三角形四心介紹

三角形四心1、三角形外心：三角形的外心是三角形三條垂直平分線的交點(diǎn)(或三角形外接圓的圓心)。三角形的三條垂直平分線必交于一點(diǎn)已知：△ABC中，AB,AC的垂直平分線DO,EO相交于點(diǎn)O求證：O點(diǎn)在BC的垂直平分線上證明：連結(jié)AO,BO,CO，∵DO垂直平分AB，∴AO=BO∵EO垂直平分AC，∴AO=CO∴BO=CO即O點(diǎn)在BC的垂直平分線上三角形的外心的性質(zhì)：1.三角形三條邊的垂直平分線的交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心.2三角形的外接圓有且只有一個(gè)，即對(duì)于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè)，這些三角形的外心重合。3.銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；鈍角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心與斜邊的中點(diǎn)重合4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R2、三角形的內(nèi)心：三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)(或內(nèi)切圓的圓心)。三角形三條角平分線必交于一點(diǎn)證明己知：在△ABC中，∠A與∠B的角平分線交于點(diǎn)O，連接OC求證：OC平分∠ACB證明：過(guò)O點(diǎn)作OD,OE,OF分別垂直于AC,BC,AB,垂足分別為D,E,F∵AO平分∠BAC,∴OD=OF；∵BO平分∠ABC,∴OE=OF；∴OD=OF∴O在∠ACB角平分線上∴CO平分∠ACB性質(zhì)：1.三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心2.三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．5.∠BOC=90°+∠A/2∠BOA=90°+∠C/2∠AOC=90°+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2(r是內(nèi)切圓半徑)3、三角形的垂心：三角形的垂心是三角形三邊上的高的交點(diǎn)(通常用H表示)。三角形的三條高必交于一點(diǎn)已知：△ABC中，AD、BE是兩條高，AD、BE交于點(diǎn)O，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F求證：CF⊥AB證明：連接DE∵∠ADB=∠AEB=90°,且在AB同旁，∴A、B、D、E四點(diǎn)共圓

∴∠ADE=∠ABE（同弧上的圓周角相等）∵∠EAO=∠DAC∠AEO=∠ADC=90°∴△AEO∽△ADC∴AE/AD=AO/AC即AE/AO=AD/AC∴ΔEAD∽ΔOAC∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90°∴∠ACF+∠BAC=90°∴CF⊥AB三角形的垂心的性質(zhì)：1.銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形的垂心在三角形外2.三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說(shuō)，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心3.垂心O關(guān)于三邊的對(duì)稱點(diǎn)，均在△ABC的外接圓圓上。4.△ABC中，有六組四點(diǎn)共圓，有三組(每組四個(gè))相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF5.H、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心(并稱這樣的四點(diǎn)為一—垂心組)。6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圓是等圓。7.在非直角三角形中，過(guò)O的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC8.三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2倍。9.設(shè)O，H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。10.銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。11.銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長(zhǎng)最短。（施瓦爾茲三角形，最早在古希臘時(shí)期由海倫發(fā)現(xiàn)）12.西姆松(Simson)定理（西姆松線）：從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的重要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上13.設(shè)銳角△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，那么P是垂心的充分必要條件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。14.設(shè)H為非直角三角形的垂心，且D、E、F分別為H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分別為△AEF，△BDF，△CDE的垂心，則△DEF≌△H1H2H3。15.三角形垂心H的垂足三角形的三邊，分別平行于原三角形外接圓在各頂點(diǎn)的切線。4、三角形的重心：三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)。三角形的三條中線必交于一點(diǎn)已知：△ABC的兩條中線AD、CF相交于點(diǎn)O，連結(jié)并延長(zhǎng)BO，交AC于點(diǎn)E。求證：AE=CE證明：延長(zhǎng)OE到點(diǎn)G，使OG=OB∵OG=OB,∴點(diǎn)O是BG的中點(diǎn)又∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)∴OD是△BGC的一條中位線

∴AD∥CG∵點(diǎn)O是BG的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)∴OF是△BGA的一條中位線∴CF∥AG∵AD∥CG，CF∥AG,∴四邊形AOCG是平行四邊形∴AC、OG互相平分,∴AE=CE三角形的重心的性質(zhì)：1.重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。2.重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。3.重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。4.在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角坐標(biāo)系——橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3

縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3豎坐標(biāo)：（Z1+Z2+Z3）/35.重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)的連線的任意一條連線將三角形面積平分。6.重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。5、三角形的旁心：1、三角形的一條內(nèi)角平分線與另兩個(gè)內(nèi)角的外角平分線相交于一點(diǎn)，是旁切圓的圓心，稱為旁心。2、旁心常常與內(nèi)心聯(lián)系在一起，旁心還與三角形的半周長(zhǎng)關(guān)系密切，三角形有三個(gè)旁心。三角形旁心的性質(zhì)：1、三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的旁心。2、每個(gè)三角形都有三個(gè)旁心。3、旁心到三邊的距離相等。4、三角形任意兩角的外角平分線和第三個(gè)角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。一個(gè)三角形有三個(gè)旁心，而且一定在三角形外。歐拉線：非等邊三角形的外心、重心、垂心，依次位于同一直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線。其中，重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。歐拉線的證法1：作△ABC的外接圓，連結(jié)并延長(zhǎng)BO，交外接圓于點(diǎn)D。連結(jié)AD、CD、AH、CH、OH。作中線AM，設(shè)AM交OH于點(diǎn)G’∵BD是直徑∴∠BAD、∠BCD是直角∴AD⊥AB，DC⊥BC∵CH⊥AB，AH⊥BC∴DA‖CH，DC‖AH∴四邊形ADCH是平行四邊形∴AH=DC∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn)∴OM=1/2DC∴OM=1/2AH∵OM‖AH∴△OMG’∽△HAG’∴AG/GM=2/1∴G’是△ABC的重心∴G與G’重合∴O、G、H三點(diǎn)在同一條直線上如果使用向量,證明過(guò)程可以極大的簡(jiǎn)化,運(yùn)用向量中的坐標(biāo)法,分別求出OGH三點(diǎn)的坐標(biāo)即可.歐拉線的證法2：設(shè)H,G,O,分別為△ABC的垂心、重心、外心。連接AG并延長(zhǎng)交BC于D,則可知D為BC中點(diǎn)。連接OD，又因?yàn)镺為外心，所以O(shè)D⊥BC。連接AH并延長(zhǎng)交BC于E,因H為垂心,所以AE⊥BC。所以O(shè)D//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G為重心，則GA:GD=2:1。連接CG并延長(zhǎng)交BA于F,則可知F為AB中點(diǎn)。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF連接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相減可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以O(shè)D:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以O(shè)D:HA=GA:GD=2:1又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HG