考研輔導(dǎo)線性代數(shù)行列式(工科類)課件

幾點要求與注意：1。考研輔導(dǎo)學(xué)時有限，教師講解不可能面面俱到，只能畫龍點睛，教師所起的只是引導(dǎo)的作用，師生必須相互配合默契才能發(fā)揮最大的效益。2。輔導(dǎo)講解主要講授：常見題型，解題分析，

第一章行列式

行列式的常用計算方法：化三角形；遞推法；數(shù)學(xué)歸納法，公式法知識要點線性代數(shù)中與行列式有關(guān)的內(nèi)容：時，齊次線性方程組AX=0有非零解，但非齊次線性方程組沒有唯一解（可能無解或無窮解）時，A可逆，可用A*求逆；對n個n維向量可用其行列式判其線性相關(guān)性；從1987年全國統(tǒng)考以來，行列式的題以填空、選擇為主，題量不多，且偏重于計算。

對于落到行列式的考題，大致為三種類型，一是數(shù)字型行列式的計算，一是抽象型行列式的計算，還有就是行列式值的判定（特別是行列式是否為零？）

在這些考題中不僅考查行列式的概念、性質(zhì)及計算，還涉及到矩陣、向量、方程組、特征值二次型等知識點。

一、數(shù)字型行列式的計算

1.（6分）設(shè)n元線性方程組Ax=b，其中

，，.

評注：本題關(guān)于三對角線行列式的計算通常用遞推法。（96年數(shù)四考題中出現(xiàn)過）

例如，本題按第一列展開，有證明行列式

注：1.遞推公式由也可直接往下推由同學(xué)們完成2.如果不是證明，而是求呢？3.如果要求解方程呢？例如見下題：留給讀者(6分)設(shè)n元線性方程組Ax=b，其中

(Ⅰ)當(dāng)a取何值時，該方程組有唯一解，并

求x1；

(Ⅱ)當(dāng)a取何值時，該方程組有無窮多解，

并求通解。

評注：本題可以按第一行（列）直接展開，建立遞推公式；也可將各行（列）加到第一行（列）再展開，不過在建立，遞推公式時一定要注意符號問題（如將各列加到第一列再展開），否則會出錯！留作考生作練習(xí)。(2).（3分）設(shè)n階矩陣則提示：用行列式性質(zhì)作，注意技巧：使第一行或列元素一致。參考答案：評注：本題除用行列式的性質(zhì)及展開計算外，你能用特征值更簡便地求出該行列式的值嗎?(提示：R（A）＝1充要條件為A＝（a1a2····an）T（b1b2····bn）且A的特征值為n，0，···，0注意本題A＝B－E，其中雖然單獨命的計算題并不多，但在特征值問題中有較多型行列式的計算，在線性相關(guān)矩陣可逆、n個未知數(shù)n個方程的齊次方程組、二次型的正定等問題中都會涉及到行列式的計算，因此對行列式的計算要重視，不要因小失大．二、抽象型行列式的計算1.（3分）若4階矩陣A與B相似，矩陣A的特征值為，，，，則行列式(1).（4分）設(shè)矩陣，E為2階單位矩陣，矩陣B滿足BA＝B＋2E，則練習(xí)一：要會計算這些題:(3)（3分）若都是4維列向量，且4階行列式，，則4階行列式（A）m＋n；（B）－（m＋n）(C)n-m;(D)m-n評注：作為抽象型行列式，本題主要考查行列式的性質(zhì)2（4分）設(shè)矩陣，矩陣B滿足：ABA*=2BA*+E，其中A*為A的伴隨矩陣.則注意：式AA*=A*A=E的應(yīng)用及的性質(zhì)答案：(3)（4分）設(shè)均為3維列向量，記矩陣，，如果，那么注意：行列式與矩陣運算的不同；參考答案：另有B可分解為再利用范德蒙行列式的結(jié)果，注意矩陣分解是常用的方法。三、行列式是否為零的判斷1、（3分）齊次方程組的系數(shù)矩陣為A。若存在三階矩陣B≠0使得AB=0，則且（A）（B）且（C）且（D）且注：作為選擇題，只需在與評注：對于條件AB=0應(yīng)當(dāng)有兩個思路：一是B的列向量是齊次方程組AX＝0的解二是秩的信息即，要有這兩種思考問題的意識．另外，還可由AB=0可推出A,B都不可逆（反證）也是解決問題的一種思路中選擇一個，因而可以用特殊值代入（3分）設(shè)A是m×n矩陣。B是n×m矩陣，則

(B)當(dāng)m＞n時，必有行列式．(C)當(dāng)n＞m時，必有行列式

(D)當(dāng)n＞m時，必有行列式

(A)當(dāng)m＞n時，必有行列式這樣的題能快捷判斷嗎?2。設(shè)A是n階非零矩陣（至少用兩種方法作）是n階矩陣，那么行列式矩陣A不可逆秩r(A)<n

AX＝0有非零解0是矩陣A的特征值A(chǔ)的列(行))向量線性相關(guān)．綜述：若因此，判斷行列式是否為零的問題，常用的思路