一元二次方程的認識及解法

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知識點

A要求

B要求

Ｃ要求

一元二次方程了解一元二次方程的概念，會將一元二次方程化為普通形式，并指出各項系數(shù)；了解一元二次方程的根的意義

能由一元二次方程的概念確定二次項系數(shù)中所

含字母的取值范圍；會由方程的根求方程中待定系數(shù)的值

一元二次方程的解法明白配辦法，會用直截了當開平辦法、配辦法、公式法、因式分解法解簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程，明白各種解法的依據(jù)

能挑選恰當?shù)霓k法解一元二次方程；

會用方程的根的判不式判不方程根的事情

能利用根的判不式講明含有字母系數(shù)的一元二次

方程根的事情及由方程根的事情確定方程中待定系數(shù)的取值范圍；會用配辦法對代數(shù)式做簡單的

變形；會應用一元二次方程解決簡單的實際咨詢題

一、一元二次方程的定義

一元二次方程：只含有一具未知數(shù)，同時未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．

一元二次方程的普通形式：20(0)axbxca++=≠，a為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項．⑴要推斷一具方程是否是一元二次方程，必須符合以下三個標準：

①一元二次方程是整式方程，即方程的兩邊基本上對于未知數(shù)的整式．②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一具未知數(shù)．

③一元二次方程是二次方程，也算是方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是2．

⑵任何一具對于x的一元二次方程通過整理都能夠化為普通式20axbxc++=()0a≠．

要特殊注意關于對于x的方程20axbxc++=，當0a≠時，方程是一元二次方程；當0a=且0b≠時，方程是一元一次方程．

⑶對于x的一元二次方程式20axbxc++=()0a≠的項與各項的系數(shù)．2ax為二次項，其系數(shù)為a；bx為一次項，其系數(shù)為b；c為常數(shù)項．

二、一元二次方程的解法

１．一元二次方程的解法：

⑴直截了當開平辦法：適用于解形如2()(0)xabb+=≥的一元二次方程．⑵配辦法：解形如20(0)axbxca++=≠的一元二次方程，知識點睛

中考要求

一元二次方程的認識及解法

②常數(shù)項右移．

③配方（兩邊并且加上一次項系數(shù)一半的平方）．

④化成2

()xmn+=的形式．

⑤若0n≥，選用直截了當開平辦法得出方程的解．⑶公式法：

設一元二次方程為()200axbxca++=≠，其根的判不式為：24bac?=-，12,xx是方程的兩根，則：

⑴0?>?方程()2

00axbxca++=≠有兩個別相等的實數(shù)根1,2x．

⑵0?=?方程()200axbxca++=≠有兩個相等的實數(shù)根122b

xxa

==-．

⑶0?<?方程()2

00axbxca++=≠沒有實數(shù)根．

若a、b、c為有理數(shù)，且?為完全平方式，則方程的解為有理根；

若?為徹底平方式，并且b-2a的整數(shù)倍，則方程的根為整數(shù)根．運用公式法解一元二次方程的普通步驟是：①把方程化為普通形式②確定a、b、c的值．③計算24bac-的值．

④若240bac-≥，則代入公式求方程的根．⑤若240bac-<，則方程無解．

⑷因式分解法：適用于方程一邊是零，另一邊是一具易于分解的多項式．

2．一元二次方程解法的靈便運用

直截了當開辦法，配辦法，公式法，因式分解法．在具體解題時，應當依照題目的特點挑選適當?shù)慕夥ǎ乓蚴椒纸夥ǎ哼m用于右邊為0（或可化為0），而左邊易分解為兩個一次因式積的方程，缺常數(shù)項或含有字母系數(shù)的方程用因式分解法較為簡便，它是一種最常用的辦法．

⑵公式法：適用于任何形式的一元二次方程，但必須先將方程化為普通形式，并計算24bac-的值．

⑶直截了當開平辦法：用于缺少一次項以及形如2axb=或()()2

0xabb+=≥或

()

2

axb+=()2

cxd+的方程，能利用平方根的意義得到方程的解．

⑷配辦法：配辦法是解一元二次方程的基本辦法，而公式是由配辦法演繹得到的．把一元二次方程的普通形式20axbxc++=（a、b、c為常數(shù)，0a≠）轉化為它的簡單形式2AxB=，這種轉化辦法算是配方，具體辦法為：

2

axbxc++2

2222244424bbbbacbaxxcaxaaaaa????-??=+++-=++

?????????．因此方程2

0axbxc++=（a、b、c為常數(shù)，0a≠）就轉化為2

2424bacbaxaa-?

?++

??

?的形式，即2

22424bbacxaa-?

?+=??

?，之后再用直截了當開平辦法就可得到方程的解．

三、可化為一元二次方程的特別方程

解方程的基本思想：

化分式方程為整式方程

化高次方程為一次或二次方程化多元為一元

化無理方程為有理方程

總之：最終轉化為一元一次方程或一元二次方程．解方程的基本辦法：

解整式方程：普通采納消元（加減消元、代入消元、因式分解消元、換元法消元等），落次（換元落次、因式

解無理方程：普通采納兩邊平方、根式的定義、性質、換元、構造、三角函數(shù)等辦法．

一、一元二次方程的定義

【例1】m為何值時，對于x的方程2

(2)(3)4mmxmxm-+=是一元二次方程．

【例2】已知方程2240abxxx--+=是對于x的一元二次方程，求a、b的值．

【例3】已知對于x的方程22(2)1axaxx--=-是一元二次方程，求a的取值范圍．

【例4】已知對于x的方程22()(2)xaax-=-是一元二次方程，求a的取值范圍．

【例5】若2310ababxx+--+=是對于x的一元二次方程，求a、b的值．

【例6】已知方程20ababxxab+=是對于x的一元二次方程，求a、b的值．

【例7】若一元二次方程

222(2)3(15)40mxmxm-+++-=的常數(shù)項為零，則m的值為_________．

二、一元二次方程的解法

1．直截了當開平辦法

【例8】解對于x的方程：()()22

2332xx+=+

【例9】解對于x的方程：()()22

425931xx-=-

【例10】解對于x的方程：224(2)(31)0xx=

【例11】解對于x的方程：251250x-=

【例12】解對于x的方程：2

2(31)85

x+=

【例13】解對于x的方程：2269(52)xxx-+=-例題精說

2．配辦法

【例15】用配辦法解方程：2640xx--=

【例16】用配辦法解方程：22310xx++=

【例17】用配辦法解方程:2420xx+-=

【例18】用配辦法解方程:22810xx+-=

【例19】用配辦法解方程：2420xx++=

【例20】用配辦法解方程：211

063

xx+-=

【例21】用配辦法解方程：231y+=

【例22】用配辦法解方程：2250xx+-=

【例23】用配辦法解方程：2510yy++=

【例24】用配辦法解方程：2243yy-=-

【例25】用配辦法解方程2420xx+-=

【例26】用配辦法解方程：20axbxc++=（a、b、c為常數(shù)且0a≠）

【例27】配辦法解方程：20xmxn++=

【例28】用配辦法解對于x的方程20xpxq++=（pq，為已知常數(shù)）

3．公式法

【例29】解方程210xx--=

【例30】用公式法解方程：25720xx-+=

【例32】用公式法解方程：2362xx=-

【例33】用公式法解方程：23p+=

【例34】用公式法解方程：2952nn=-

【例35】解方程235(21)0xx++=

【例36】解方程(5)(7)1xx--=

【例37】解方程1

(61)432(2)2

xxxx++-=+

【例38】解方程：210xx--=

【例39】解方程：(5)(7)1xx--=

【例40】解方程：1

(61)432(2)2

xxxx++-=+

【例41】解方程：2320x-=

4．因式分解法

【例42】用因式分解法解方程：()()2

3430xxx-+-=

【例43】用因式分解法解方程：222320xmxmmnn-+--=（m、n為常數(shù)）

【例44】用因式分解法解方程：21

904

x-=

【例45】用因式分解法解方程：281030xx+-=

【例46】因式分解法解方程：26x-=

【例47】解方程：2(21)60xx--=．

【例48】若代數(shù)式2425xx--與221x+的值互為相反數(shù)，則x的值為多少？

【例49】解方程23440xx--=

【例50】解方程：23(5)2(5)xx-=-

【例51】解方程：2(21)36xx-=-

【例52】解方程22

5603

xx-+-=．

【例53】解方程2670xx--=

【例54】解方程3(5)14(5)xxx-=-

【例55】解方程：2(42)(21)xxx+=+

【例56】

229(2)16(1)0xx--+=

【例57】解對于x的方程22220xmxmn-+-=

【例58】解對于x的方程223421xaaxa+=-+

【例59】解對于x的方程：()

()()2220xpqxpqpqpq-+++-=

【例60】解方程2(21)36xx-=-

【例61】解方程229(2)16(1)0xx--+=

【例62】解方程：23440xx--=

【例63】解方程2(42)(21)xxx+=+

【例64】解方程23(5)2(5)xx-=-

【例65】解方程2(21)36xx-=-

【例66】解方程6(2)(2)(3)xxxx-=-+

【例67】解方程：23(32)(31)

323

yyyyy+--=+

【例68】解方程：22(34)(23)xx-=+

【例69】解方程：2(2)24xx+=+

5．換元法

【例70】解方程2(5)(5)4xx-=-+

三、含字母系數(shù)的一元二次方程的解法

【例71】解方程：22(32)60mxmxm-++=

【例72】解方程22(32)60mxmxm-++=

【例73】解對于x的方程：2(1)(21)30mxmxm-+-+-=．

【例74】解對于x的方程：2222(1)(1)(1)axxaxax-+--=-

四、含絕對值的一元二次方程的解法

【例75】解方程:2560xx--=．

【例76】解方程：320xxx-+=

【例77】絕對值方程(2)(3)41xxx-+=+-的別同實數(shù)解共有個．

【例78】已知對于x的方程222xxm-+=恰有三個實數(shù)根，求m的值．

【例79】方程34x

xxx

-=的實根的個數(shù)為．

【例80】設方程22140xx=．求滿腳該方程的所有根之和．

【例81】請閱讀下列材料：

咨詢題：已知方程230xx+-=，求一具一元二次方程，使它的根分不是已知方程根的2倍．

解：設所求方程的根為y，則2yx=．因此2

y

x=

把2yx=代入已知方程，得2

3022yy??

+-=???

化簡，得22120yy+-=．故所求方程為22120yy+-=．

這種利用方程根的代換求新方程的辦法，我們稱為“換根法”．

請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所有方程化為普通形式）：

⑴已知方程210xx+-=，求一具一元二次方程，使它的根分不是已知方程根的3倍，則所求方程為：；

⑵已知對于x的一元二次方程20axbxc++=有兩個別等于零的實數(shù)根，求一具一元二次方程，使它的根分不是已知方程根的倒數(shù)；

⑶已知對于x的方程20xmxn-+=有兩個實數(shù)根，求一具一元二次方程，使它的根分不是已知方程根的平方．

【例82】解方程42650xx-+=，這是一元四次方程，依照該方程的特點，它的通常解法是：

設2xy=，這么42xy=，于是原方程可化為2650yy-+=①，解那個方程得11y=，25y=．

當1y=時，21x=，1x=±；當5y=時，2x=

故原方程有四個根：11x=，21x=-，3x=4x=

⑴填空：由原方程得到①的過程中，利用法達到落次的目的，體現(xiàn)了的數(shù)學思想；⑵解方程()()2

224120xxxx=．

【例83】解方程：222(3)2(3)80xxxx+-+-=

【例84】解方程222(32)3(32)2xxxxx=+-++--．

【例85】解方程：()()()()1234120xxxx++++=．

【例86】方程32322(32)(47)615180xx