殘值方程加權殘值法2比奧固結理論的有限元格式2.1伽遼金方法概述伽遼金法：權函數取為試函數設試函數Ui

:單元節(jié)點未知量，位移或孔壓（水頭）Ni

:形函數（試函數）n

:單元節(jié)點數取形函數Ni為權函數：內部殘值方程邊界殘值方程2比奧固結理論的有限元格式2.2以總水頭為未知數的比奧固結理論有限元格式2.2.1平衡方程的有限元格式2.2.2連續(xù)方程的有限元格式2.2.3增量形式的有限元格式2比奧固結理論的有限元格式2.2.1平衡方程的有限元格式總應力表示的平衡方程形函數Ni：平面4節(jié)點4邊形單元：N1N2N3N4邊界條件2比奧固結理論的有限元格式單元內部殘值方程對任一權函數（形函數）Ni

(i=1,2,34)邊界殘值方程2比奧固結理論的有限元格式利用分部積分法：2比奧固結理論的有限元格式單元內部殘值方程2比奧固結理論的有限元格式邊界殘值方程2比奧固結理論的有限元格式對N1~N4四個形函數均成立，共有8個等式矩陣形式2比奧固結理論的有限元格式總應力2比奧固結理論的有限元格式2比奧固結理論的有限元格式平衡方程有限元格式其中：多出一項2比奧固結理論的有限元格式2.2.2連續(xù)方程的有限元格式流量邊界條件總水頭表示的連續(xù)方程單元內部殘值方程對任一權函數（形函數）Ni

(i=1,2,34)邊界殘值方程2比奧固結理論的有限元格式利用分部積分法：2比奧固結理論的有限元格式單元內部殘值方程2比奧固結理論的有限元格式流量邊界條件邊界殘值方程2比奧固結理論的有限元格式邊界殘值方程單元內部殘值方程2比奧固結理論的有限元格式對N1~N4四個形函數均成立，共有4個等式矩陣形式v=x+

y2比奧固結理論的有限元格式2比奧固結理論的有限元格式連續(xù)方程的有限元格式其中：2比奧固結理論的有限元格式其中：平衡方程與連續(xù)方程聯(lián)立多出一項2比奧固結理論的有限元格式2.2.3增量形式的有限元格式參考：龔曉南《土工計算機分析》時段tn-1~tn

之間，有：平衡方程增量形式其中：在相減中約去2比奧固結理論的有限元格式連續(xù)方程在時段tn-1~tn

上積分：通常情況ytf(t)tn-1tn一般取0.5~1，通常取2/32比奧固結理論的有限元格式將積分成果代入方程：其中：2比奧固結理論的有限元格式其中平衡方程與連續(xù)方程聯(lián)立2比奧固結理論的有限元格式2.3以孔壓為未知數的比奧固結理論有限元格式2.3.1平衡方程的有限元格式2.3.2連續(xù)方程的有限元格式2.3.3增量形式的有限元格式2比奧固結理論的有限元格式2.3.1平衡方程的有限元格式總應力表示的格式以孔壓表示的格式2比奧固結理論的有限元格式2比奧固結理論的有限元格式2.3.2連續(xù)方程的有限元格式總水頭表示的格式2比奧固結理論的有限元格式2比奧固結理論的有限元格式其中：平衡方程與連續(xù)方程聯(lián)立多出一項2比奧固結理論的有限元格式2.2.3增量形式的有限元格式時段tn-1~tn

之間，有：平衡方程增量形式其中：與總水頭表示的荷載增量相同2比奧固結理論的有限元格式連續(xù)方程在時段tn-1~tn

上積分：其中：2比奧固結理論的有限元格式其中平衡方程與連續(xù)方程聯(lián)立2比奧固結理論的有限元格式其中匯總水頭為未知數孔壓為未知數注意：關于連續(xù)方程的推導龔曉南書中漏掉一項；殷宗澤書中不具一般性。2比奧固結理論的有限元格式作業(yè)直接用孔壓表示的連續(xù)方程推導以孔壓為未知數的有限元格式，即用下式推導：注意流量邊界處理作業(yè)求直立邊坡的臨界坡高Hcr，已知H=19.3kN/m3c=68kPa=27.6要求，用Bishop方法，并與上、下限解的成果進行比較0.374H3有限單元法的求解方法3.1填筑分期，加載分級3.2每期荷載下的計算方法3有限單元法的求解方法3.1填筑分期，加載分級分期：模擬施工和加載過程，第一期一般為地基分級：每一期內荷載分段施加，考慮土應力應變的非線性231F3有限單元法的求解方法3.2每期荷載下的計算方法增量法迭代法計算方法基本增量法中點增量法直接迭代法N-R迭代法常用方法常用方法3有限單元法的求解方法1增量法基本增量法：中點增量法:一般取上一級{}對應的[D]陣FF方法1：取F/2先初算一次，得到：{}[D]{}{}然后用F加載，用F/2對應的[D]計算方法2：先直接用F初算一次，用得到的{}與上一級的{}平均，以計算[D]，然后再用F計算，作為正式成果?；蛘哂脙纱斡嬎愕腫K]平均。推薦采用方法13有限單元法的求解方法補充解釋由于找不到起始點（即零點），所以只能得到土的切線模量，得不到割線模量F割線模量切線模量只對局部有效，所以嚴格講，哪一荷載對應的模量都不合適FFn-1FnKulhawy、Duncan等對一側限約束的一維柱體進行計算，并與理論解比較中點增量法誤差約為基本增量法的一半，如果分層較密，中點增量法與理論解誤差有望<5%表明：3有限單元法的求解方法參考：Desai《巖土工程數值方法》3有限單元法的求解方法2迭代法直接迭代法：Newton-Raphson迭代法:用割線模量直接迭代F不能適用于土用切線模量進行迭代F3有限單元法的求解方法修正的Newton-Raphson迭代法:FF迭代過程中切線模量不變N-R迭代法修正的N-R迭代法常用方法雖然收斂慢些，但不必每次計算[K]陣，所以整體速度更快3有限單元法的求解方法3增量迭代法增量法和迭代法混合，在每一增量步內用迭代法計算說明：一些方法，如余量迭代法、初應力法、初應變法等本質上都是N-R方法或修正的N-R方法4有限元計算中的處理方法4.1地基土單元處理4.2新填土單元處理4.3鄧肯-張模型的處理4.4界面單元4.5不可壓縮材料4有限元計算中的處理方法4.1地基土單元處理4.2新填土單元處理方法1：方法2:直接給應力賦值，應變、位移置0用有限元計算，應變、位移置0，只保留應力1新填土單元應變、位移置0，只保留應力，應力可通過有限元計算或直接賦值2為防止新填土單元約束下部土體，可取其模量為下部土體模量的1/500~1/1000最大豎向位移一般在中間4有限元計算中的處理方法4.3鄧肯-張模型的處理1加卸載判斷參考Duncan的FEDAM84程序SSSS上：加載，模量取EtSS<SS上：卸載，彈性模量切線模量Et彈性模量Eur4有限元計算中的處理方法2土單元受拉時，即3<0本人建議：對砂土，模量取1/100~1/1000Et對粘性土，模量取1/3Et左右模量取小值1/100~1/1000Et未拉壞時，拉壞時，4有限元計算中的處理方法33>0，但3較小

切線模量3＝0時無法計算通常取計算Et0取50kPa或100kPa4有限元計算中的處理方法4.4界面單元兩種材料性質相差較大時，兩者之間應設界面單元如土與混凝土，不設界面單元，混凝土中計算應力可能過大常用：Goodman單元Desai接觸面單元1432Goodman單元殷宗澤、朱伯芳書中介紹較好4有限元計算中的處理方法4.5不可壓縮材料一般情況下：＝0~0.50.5稱不可壓縮材料，會出現(xiàn)自鎖現(xiàn)象如果>0.49，?。?.49如飽和土在不排水情況下不可壓縮材料在力學上有專門的處理方法，如減縮積分5文獻閱讀和編程中注意事項關于文獻閱讀①書中難免錯誤和疏漏，應多拿幾本書比較著看，不可只盯一本書原因a問題本身不易說清b作者有的熟悉，有的不熟悉c作者以訛傳訛d打印錯誤e其它原因輪扁斫輪KanaliCanal七月流火Hammer積分歷史原因lgln圖表軟件關于比奧理論的書床井臺馬踏飛“隼”5文獻閱讀和編程中注意事項②關鍵的、基本的原理要自己推導一下舉例自己推導能使概念清晰實在無法推導，應多找?guī)妆緯ハ嘈σ幌垄圻m當做筆記繁簡適當太簡不起作用，太繁令自己疲憊不堪,望而生畏比奧固結理論及有限元格式推導三維接觸面剛度矩陣、坐標轉換關系推導滲流自由面，5本書5中寫法總之：應當博采眾長，自己把握清楚5文獻閱讀和編程中注意事項關于程序編寫①先大致學習一下別人程序②編寫前寫好變量說明和程序框圖，至少概要框圖，不要拿起來就編③基本公式、算法要自己推導以免書中有錯，且使自己概念清晰④做好記錄，有來有回兩個本子，一為日常記錄，一為階段性工作整理⑤要在精力充沛的時段編程序。合理安排時間，不要勉強應付⑥修改程序時不要隨手。要做好修改記錄，并事先做好計劃⑦及時整理好文檔材料及最終框圖文檔材料內容建議：理論原理變量說明程序框圖處理技巧繁簡適當5文獻閱讀和編程中注意事項關于程序使用了解其計算原理、處理方法，最好剖析其源程序，弄清前因后果，做到心中有數大多數情況下是使用別人程序，此時需要注意：總之，要養(yǎng)成良好的編程和運用程序的習慣，要按部就班，不要弄巧成拙有限元是求解偏微分方程的工具。平常出現(xiàn)的錯誤，大多數情況下不是有限元本身的錯誤，而是使用者的誤解和不恰當應用（有限元）Shouldonlybeusedbyacompete