《大學(xué)物理》課件 28簡(jiǎn)諧波

波動(dòng)的一般概念

聲波、水波、電磁波都是物理學(xué)中常見(jiàn)的波，它對(duì)應(yīng)一種物質(zhì)波。波即可以是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的傳遞而非物質(zhì)自身運(yùn)動(dòng)，也可以是物質(zhì)本身的運(yùn)動(dòng)結(jié)果，甚至把波直接看作一種粒子。第二部分波動(dòng)各種類型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，例如，聲波需要介質(zhì)才能傳播，電磁波卻可在真空中傳播，至于光波有時(shí)可以直接把它看作粒子—光子的運(yùn)動(dòng)。但它們都有類似的數(shù)學(xué)描述(波動(dòng)方程或波函數(shù))。機(jī)械振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播稱為機(jī)械波。下面以機(jī)械波為例,介紹波的一些物理概念。第28講簡(jiǎn)諧波第30講波的疊加原理波的干涉第31講多普勒效應(yīng)第29講波的反射折射和衍射電磁波聲波（略講自學(xué)）第二部分波動(dòng)第28講簡(jiǎn)諧波本講主要內(nèi)容：一、機(jī)械波的形成和傳播二、波動(dòng)的描述三、平面簡(jiǎn)諧行波的波函數(shù)四、波動(dòng)方程波的傳播速度五、波的能量能流密度一、機(jī)械波的形成和傳播機(jī)械波產(chǎn)生的條件1.彈性介質(zhì):彈性介質(zhì)是指由彈性力組合的連續(xù)介質(zhì)。具有彈性的介質(zhì)2.波源:彈性力：有正彈性力（壓、張彈性力）和切彈性力；液體和氣體彈性介質(zhì)中只有正彈性力而沒(méi)有切彈性力。波源處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)通過(guò)彈性介質(zhì)中的彈性力，將振動(dòng)傳播開去，從而形成機(jī)械波。機(jī)械波是實(shí)際上是介質(zhì)中大量質(zhì)元參與的集體振動(dòng).12345678910111213

t=045678910111213123t=T/478910111213654321t=T/26543211378101112t=T正是通過(guò)媒質(zhì)各部分之間相互作用，才能把機(jī)械振動(dòng)傳播出去。機(jī)械波的傳播1.

各質(zhì)點(diǎn)僅在各自的平衡位置附近振動(dòng)。不論波源自身是作自由振動(dòng)還是受迫振動(dòng)，空間的某點(diǎn)的振動(dòng)都是在波源策動(dòng)下進(jìn)行的，都是受迫振動(dòng)，因而振動(dòng)頻率應(yīng)于波源頻率相同。波的傳播也就是相位的傳播4.凡是相位差為2kπ的各質(zhì)點(diǎn)，步調(diào)一致，為同相位。Tuλ機(jī)械波的特征2.各質(zhì)點(diǎn)之間以彈性力相互作用著，回復(fù)力的作用使質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)（相位）由近及遠(yuǎn)地傳播。3.各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)的差別僅在于，后開始振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)比先開始振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，在步調(diào)上落后一段時(shí)間。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向垂直，

這種波稱為橫波。如繩波,電磁波.橫波和縱波如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。疏密波!如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。疏密波!如果在波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。橫波和縱波是波的兩種基本類型。水面波兼有橫,縱波特點(diǎn)水波、地表波，都能分解為橫波與縱波來(lái)進(jìn)行研究。無(wú)論橫波或縱波只是振動(dòng)狀態(tài)的傳播，彈性介質(zhì)中的各質(zhì)點(diǎn)僅在各自的平衡位置附近振動(dòng),并不隨波逐流.波長(zhǎng)——振動(dòng)相位相同的兩個(gè)相鄰波陣面之間的距離為一個(gè)波長(zhǎng)或振動(dòng)在一個(gè)周期中傳播的距離。用表示。波長(zhǎng)描述了波在空間上的周期性。波的周期用T表示。波的頻率用

表示。頻率—單位時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的次數(shù)波動(dòng)的頻率，等于介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)頻率。波速—單位時(shí)間某種一定的振動(dòng)狀態(tài)(或振動(dòng)相位)所傳播的距離稱為波速.也稱相速。

波速取決于波傳播的空間。二、波動(dòng)的描述波的特征量電磁波波速為，機(jī)械波波速取決于媒質(zhì)的彈性模量和密度。注意：1.波的T或等于波源的T或。2.波速與質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度的區(qū)別。個(gè)——表示波在空間中的周期性——表示波在時(shí)間上的周期性通過(guò)波速聯(lián)系起來(lái).t+t時(shí)刻的波形波傳播方向t時(shí)刻的波形能描述任一質(zhì)點(diǎn)（位置為x)在任一時(shí)刻t的振動(dòng)狀態(tài)波函數(shù)具有時(shí)間周期性（T)波函數(shù)具有空間周期性（)波函數(shù)球面波波面波線波前平面波波前波的幾何描述1.波陣面（或相面、波面）—某時(shí)刻介質(zhì)內(nèi)振動(dòng)相位相同的點(diǎn)組成的面稱為波面。2.波射線（或波線)—波的傳播方向稱之為波射線或波線。3.波前—某時(shí)刻處在最前面的波陣面。在各向同性均勻介質(zhì)中，波線與波陣面垂直!簡(jiǎn)諧波（余弦波或正弦波）是一種最簡(jiǎn)單最重要的波。其它復(fù)雜的波是由簡(jiǎn)諧波合成的結(jié)果。三、平面簡(jiǎn)諧行波波函數(shù)設(shè)有一平面余弦行波，在無(wú)吸收均勻無(wú)限大介質(zhì)中沿X軸傳播，波速為u。下面要用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述波線上每一質(zhì)點(diǎn)在每一時(shí)刻的位移，這樣的函數(shù)y=f(x,t)

稱為行波的波動(dòng)方程。以橫波為例說(shuō)明平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程(質(zhì)點(diǎn)在y方向振動(dòng))。平面簡(jiǎn)諧波函數(shù)

已知：則

P點(diǎn)t時(shí)刻的位移相當(dāng)于O點(diǎn)t-t'時(shí)刻的位移。各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)的差別僅在于，后開始振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)比先開始振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，在步調(diào)上落后一段時(shí)間?！矫婧?jiǎn)諧波的波函數(shù)利用關(guān)系式及（k稱為波數(shù)）并略去角標(biāo)P平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表達(dá)式可寫成多種形式

掌握建立波函數(shù)的方法！平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表達(dá)式給出波線上任一點(diǎn)處（距原點(diǎn)x處）在任一時(shí)刻t的位移。求原點(diǎn)振動(dòng)位移——得到x處的振動(dòng)狀態(tài)即為波函數(shù)（1）當(dāng)x

一定時(shí)，給出

x

處的振動(dòng)曲線。(2)當(dāng)t一定時(shí),給出給定時(shí)刻的y--x曲線即波形圖。

t時(shí)刻

x2

處質(zhì)點(diǎn)相位落后x1波具有時(shí)間周期性（T)波具有空間周期性（)T注意：x前負(fù)號(hào)的意義波函數(shù)的物理意義——各質(zhì)點(diǎn)相位逐一落后！t+t時(shí)刻的波形(3)當(dāng)t和x都變化時(shí)，波函數(shù)描述了波形的傳播。波傳播方向t時(shí)刻的波形平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表達(dá)式給出波線上任一點(diǎn)處（距原點(diǎn)x處）在任一時(shí)刻t的位移。如果波沿ox軸

負(fù)向傳播，則波動(dòng)表式為

u波傳播方向x前正號(hào)的意義(4)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的速度則x處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的速度為v是波動(dòng)傳到x處，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，是x,t的函數(shù)；u是波的傳播速度，取決于媒質(zhì)的力學(xué)性質(zhì)，與x,t無(wú)關(guān)。——沿x

軸正方向各質(zhì)點(diǎn)相位逐一超前！例一平面簡(jiǎn)諧波在介質(zhì)中以速度u=20m/s沿直線傳播波沿ox軸負(fù)向傳播，已知傳播路徑上某點(diǎn)A的振動(dòng)表式為y=3cos

4

t.求（1）如以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)表式；（2）如以距A點(diǎn)5m處的B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)表式;（3）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出傳播方向上點(diǎn)B，點(diǎn)C,點(diǎn)D的振動(dòng)表式。8m5m9mCDABux思考：1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn),和B為坐標(biāo)原點(diǎn)，波函數(shù)是否一樣？2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn),和B為坐標(biāo)原點(diǎn)，C,D的振動(dòng)表達(dá)式是否一樣？解：因?yàn)椴ㄑ豿軸負(fù)向傳播，x

正軸各點(diǎn)的相位均超前A點(diǎn)。（1）點(diǎn)A的振動(dòng)表式為以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則距原點(diǎn)x

處的質(zhì)點(diǎn)的相位為（t+x/u),

波函數(shù)為（2）求B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的波函數(shù)（方法1）B點(diǎn)的相位落后于A點(diǎn)的

相位8m5m9mCDABux方法2以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的波動(dòng)函數(shù)為以

B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，作一坐標(biāo)變換x→(x-5).點(diǎn)B的振動(dòng)表式為則

B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的波函數(shù)為8m5m9mCDABux則以

B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的函數(shù)為（3）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則B，C,D點(diǎn)的振動(dòng)表式為8m5m9mCDABux無(wú)論以那點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，B,C,D的振動(dòng)表達(dá)式都是一樣.Ao

t=0t時(shí)刻例:一沿x軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波在t=0時(shí)刻的波形圖如右圖,振幅為A,角頻率為。求：（1）O點(diǎn)的振動(dòng)表式；（2）P點(diǎn)的振動(dòng)表式；

(3)寫出波動(dòng)表式。解：（1）求O點(diǎn)的初相。圖中的波形是t=0時(shí)刻各點(diǎn)的位移。O點(diǎn)的振動(dòng)方程Ap(2)求

P點(diǎn)的初相。(3)寫出波動(dòng)方程。(2)求

P點(diǎn)的初相?；颍篜點(diǎn)相位比O點(diǎn)落后3/2,則P點(diǎn)的初相為（/2-

3/2）=-。

P點(diǎn)的振動(dòng)方程Apt=0t我們畫出原點(diǎn)的振動(dòng)曲線，與t=0時(shí)刻的波形曲線比較：O點(diǎn)的振動(dòng)方程同樣我們可以由某點(diǎn)的振動(dòng)曲線，所給出的信息寫出波動(dòng)方程。O點(diǎn)的振動(dòng)曲線注意：某一時(shí)刻的波形線和振動(dòng)曲線的區(qū)別！例

：一平面簡(jiǎn)諧波沿x軸正向傳播,振幅A=10cm，圓頻率當(dāng)t=1.0s時(shí)，x=10cm處a質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)為，此時(shí)x=20cm處b質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)為設(shè)該波波長(zhǎng).求波動(dòng)方程。解：波動(dòng)方程一般表式為yab0t=1.0s當(dāng)t=1.0s時(shí)聯(lián)立得波動(dòng)方程為yab0t=1.0s例：已知如圖所示的兩個(gè)時(shí)刻的波形曲線：寫出該波的波函數(shù)。解：先求O點(diǎn)的振動(dòng)方程Ao

t=0t=2s120m

t=0t=2s120m求出角頻率求出波速該波的波函數(shù)：+

四、波動(dòng)方程波的傳播速度具有普適性，即對(duì)任一一維平面波都成立。亦可推出上式注意波動(dòng)方程由以弦上橫波為例建立波動(dòng)方程xx+dxT(x)T+dTxy波速僅與傳播的介質(zhì)有關(guān)的量。dT波的傳播速度彈性介質(zhì)內(nèi)傳播的彈性波傳播速度決定于媒質(zhì)的力學(xué)性質(zhì)，具體說(shuō)決定于媒質(zhì)的密度和彈性模量。理論上證明：E為介質(zhì)的彈性模量；ρ為媒質(zhì)的體密度彈性形變的內(nèi)容很多，所以彈性模量也有不同的名稱。結(jié)論：任何物理量只要滿足上述方程，則它一定按波的形式傳播。而且對(duì)時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)的

系數(shù)的倒數(shù)就是波速的平方。長(zhǎng)變切變楊氏模量切變模量A.對(duì)于固體：當(dāng)固體發(fā)生拉伸和壓縮形變時(shí)，則傳播縱波：可傳播的縱波波速當(dāng)固體發(fā)生切變時(shí)，則傳播橫波：可傳播的橫波波速在彈性軟繩和弦線中傳播的橫波其傳播速度為T為介質(zhì)中的張力一般來(lái)說(shuō)同種材料楊氏模量比切變模量大。因此縱波波速大于橫波波速此時(shí)液體和氣體的體積發(fā)生變化——容變體變彈性模量B.對(duì)于液體和氣體：因?yàn)椴荒馨l(fā)生切變，所以不能傳播橫波，只能傳播縱波。一般來(lái)說(shuō)同種材料楊氏模量比切變模量大。因此縱波波速大于橫波波速在一根很長(zhǎng)的細(xì)桿中傳播著縱波,某一時(shí)刻的波形曲線如圖,試分析圖中A、B、C、D、.…各點(diǎn)哪些對(duì)疏部，哪些對(duì)應(yīng)波的密部。yxBAECDFGHIxAECGIBDFH密部疏部密部疏部疏部y=o的各點(diǎn)相對(duì)形變最大，對(duì)應(yīng)疏部和密部；y最大的各點(diǎn)相對(duì)形變?yōu)榱?，是疏部和密部的分界線；五、波的能量能流密度以平面余弦彈性縱波在棒中傳播為例。設(shè)棒中平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)表式為體積元振動(dòng)速度為機(jī)械波的能量是媒質(zhì)中各質(zhì)元振動(dòng)能量(動(dòng)能加勢(shì)能）的總和。體積元?jiǎng)幽懿ǖ哪芰繎?yīng)變=y/x體積元的相對(duì)形變彈性勢(shì)能楊氏模量彈性勢(shì)能正比于相對(duì)形變體積元總機(jī)械能討論：

體積元的，，都隨t作周期性變化，同時(shí)達(dá)到最大值，又同時(shí)達(dá)到最小值。體積元的機(jī)械能不守恒。在行波的傳播過(guò)程中，體積元的動(dòng)能和勢(shì)能的時(shí)間關(guān)系相同，同相且大小相同。B點(diǎn)同時(shí)波峰處點(diǎn)最大，