新教材2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)北師大版必修第一冊(cè)學(xué)案第1章113第1課時(shí)交集與并集word版含解析

1.3集合的基本運(yùn)算第1課時(shí)交集與并集學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．理解兩個(gè)集合的交集與并集的含義，會(huì)求兩個(gè)集合的交集與并集．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2．能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系與運(yùn)算，體會(huì)圖示對(duì)理解抽象概念的作用．(難點(diǎn))1．借助Venn圖培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．2．通過并集與交集的運(yùn)算，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1．兩個(gè)集合的并集與交集的含義是什么？2．如何用Venn圖表示集合的并集與交集？3．并集與交集有哪些性質(zhì)？知識(shí)點(diǎn)1交集文字語言一般地，由既屬于集合A又屬于集合B的所有元素組成的集合，叫作集合A與B的交集，記作A∩B讀作“A交B”符號(hào)語言A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}圖形語言運(yùn)算性質(zhì)A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩?＝?∩A＝?，(A∩B)?A，(A∩B)?B，A?B?A∩B＝A(1)當(dāng)集合A，B無公共元素時(shí)，A與B有交集嗎？(2)若A∩B＝A，則A與B有什么關(guān)系？[提示](1)有，交集為空集．(2)若A∩B＝A，則A?B.1.已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{－1,0,3}，則A∩B＝________.[答案]{－1,0}2.若集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|x>2}；C＝{x|x≤－3}，則A∩B＝________，A∩C＝________.[答案]{x|2<x<4}?知識(shí)點(diǎn)2并集文字語言一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，叫作集合A與B的并集，記作A∪B讀作“A并B”符號(hào)語言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}圖形語言運(yùn)算性質(zhì)A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪?＝?∪A＝A，A?(A∪B)，B?(A∪B)，A?B?A∪B＝B(1)集合A∪B的元素個(gè)數(shù)是否等于集合A與集合B的元素個(gè)數(shù)和？(2)在什么條件下，集合A∪B的元素個(gè)數(shù)等于集合A與B的元素個(gè)數(shù)之和？[提示](1)不一定，A∪B的元素個(gè)數(shù)小于或等于集合A與集合B的元素個(gè)數(shù)和．(2)A∩B＝?.3.設(shè)集合M＝{4,5,6,8}，N＝{3,5,7,8}，則M∪N＝________.[答案]{3,4,5,6,7,8}4.已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x>0}，則A∪B＝________.[答案]{x|x>0}類型1交集運(yùn)算【例1】(1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x是等腰三角形))∩{x|x是等邊三角形}＝________.(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))－1≤x≤2))∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))0≤x≤4))＝()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))0≤x≤2)) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))1≤x≤2))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))0≤x≤4)) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))1≤x≤4))(3)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3n＋2，n∈Z))))，B＝{6,8,10,12,14}，則集合A∩B元素的個(gè)數(shù)為()A．5 B．4C．3 D．2(1){x|x是等邊三角形}(2)A(3)D[(1)因?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x是等邊三角形))?{x|x是等腰三角形}，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x是等腰三角形))∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x是等邊三角形))＝{x|x是等邊三角形}．(2)如圖，所以{x|－1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2)))).(3)因?yàn)?＝3×2＋2；14＝3×4＋2，所以A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(8，14)).]1．在進(jìn)行集合的交集運(yùn)算時(shí)，要根據(jù)交集的定義進(jìn)行運(yùn)算，盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化．一般地，集合元素離散時(shí)要用Venn圖表示；集合元素是連續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示，但要注意端點(diǎn)值的取舍．2．恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用交集的交換律與結(jié)合律，可簡化運(yùn)算過程．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(1)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，2))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，0，1，2))，則A∩B＝()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，2)) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0)) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，0，1，2))(2)設(shè)集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x<2))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<a))))，若A∩B≠?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．－1<a≤2 B．a(chǎn)>2C．a(chǎn)≥－1 D．a(chǎn)>－1(1)A(2)D[(1)由交集的定義可知，A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，2)).(2)在數(shù)軸上表示兩集合，由上圖可知，當(dāng)a>－1時(shí)，A∩B≠?.]類型2并集運(yùn)算【例2】(1)設(shè)集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＝0))))，B＝{x|x2－2x＝0}，則A∪B＝()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0)) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，2))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0)) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，2))(2)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))－3<x≤5))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－5，或x>5))))，則M∪N＝()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－5，或x>－3)))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))－5<x<5))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))－3<x<5)) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－3，或x>5))))(3)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，4，x))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，x2))，且A∪B＝{1,4，x2}，則滿足條件的實(shí)數(shù)x的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4(1)D(2)A(3)A[(1)因?yàn)锳＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，－2))，B＝{0,2}，所以A∪B＝{－2,0,2}．(2)如圖，在數(shù)軸上表示兩集合，所以M∪N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－5，或x>－3)))).(3)由A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，4，x2))，得x＝x2，又x≠1，所以x＝0.]在進(jìn)行集合的并集運(yùn)算時(shí)(1)若集合是用列舉法表示的，可以直接用并集的定義求解，但要注意集合元素的互異性．(2)若集合是連續(xù)的數(shù)集，可以借助數(shù)軸進(jìn)行運(yùn)算．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．(1)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，2))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x))<0))，則A∪B＝()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x))≤0，或x＝2)) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x))<0))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x))≤2)) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x))<2))(2)設(shè)集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤2))))，則A∪B＝________.[答案](1)A(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－1))))類型3由集合的并集、交集求參數(shù)【例3】已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，試求k的取值范圍．[解]①當(dāng)B＝?時(shí)，即k＋1>2k－1時(shí)，k<2，滿足A∪B＝A.②當(dāng)B≠?時(shí)，要使A∪B＝A，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<k＋1，,4≥2k－1，,k＋1≤2k－1，))解得2≤k≤eq\f(5,2).綜合①②可知k≤eq\f(5,2).1．(變條件)把本例條件“A∪B＝A”改為“A∩B＝A”，試求k的取值范圍．[解]由A∩B＝A可知A?B.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≥k＋1，,2k－1≥4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≤－4，,k≥\f(5,2)，))所以k∈?.所以k的取值范圍為?.2．(變條件)把本例條件“A∪B＝A”改為“A∪B＝{x|－3<x≤5}”，求k的值．[解]由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<k＋1≤4，,2k－1＝5，))解得k＝3.所以k的值為3.利用集合交集、并集的性質(zhì)解題的方法(1)在利用集合的交集、并集性質(zhì)解題時(shí)，常常會(huì)遇到A∩B＝A，A∪B＝B等這類問題，解答時(shí)常借助于交、并集的定義及上節(jié)學(xué)習(xí)的集合間的關(guān)系去分析，如A∩B＝A?A?B，A∪B＝B?A?B等，解答時(shí)應(yīng)靈活處理．(2)當(dāng)集合B?A時(shí)，如果集合A是一個(gè)確定的集合，而集合B不確定，運(yùn)算時(shí)一定要考慮B＝?的情況，切不可漏掉．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，則實(shí)數(shù)a4[因?yàn)镸∩N＝{3}，所以a2－3a解得a＝－1或a＝4.又N＝{－1，a,3}，所以a≠－1，所以a＝4.]1.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x是矩形))))∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x是菱形))))＝()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x是平行四邊形)))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x是矩形))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x是菱形)))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x是正方形))))[答案]D2．已知集合A＝{x|－3≤x<4}，B＝{x|－2≤x≤5}，則A∪B＝()A．{x|－3≤x≤5} B．{x|－2≤x<4}C．{x|－2≤x≤5} D．{x|－3≤x<4}A[因?yàn)榧螦＝{x|－3≤x<4}，集合B＝{x|－2≤x≤5}，所以A∪B＝{x|－3≤x≤5