三角形垂心的性質(zhì)

三角形垂心的性質(zhì)總結(jié)山西省原平市第一中學(xué)任懷三形垂定：三角形ABC中，求證：它的三條高交于一點。證明：如圖：作

于點E，CFAB于，且于H，接并延長交點D。在們只要證明AD即。因為BE所以四邊BFEC為內(nèi)接四邊形。四邊形AFHE為內(nèi)接四邊形。所以∠FAH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四邊形AFDC為圓內(nèi)接四邊形所以∠AFC=∠ADC=90即ADBC點評：以上證明主要應(yīng)用了平面幾何中的四點共圓的判定與性質(zhì)。三形心性定1銳三形垂是三垂為點三形內(nèi)。如上圖，在三角形ABC中，、、分為、AC上高D、、E分別為垂足，為角形ABC垂心。求證H為角形DFE的心。證明：要證H為角形的內(nèi)心，只需證明、、HD分別平分∠DFE、FED、∠EDF。同樣我們還是利用四點共圓的判定與性質(zhì)來證明。由BCEF四點共圓得∠EFC=∠（都是弧CE所對圓周角）由HFBD四點共圓得∠HFD=∠HBD=∠（都是弧HD所的圓周角）所以∠EFH=∠所HF平分EFD同理HE平∠；HD平∠FDE所以為角形的心。點評兩問題都用到了四共圓在這個圖形中共可得到6個內(nèi)接四邊形，你不妨找一找。三形心向表：在心

中若O滿，則點O為三形ABC的/

證明：由

得

，所以。同理OB

，

，則點O為心。三形心質(zhì)理：若角的個點在數(shù)

的象，它垂也這函圖上證明設(shè)點O(x,y)為

的垂心上面的向量表示得因為

的三個頂點都在函數(shù)

的圖象上，所以設(shè)，因為，以所以所以同理：由得

聯(lián)立（1））兩式，就可解出顯然有垂心O在數(shù)

的圖象上。點評此恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用了垂心的量表示幾何問題轉(zhuǎn)化成了代數(shù)問題完美體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。（2005年國一理）

的接的心，兩邊的的點H，實m/

分析H顯為

的垂心，我們可取特殊情況來猜想m的。于是我取

為直角三角形，角A為角，此時H點A點合，且為BC中點（如圖所示）。此時，于是猜想而對于一般情況，上面問題，我們不妨稱之三角的心性定：的心O，心H，則

。證明：作出

的外接圓和外接圓直徑，接。因為直徑所對圓周角為直角，所以有

，因為H為

的垂心，所以所以，BH//DC,所以四邊形為平行四邊形，所以

。因為所以。

，且點評這性質(zhì)聯(lián)系了三角形的心與垂心得向量關(guān)系也相當(dāng)簡潔此為背景出高考題，也確實體現(xiàn)了命題者深厚的知識功底。/

三形心質(zhì)理：三形一點垂的離等外到邊距的

倍。即

的心O，心H，D為BC中點則AH=2OD證明：因為D為中所以由性質(zhì)：所以AH=2OD。

得點評：性質(zhì)定理3，也可看做是性質(zhì)定理2的推論。三形心質(zhì)理：銳三形垂到頂?shù)碾x和于內(nèi)圓外圓徑之的分析：應(yīng)用上面的性質(zhì)定理3，面這一結(jié)論可改為銳三形外圓內(nèi)圓之等外到角三距之和

倍即：如在角

中O為心D,E,F分別三的點設(shè)接半徑為R，切半為則OD+OE+OF=R+r.證明：在銳角

中，為外心，分為三邊的中點，則

OF

，，/

所以有=設(shè)

中角所邊的長分別為在圓中，弧所對的圓心角

=2C又因OA=OBOF。

，所以同理OD=R*cosB,所以而由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)知：所以這個式子就指出了內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的關(guān)系。而要證，需證：RcosA+RcosB+RcosC=R+即需證需證(b+c)cosA+(a+c)cosB+(a+b)cosC=a+b+c而對上式的證明我們可采用正弦定理，化角為邊，即需證：sinBcosA+sinCcosA+sinAcosB+sinCcosB+sinAcosC+sinBcosC=sinA+sinB+sinC需證：而因為A+B+C=所顯成立所以命題得證。點評：此題的證明充分聯(lián)系我們初高中的大量知識，真是做到了“八方聯(lián)系，渾然一體”（孫維剛老師語）。通過這樣的一個問題，我們的數(shù)學(xué)能力將大大提高。三形心質(zhì)理：、、、C四點任點其三為點三形垂為—垂組)。

(并這的點此定理的證明相對簡單，讀者不妨自已試試。在此提出這個性質(zhì)，主要是看到這里存在的一種廣義對稱性，即四個點中每一點都可為垂心。這個結(jié)論進一步提醒我們要經(jīng)常換個角度相問題。/

三形心質(zhì)理：H為的心則△ABC，ABH，△BCH，△的接是等。分析：要證兩圓為等圓，只要證明它們的半徑（或直徑）相等就可以啦。而這兩圓都是三角形的外接圓，于是我們就想到了正弦定理。的直徑為，因為HD

，

的直徑為，所以四形BEHD是圓內(nèi)接四邊形所以所以sinB=sin所以

=所以

，

的外接圓為等圓。同理△ABC△ABH，，ACH的接圓是等圓。證明略。點評：該題的證明過程中，應(yīng)用到了性質(zhì)這也正是在提示我們要注意八方聯(lián)系。

中圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)和正弦定理。以上我對與三角形垂心有關(guān)的性質(zhì)做了一些總結(jié)，當(dāng)然也難免還有其它性質(zhì)，我