江西省九江市2021屆高三高考三模數(shù)學(xué)（文）試題

2021年江西省九江市高考數(shù)學(xué)三模試卷（文科）一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）.1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x2≤2x}，則A∩（?RB）＝（）A．（﹣1，0]B．（﹣1，0）C．（﹣1，1）D．?2．若復(fù)數(shù)z滿足（1﹣2i）z＝2，則z的虛部為（）A．B．C．D．3．研究與試驗(yàn)發(fā)展（R&D）是科技活動(dòng)的核心指標(biāo)，是衡量一個(gè)國家和地區(qū)科技發(fā)展水平的主要指標(biāo)，同時(shí)也是反映企業(yè)自主創(chuàng)新能力的指標(biāo)．我國一直以來都在大力促進(jìn)科技創(chuàng)新，R&D經(jīng)費(fèi)支出增速保持世界領(lǐng)先如圖是我國近五年（2016﹣2020年）R&D經(jīng)費(fèi)支出統(tǒng)計(jì)圖，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．近五年，R&D經(jīng)費(fèi)支出與年份呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系B．近五年，R&D經(jīng)費(fèi)支出的中位數(shù)為19678C．2020年，R&D經(jīng)費(fèi)支出相對于2016年增長超過50%D．2020年，R&D經(jīng)費(fèi)支出增長速度最快4．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則z＝x+y的最大值為（）A．3B．1C．5D．﹣15．我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有7十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣晷（guǐ）長損益相同（暑是按照日影測定時(shí)刻的儀器，唇長即為所測量影子的長度）．二十四節(jié)氣及暑長變化如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣唇長的變化量相同，周而復(fù)始．若冬至暑長一丈三尺五寸，夏至暑長一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則夏至之后第三個(gè)節(jié)氣（立秋）暑長是（）A．三尺B．三尺五寸C．四尺D．四尺五寸6．已知橢圓C的焦點(diǎn)分別為F1、F2，|F1F2|＝2，若橢圓C上存在點(diǎn)M，使得∠F1MF2＝90°，則橢圓C短軸長的取值范圍是（）A．（0，1]B．C．[2，+∞）D．（0，2]7．函數(shù)，x∈[﹣2π，2π]的圖像可能是（）A．B．C．D．8．已知曲線C1：y＝sinx，曲線C2：的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．將曲線C1先向左平移個(gè)單位長度，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到曲線C2B．將曲線C1先向左平移個(gè)單位長度，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到曲線C2C．將曲線C1先向左平移個(gè)單位長度，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到曲線C2D．將曲線C1先向左平移個(gè)單位長度，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到曲線C29．已知點(diǎn)A，B是圓C：（x﹣2）2+y2＝4上的兩點(diǎn)，且，則＝（）A．6B．C．D．310．如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①DP長度為定值；②三棱錐P﹣AB1D1的體積為定值；③任意點(diǎn)P，都有DP⊥A1C；④存在點(diǎn)P，使得A1P⊥平面AB1D1．其中正確的是（）A．①③B．②④C．②③D．①④11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線的左焦點(diǎn)為F，AB分別為雙曲線C左右支上一點(diǎn)，直線AF的斜率為，若四邊形OFAB是平行四邊形，則雙曲線C的離心率為（）A．B．C．D．12．已知f（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，f'（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f（x）+1+x[f'（x）+1]＝ex，則f（x）在（0，+∞）上（）A．恒為正值B．恒為負(fù)值C．單調(diào)遞增D．單調(diào)遞減二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13．若函數(shù)，則f（3）＝．14．圣宋元寶，是中國古代錢幣之一，宋徽宗趙估建中靖國元年（公元101年）始鑄，是仁宗“皇宋通寶”之后又一種不以年號(hào)命名的非年號(hào)錢，種類主要有小平和折二兩種．小明同學(xué)珍藏有小平錢2枚，折二錢3枚，現(xiàn)隨機(jī)抽取2枚贈(zèng)好友，則贈(zèng)送的兩枚為不同種類的概率為．15．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則B＝．16．已知三棱錐P﹣ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，△ABC是邊長為2的等邊三角形，平面PAC⊥平面ABC，且PA⊥PC，PA＝PC，則球O的表面積為．三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17．根據(jù)國際疫情形勢以及傳染病防控的經(jīng)驗(yàn)，加快新冠病毒疫苗接種是當(dāng)前有力的防控手段．我國正在安全、有序加快推進(jìn)疫苗接種工作，某鄉(xiāng)村采取通知公告、微信推送、廣播播放、條幅宣傳等形式，積極開展疫苗接種社會(huì)宣傳工作，消除群眾疑慮，提高新冠疫苗接種率，讓群眾充分地認(rèn)識(shí)到了疫苗接種的重要作用．自宣傳開始后村干部統(tǒng)計(jì)了本村200名居民（未接種）5天內(nèi)每天新接種疫苗的情況，得如下統(tǒng)計(jì)表：第x天12345新接種人數(shù)y1015192328（Ⅰ）建立y關(guān)于x的線性回歸方程；（Ⅱ）預(yù)測該村80%居民接種新冠疫苗需要幾天？參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：＝，＝﹣．18．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2Sn＝an2+an（n∈N*）．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．19．如圖所示，在四棱錐M﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，BC∥AD，∠CDA＝90°，AD＝4，BC＝CD＝2，△MBD為等邊三角形．（Ⅰ）求證：BD⊥MC；（Ⅱ）若平面MBD⊥平面ABCD，求D到平面ABM的距離．20．已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）上一點(diǎn)（2，m）到焦點(diǎn)的距離為2．（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）A，B為C上關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn)，，過P作直線l交C于M，N兩點(diǎn)，求證：直線AM，AN斜率的乘積為定值．21．已知函數(shù)f（x）＝eaxlnx﹣x+1（a∈R）．（1）當(dāng)a＝0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，求a的取值范圍．請考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分：[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲C1的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝1，記曲線C1與C2公共弦所在直線為l．（Ⅰ）求直線l的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)過O點(diǎn)的直線l0與直線l交于點(diǎn)M，與曲線C1交于點(diǎn)N（異于原點(diǎn)O），求|OM|?|ON|的值．[選修4-5：不等式選講]23．已知函數(shù)的最大值為M．（Ⅰ）求M的值；（Ⅱ）若正實(shí)數(shù)a，b滿足2a+b＝M，求a2b的最大值．參考答案一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）.1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x2≤2x}，則A∩（?RB）＝（）A．（﹣1，0]B．（﹣1，0）C．（﹣1，1）D．?解：B＝{x|x2≤2x}＝{x|0≤x≤2}，則?RB＝{x|x＜0或x＞2}，又A＝{x|﹣1＜x＜1}，所以A∩（?RB）＝{x|﹣1＜x＜0}＝（﹣1，0）．故選：B．2．若復(fù)數(shù)z滿足（1﹣2i）z＝2，則z的虛部為（）A．B．C．D．解：∵（1﹣2i）z＝2，∴，∴z的虛部為．故選：C．3．研究與試驗(yàn)發(fā)展（R&D）是科技活動(dòng)的核心指標(biāo)，是衡量一個(gè)國家和地區(qū)科技發(fā)展水平的主要指標(biāo)，同時(shí)也是反映企業(yè)自主創(chuàng)新能力的指標(biāo)．我國一直以來都在大力促進(jìn)科技創(chuàng)新，R&D經(jīng)費(fèi)支出增速保持世界領(lǐng)先如圖是我國近五年（2016﹣2020年）R&D經(jīng)費(fèi)支出統(tǒng)計(jì)圖，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．近五年，R&D經(jīng)費(fèi)支出與年份呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系B．近五年，R&D經(jīng)費(fèi)支出的中位數(shù)為19678C．2020年，R&D經(jīng)費(fèi)支出相對于2016年增長超過50%D．2020年，R&D經(jīng)費(fèi)支出增長速度最快解：對于A，近五年，R&D經(jīng)費(fèi)支出與年份呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系，故A正確；對于B，五年，R&D經(jīng)費(fèi)支出的中位數(shù)為19678，故B正確；對于C，∵≈1.56，即2020年R&D經(jīng)費(fèi)支出相對于2016年增長超過50%，故C正確；對于D，2016年至2017年，R&D經(jīng)費(fèi)支出增長速度為≈1.123，2017年至2018年，R&D經(jīng)費(fèi)支出增長速度為≈1.118，2018年至2019年，R&D經(jīng)費(fèi)支出增長速度為≈1.125，2019年至2020年，R&D經(jīng)費(fèi)支出增長速度為≈1.103，故D錯(cuò)誤．故選：C．4．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則z＝x+y的最大值為（）A．3B．1C．5D．﹣1解：畫出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示：目標(biāo)函數(shù)z＝x+y，可化為y＝﹣x+z，平移目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)y＝﹣x+z過點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值，由，解得A（1，2），所以z的最大值為zmax＝1+2＝3．故選：A．5．我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有7十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣晷（guǐ）長損益相同（暑是按照日影測定時(shí)刻的儀器，唇長即為所測量影子的長度）．二十四節(jié)氣及暑長變化如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣唇長的變化量相同，周而復(fù)始．若冬至暑長一丈三尺五寸，夏至暑長一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則夏至之后第三個(gè)節(jié)氣（立秋）暑長是（）A．三尺B．三尺五寸C．四尺D．四尺五寸解：先取上半年進(jìn)行研究，設(shè)晷影長為等差數(shù)列{an}，公差為d，則a1＝135，a13＝15，∴d＝＝﹣10，∴夏至之后第三個(gè)節(jié)氣（立秋）暑長為：a16＝a13+3|d|＝15+30＝45，∴夏至之后第三個(gè)節(jié)氣（立秋）暑長為四尺五寸．故選：D．6．已知橢圓C的焦點(diǎn)分別為F1、F2，|F1F2|＝2，若橢圓C上存在點(diǎn)M，使得∠F1MF2＝90°，則橢圓C短軸長的取值范圍是（）A．（0，1]B．C．[2，+∞）D．（0，2]解：不妨設(shè)橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，則c＝1，a2＝b2+1，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2＝1，聯(lián)立，可得y2＝b4，所以，b4＝y(tǒng)2＝1﹣x2≤1，∵b＞0，可得0＜b≤1，因此，橢圓C短軸長的取值范圍是（0，2]．故選：D．7．函數(shù)，x∈[﹣2π，2π]的圖像可能是（）A．B．C．D．解：設(shè)g（x）＝ln（﹣x），則g（﹣x）+g（x）＝ln（+x）（﹣x）＝ln1＝0，即g（﹣x）＝﹣g（x），則g（x）是奇函數(shù)，則f（x）＝sinx?g（x）是偶函數(shù)，排除D，當(dāng)x＞0時(shí)，﹣x＝為減函數(shù)，則g（x）為減函數(shù)，則g（x）＜g（0）＝0，則當(dāng)0＜x＜π時(shí)，sinx＞0，則f（x）＜0，排除B，C，故選：A．8．已知曲線C1：y＝sinx，曲線C2：的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．將曲線C1先向左平移個(gè)單位長度，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到曲線C2B．將曲線C1先向左平移個(gè)單位長度，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到曲線C2C．將曲線C1先向左平移個(gè)單位長度，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到曲線C2D．將曲線C1先向左平移個(gè)單位長度，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到曲線C2解：根據(jù)曲線C2：的部分圖像可得，sinφ＝，∴φ＝．再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得ω×+＝π，求得ω＝2，故曲線C2的方程為y＝sin（2x+）．故將曲線曲線C1：y＝sinx的圖像先向左平移個(gè)單位長度，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到曲線C2，故選：B．9．已知點(diǎn)A，B是圓C：（x﹣2）2+y2＝4上的兩點(diǎn)，且，則＝（）A．6B．C．D．3解：由題知圓C半徑AC＝2，作CD⊥AB交AB于點(diǎn)D，則由圓的性質(zhì)可得|AD|＝|AB|＝，則在直角三角形ACD中，cos∠CAD＝＝，而?＝|AB|×|AC|×cos∠CAD＝2×2×＝6．故選：A．10．如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①DP長度為定值；②三棱錐P﹣AB1D1的體積為定值；③任意點(diǎn)P，都有DP⊥A1C；④存在點(diǎn)P，使得A1P⊥平面AB1D1．其中正確的是（）A．①③B．②④C．②③D．①④解：設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖則A（1，0，0）、B（1，1，0）、C（0，1，0）、D（0，0，0）、A1（1，0.1）、B1（1，1.1）、C1（0.1，1）、D1（0.0.1）設(shè)點(diǎn)P（t，1，1﹣t），其中0≤t≤1．對于①，|DF|＝不是定值，①錯(cuò)誤；對于②，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥C1D1且AB＝C1D1，所以，四邊形ABC1D1為平行四邊形，則BC1∥AD1又BC1?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，則BC1平面AB1D1，又P∈BC1，則點(diǎn)P到平面AB1D1的距離為定值，故三角形AB1D1的面積也為定值，所以，三棱錐P﹣AB1D1的體積為定值，②正確；對于③，，，所以，＝﹣t+1﹣1+t＝0，因此，對任意點(diǎn)P，都有DP⊥A1C，③正確；對于④，＝（t﹣1，1，﹣t），＝（0，1，1），＝（﹣1，0.1），所以，這樣的t不存在．所以不存在點(diǎn)P，使得A1P⊥平面B1D1，④錯(cuò)誤．故選：C．11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線的左焦點(diǎn)為F，AB分別為雙曲線C左右支上一點(diǎn)，直線AF的斜率為，若四邊形OFAB是平行四邊形，則雙曲線C的離心率為（）A．B．C．D．解：如圖，設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為F′，可得四邊形AFF′B是一個(gè)等腰梯形，且AB＝c，F(xiàn)F′＝2c，過A作AD⊥FF′，可得FD＝，∵直線AF的斜率為，∴tan∠AFF′＝，∴A（﹣，），∴AF′﹣AF＝﹣＝2a，∴，∴，故選：D．12．已知f（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，f'（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f（x）+1+x[f'（x）+1]＝ex，則f（x）在（0，+∞）上（）A．恒為正值B．恒為負(fù)值C．單調(diào)遞增D．單調(diào)遞減解：由f（x）+1+x[f'（x）+1]＝ex，得f（x）+xf'（x）＝ex﹣x﹣1，設(shè)g（x）＝xf（x），則g'（x）＝ex﹣x﹣1，設(shè)h（x）＝ex﹣x﹣1，h'（x）＝ex﹣1，當(dāng)x＞0時(shí)，h'（x）＞0，h（x）遞增，x＜0時(shí)，h'（x）＜0，h（x）遞減，所以h（x）min＝h（0）＝0，所以h（x）≥h（0）＝0，即g'（x）≥0恒成立，所以g（x）是R上的增函數(shù)，又g（0）＝0，所以x＞0時(shí)，g（x）＝xf（x）＞0，f（x）＞0，故選：A．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13．若函數(shù)，則f（3）＝2．解：由題意知，f（3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝21＝2，故答案為：2．14．圣宋元寶，是中國古代錢幣之一，宋徽宗趙估建中靖國元年（公元101年）始鑄，是仁宗“皇宋通寶”之后又一種不以年號(hào)命名的非年號(hào)錢，種類主要有小平和折二兩種．小明同學(xué)珍藏有小平錢2枚，折二錢3枚，現(xiàn)隨機(jī)抽取2枚贈(zèng)好友，則贈(zèng)送的兩枚為不同種類的概率為．解：小明同學(xué)珍藏有小平錢2枚，折二錢3枚，現(xiàn)隨機(jī)抽取2枚贈(zèng)好友，基本事件總數(shù)n＝＝10，贈(zèng)送的兩枚為不同種類型包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝＝6，則贈(zèng)送的兩枚為不同種類的概率為P＝＝＝．故答案為：．15．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則B＝．解：∵2bsin（C+）＝a+c，∴b（sinC+cosC）＝a+c，即bsinC+bcosC＝a+c，∴sinBsinC+sinBcosC＝sinA+sinC＝sin（B+C）+sinC＝sinBcosC+cosBsinC+sinC∴sinBsinC＝cosBsinC+sinC，∵sinC≠0，∴sinB＝cosB+1，兩邊平方得：3sin2B＝cos2B+1+2cosB，∴2cos2B+cosB﹣1＝0，解得cosB＝，或﹣1，∵0＜B＜π，∴B＝．故答案為：．16．已知三棱錐P﹣ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，△ABC是邊長為2的等邊三角形，平面PAC⊥平面ABC，且PA⊥PC，PA＝PC，則球O的表面積為．解：由已知可得，△PAC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，取AC的中點(diǎn)D，則D為△PAC的外心，設(shè)等邊三角形ABC的外心為O，則OD⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，∴OD⊥平面PAC，可知O為三棱錐P﹣ABC外接球的球心，則半徑R＝＝，∴球O的表面積S＝4πR2＝4π×＝．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17．根據(jù)國際疫情形勢以及傳染病防控的經(jīng)驗(yàn)，加快新冠病毒疫苗接種是當(dāng)前有力的防控手段．我國正在安全、有序加快推進(jìn)疫苗接種工作，某鄉(xiāng)村采取通知公告、微信推送、廣播播放、條幅宣傳等形式，積極開展疫苗接種社會(huì)宣傳工作，消除群眾疑慮，提高新冠疫苗接種率，讓群眾充分地認(rèn)識(shí)到了疫苗接種的重要作用．自宣傳開始后村干部統(tǒng)計(jì)了本村200名居民（未接種）5天內(nèi)每天新接種疫苗的情況，得如下統(tǒng)計(jì)表：第x天12345新接種人數(shù)y1015192328（Ⅰ）建立y關(guān)于x的線性回歸方程；（Ⅱ）預(yù)測該村80%居民接種新冠疫苗需要幾天？參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：＝，＝﹣．解：（Ⅰ），，＝，．∴y關(guān)于x的線性回歸方程為；（Ⅱ）200×80%＝160，設(shè)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則＝，∵S6＝127.2，S7＝163.8，∴預(yù)測該村80%居民接種新冠疫苗需要7天．18．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2Sn＝an2+an（n∈N*）．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．解：（1）由已知條件可知，對任意的n∈N*，an＞0，當(dāng)n＝1時(shí)，，解得a1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，由2Sn＝an2+an，可得2Sn﹣1＝an﹣12+an﹣1，上述兩式作差得，即，即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）＝0，由已知條件可知an+an﹣1＞0，∴an﹣an﹣1＝1，∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1，公差也為1，因此，an＝1+（n﹣1）×1＝n；（2）由（1）可知，則bn＝＝，因此，＝．19．如圖所示，在四棱錐M﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，BC∥AD，∠CDA＝90°，AD＝4，BC＝CD＝2，△MBD為等邊三角形．（Ⅰ）求證：BD⊥MC；（Ⅱ）若平面MBD⊥平面ABCD，求D到平面ABM的距離．【解答】（1）證明：取BD的中點(diǎn)O，連接MO，CO，因?yàn)锽C＝CD，所以BD⊥CO，又因?yàn)椤鱉BD為等邊三角形，所以BD⊥MO，又MO∩CO＝O，MO，CO?平面MCO，所以BD⊥平面MCO，又MC?平面MCO，所以BD⊥MC．（2）解：如圖所示，取MB的中點(diǎn)E，連接DE，因?yàn)榈酌鍭BCD為直角梯形，BC∥AD，∠CDA＝90°，AD＝4，BC＝CD＝2，所以BD＝2，AB＝2，所以AB2+BD2＝AD2，所以AB⊥BD，因?yàn)槠矫鍹BD⊥平面ABCD，平面MBD∩平面ABCD＝BD，所以AB⊥平面MBD，又DE?平面MBD，所以AB⊥DE，因?yàn)椤鱉BD為等邊三角形，E為MB的中點(diǎn)，所以DE⊥MB，又AB∩MB＝B，所以DE⊥平面ABM，所以DE＝BD?sin＝，所以點(diǎn)D到平面ABM的距離為．20．已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）上一點(diǎn)（2，m）到焦點(diǎn)的距離為2．（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）A，B為C上關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn)，，過P作直線l交C于M，N兩點(diǎn)，求證：直線AM，AN斜率的乘積為定值．解：（Ⅰ）因?yàn)椋?，m）在拋物線C：x2＝2py（p＞0）上，所以m＝因?yàn)辄c(diǎn)（2，m）到焦點(diǎn)的距離為2，所以+＝2，解得p＝2，所以拋物線C的方程為x2＝4y．（Ⅱ）證明：因?yàn)锳，B為拋物線C上關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn)，設(shè)A（x1，y1），B（﹣x1，y1），由＝（0，p）＝（0，2），所以P（﹣x1，y1+2），由題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y﹣（y1+2）＝k（x+x1），M（xM，yM），N（xN，yN），聯(lián)立，得x2﹣4kx﹣4kx1﹣4y1﹣8＝0，則xM+xN＝4k，xMxN＝﹣4kx1﹣4y1﹣8，所以yM+yN＝k（xM+x1）+y1+2+k（xN+x1）+y1+2＝k（xM+xN）+2kx1+2y1+4＝4k2+2kx1+2y1+4，yMyN＝?＝＝（kx1+y1+2）2＝k2x12+y12+4+2kx1y1+4kx1+4y1，所以kAM?kAN＝?＝＝＝＝＝﹣，所以直線AM，AN的斜率乘積為定值﹣．21．已知函數(shù)f（x）＝eaxlnx﹣x+1（a∈R）．（1）當(dāng)a＝0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，求a的取值范圍．解：（1）當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝lnx﹣x+1，得f′（x）＝﹣1，（x＞0），當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＝﹣1＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為[1，+∞）．（2）由（1）知當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），則f（x）＜f（1）＝0符合題意；當(dāng)a＞0時(shí)，x∈（0，1），則eax＞1，lnx＜0，所以eaxlnx＜lnx，由（1）知f（x）＝lnx﹣x+1＜f（1）＝0，所以eaxlnx＜lnx＜x﹣1，故f（x）＜lnx﹣x+1＜0成立，則a＞0成立；當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＝eax（alnx+）﹣1，x∈（0，1），令g（x）＝alnx+，則g′（x）＝＜0，所以