道積分題解答僅僅是在知乎湊熱鬧的學(xué)生擾

秋分乀：72道積分題略詳解析（01-20）秋分乀：72道積分題略詳解析（21-30）秋分乀：72道積分題略詳解析（31-50）秋分乀：72道積分題略詳解析（51-72）這篇文章是筆者在做這72道積分題的一些筆記和總結(jié)。這個(gè)已得到原解析里面每題會(huì)給出一至多種解法，用a),b),…標(biāo)示出，某些只是第一類和第二類換元法的區(qū)別，但是在這些特殊情況下，二者由于思或許會(huì)有很大記）（另外，編輯的時(shí)候我偷懶了…） 5x+

1∫ 1=5ln|u|+=1ln|5x+3|+ 5 原式= d(5x+ 5x+1=5ln|5x+3|+ 去了，后是如此?！襡2x+3 原式= eu2=1eu+2=1e2x+3+ 2∫xex2解：設(shè)u=x2,則du=2x 原式= eu2=1eu+2=1ex2+ 2=2u=f(x) x1?x2u1x2du?2x1∫2

u12=?2·3u2+1 = 1?x2+ 3注：設(shè)u1x2duxx。在上∫

1 u=1du=?1 ∫

sinu·注：替換之后約掉

=cosu+1=cosx+ √∫e3·√√xu=√xdu=12∫=

e3u=2e3u+ =2e3·x+ 3√注：替換，然后去掉分母的x∫

{A+B=

{A=x(x6+1)=x+x6+1 A=

B=

原式

∫( x5x?x6+ ∫

x6+=ln|x|?1lnIx6+1I+ 6

∫

x5dxx6(x6+1)1 = 1

x6+=1lnIx6I?1lnIx6+1I+ =ln|x|?1lnIx6+1I+ 6 B

(a+

x+abxn(A,Bdx合成，使得同次化。實(shí)際上兩種方法同源，但后者中易忘記化簡。個(gè)人更傾向于前法?！襝os2x

6=121

sin2x+ 2∫√sin 5+cosu=5cosxdu=sinx 原式= √u√=?2u+√ =?25+cosx+ 注：替換即可，sinxdx=cosxdx在后面會(huì)經(jīng)常用且很方便，但在此還∫

tan4x∫

tan2

2secx?12 tan2xsec2xdx

tan2x

2secx?12=1tan3x?tanx+x+ 3注：很)(1+tan2x)=sec2x來展開tan4xtan2xsec2x1還是sec2x?12sec2xdx=d(tanx)，很∫cos2x+sin2x1以及變化形式的1tan2x=sec2x、cot2x1=csc2xse是可以化成d(tanx)的，剩下的東西能不能化為f(tanx)的形式？如在∫∫

tan2n+1xdx這樣的積分有遞推。 tan5xdx

tan3xtan2x2∫ 2 sec∫

tan3x∫ tan3xsec2xdx∫

tan3x∫

=1tan4x4

tan3x ∫∫

1+ex

tan2n+1xdx=1tan2nx

tan2n?1x 奇奇怪怪的解∫原式 x1+ex∫ exd(ln|1+∫=exln|1+ex|∫=exln|1+ex|

ln|1+ln|1+ex|d(1+=exln|1+ex|?(1+ex)ln|1+ex|+(1+ex)+=ex?ln|1+ex|+ ∫=

1+ex·ed (x)1+ed∫ 1 1+

=ex?ln|1+ex|+ u1exexu1duex∫∫=

uu?u∫ 1?1

=u?ln|u|+=1+ex?ln|1+ex|+=ex?ln|1+ex|+ d(ex)=d(1+ex)d[f(x)]=d[f(x)+C]、c·d[f(x)]=d[c·f(x)]這樣的操作。這會(huì)在題62會(huì)有體現(xiàn)。次項(xiàng)，分子含有其一次項(xiàng)。想到exdx=d(ex)恰可消掉分子一次，這樣∫1+

∫

1+ex?ex1+ ∫ 1dx

1+ex=x?ln|1+ex|+

ex(1+ex) ex(1+

1+=ln|ex|?ln|1+ex|+=x?ln|1+ex|+ ∫1?

∫1+∫

1exdx、1exdx 1±exdx則很容易求解。這 xl2u=1lnxdu=1x∫

1=?u+=?1+ ln∫

x(1+2lnu=12lnxdu=2x∫u1=2ln|u|+=1ln|1+2lnx|+ 2∫

a2cos2x+b2si21a21

cos2x+b2si2sec2x =

1+

(同除以cos a2tan1=u=tanx

d(tan1+b2an1∫1

1a b2 1a= ∫=

secbb21+an2∫2v= ∫=1 1=abv+C =1 bu+ ( =1 btanx+ 注：這就是題10說的sec2xdx=d(tanx)。注意到這一點(diǎn)，這一題便迎刃∫ a2cos2x?b2si2∫

x2+a21∫c a∫2=1 1 u+a=1arctanx

+

(x 1+1 =

(x2a2(x1+=aarctana+ ∫

∫

( = a+1

a?=2a(ln|a+x|?ln|a?x|)+=1lnIa+xI+ a?

tanhx

x2?x代換。但是如前面所言，這樣不得不考慮定義域的問題。因?yàn)閏othx?∞?1)(1+∞)tanhx∈?11)，所以不得不分兩段換元?！?/p>

√dxa2?x2(a)xasinudxacosu∫ =u+=arcsinx+ a∫

√a(xaa1a (x √da(1?x =arcsina+

∫sin3x∫∫=∫

sin2xd(cos(1?cos2x)d(cos∫ cos2xd(cosx) d(cos=1cos3x?cosx+ 3 都為同一類型的題。但題倒有些不同

在本題中，拿出一個(gè)sinx與dx結(jié)合成?d(cosx)然后用三角恒等式將∫sin5x∫∫=

sin4xd(cos(1?cos2x)2d(cos∫ ?cos4x+2cos2x?1d(cos=?1cos5x+2cos3x?cosx+

sinxdxf(cosx)∫cos3x

–d(cosx)∫∫=

cos2xd(sin(1?sin2x)d(sin

=?1sin3x+sinx+ 3cosxdxd(sinx)cos2x1?sin2x∫sin4x∫(1?cos2x 2x21∫ 1?2cos2x+cos22x4∫ 2= 1?2cos2x+1(1+cos4x)24 =1x?sin2x+1x+1sin + =8x?4sin2x+32sin4x+

∫sin2xcos5x∫ sin2xcos4xd(sin sin2x1?sin2 ∫ sin2x?2sin4x+sin6xd(sin=1sin3x?2sin5x+1sin7x+ ∫∫

sin2n+1xcos2mxdx

dxd(sinx)d(cosx)。剩下的皆為偶次。接下來∫secx

∫∫=

secx+tansecx secx+tansec2x+secxtanxdx secx+tanx(sec2xsecxtanxdx=d(secxtan∫

secx+tan

d(secx+tan=ln|secx+tanx|+

∫∫

1 cosxdxcos2x d(sin= ( 1?sin 1+sin =1ln11+sinx1+ 1?sin

d(sin

∫

2另外，這個(gè)積分很重要，和cscxdx一起甚至是可以放入基本積分∫

sec3xtan5x

∫∫=

sec2xtan4x·secxtanxdxsec2x(sec2x?1)2d(secx)=∫(sec6x?2sec4x+sec2x)d(sec=1sec7x?2sec5x+1sec3x+ ∫sin5x

cos8x∫

21?cos= ∫ ?cos?8x+2cos?6x?cos?4d(cos

=1sec7x?2sec5x+1sec3x+ secxtanxdxd(secxf(tanx化為g(secx)即可。∫這是tan2n+1xsecmxdxtanxsecx。tan2n+1x和secmx各提出一個(gè)，與dx結(jié)合成d(secx)。剩secm?1x無影響，tan2nx1+tan2x=sec2xsecxtanx為奇次?！襱an5xsec4x

∫∫=

tan4xsec3x·secxtanx(sec2x?1)2sec3xd(sec

∫ sec7x?2sec5x+sec3xd(sec=1sec8x?1sec6x+1sec4x+ ∫

tan5xsec2x·sec2x∫ tan5

(1+tan2

d(tanx=∫(tan5x+tan7x)d(tanx=1tan6x+1tan8x+ ∫sin5x

sin4=?∫cos9xd(cos(1?cos2∫= cos9∫(

) ?cos?9x+2cos?7x?cos?5xd(cos

=1sec8x?1sec6x+1sec4x+ tanx為奇冪次，此題亦可用上面的方法求解。它們分sec2xdxd(tanx)sec2x恰為偶冪次∫可以化為tanx的形式。此為tanmxsec2nxdxsecx為偶數(shù)冪次，tanx。sec2nxsec2xdx結(jié)合為d(tanx)sec2n?2x也∫ln(tanx)dxsinxcosxu=tanxdu=sec2x ∫

lnusec2x sin cosxdxd tan∫ln uvlnudv=1u∫ v

=1v+2=1l2u+2=12nx)+ 2=d[ln(tan∫ ln(tanx)d[ln(tan=12nx)+ 2 此直換內(nèi)層函數(shù)。此題替換u=tanx即可，替換之后剩下的就很∫∫

f(x)g(xdxg(xdx

d[f(x)],有則化為f(xd[f(x)]的形式。如：此題，還有題31、32∫cos3xcos2x

∫原式= (cosx+cos5x)∫2=1sinx+

sin5x+ cos3x(1)(a)cosd↓

3x(2)(b)12

?9cos3x(3)(c)?1cos4∫1)(b(2)(c

(3)(c)=1cos3xsin2x

3sin3xcos2x+

cos3xcos2xdx 5 ∴ cos3xcos2xdx=cos3xsin2x?sin3xcos2x+ ∫ cos3xcos2xdx=?

cos3xsin2x

3sin3xcos2x+C ∫在此試求

cosmx(1)(a)cos msinmx(2)(b)1sin dx 2cos?

1cosnx

cosmxcosnxdx=+(1)(b)?(2)(c)

(3)(c) m2)

=ncosmxsinnx?n2sinmxcosnxm2∫+ 1 1?

nm ∫

n2?

–n2?m2sinmxcosnx+ ∫cosmxcosnxdx

∫(cos[(m?n)x]+cos[(m+n)x])11=m?nsin[(m?1+m+nsin[(m+n)x]+ ∫

sin 1+sin

∫ 1+sinx 1 1+sin1=x∫

1+sinx=x∫=x∫=x

sinx1?sin 1 1?sin 1 secx?secxtanx=x?tanx+secx+ 53注：此題與題、 都可以先乘以1?sinx、531?cos 1±sinx1±cos 1?sin ，再利用si2x+s2x=1轉(zhuǎn)化為1?cos∫

2

∫

∫2sinxcos2

(sin2x=2sinxcos= cscxsec2x2∫√ =2u=tan

cot2x+1d(tan ∫ =21

1+1∫√∫u2+ u√ v

u2+1，則dv=√ du且v=u2+u2+1∫v√u2+原式= u = 2v2 = 1 v2?∫ =1v+ v? v+=1v+1lnIv?1I+ Iv+1II 1√1

I√u2+1?1 u+1 ln +C Iu2+1+1 =1secx+1lnIsecx?1I+ secx+∫

=?1 d(cos (1?cos2x)cos2u=cos

1 原式=? (1?∫ =? 12 1 1?=1

1 1?=1?1ln11+u1+ 11?u =1secx?1ln11+cosx1+ 11?cosxf(sinx)g(cosx)∫

√ x2+

x∫

x√rctanx(x+√設(shè)u x，則du

√2x

u2∫=

u2+1

注意到： =d(arctanu),所以u2+∫

=ranu+=a2√)+ x( =

√2x(x2+

darctan

√

xdarctan=arctan2(√x)+ 注：此為奇怪復(fù)合函數(shù)類型。如題27以一眼看出微分的話也可以像方法二一樣做。實(shí)際上這兩種方法是一樣的?！?/p>

1+ln 2+(x+lnu=xlnxdu=(lnx1∫ 2+

u

2tanvdu

2sec2v√ 2sec2 2sec2v√=√2v+ =√2arctan√2+arctan= arctan=√+ ∫

2x?x2?3x+1u23x1du2x3)∫原式= =ln|u|+=ln|2?3x+1|+ ∫

x+x2?3x+1∫2x?3+ x2?3x+11 2x?

5 = x2?3x+1dx+ x2?3x+1 5 ln|x2?3x+1| ∫

(x?2

)2

(√)2)5) =2ln|x?3x+1|+ x?

x+5?3 √ 3x+1+ 1x?5+31+ ln|x √

2 1x+5+32∫

1?lnx(x?ln

∫1?lnx xx(

·)

1?ln

)2 注意到1?lnxdx=

1?ln 原式

)d1?lnx1?lnx x1=?1?lnx+x=?lnx?

+

∫√ a2?x2xasinudxacosudusinu

√ x,cosu 1?a2√a2?a

∫

a2 (1+cos2u)2 =2u

sin2u+4=a2u+a2sinucosu+ 1√ =2arcsina+xa?2

+ (∫

x2?∫∫=

asinhu∫

=u+=cosh?1x+ a

x2+∫∫=

acoshu=u+=sinh?1x+ a∫

√x+3√ u3+u2 =6∫u+1 = u2?u+1 u+=2u3?3u2+6u?6ln|u+1|+3616 及后面的題44、58.naxb、naxb都是直接去根號即可（ =40.

(1+x=tanudx=sec2u∫sec2∫=

cos2u=1u+1sinucosu+ 又：sinu=tanu,cosu sec sec原式=1arctanx+1 + 2x2+ 的形式。故可用x=tanux2+

3x+√x2+2x?5

x dx2 x2+2x? 2x+

dx? = √x2+2x?

x2+2x? =3x2+2x?5? x1

√6coshudx

(x+1)2?√

原式=3x2+2x?5? (x+1 = x+2x?5?2 √ 6

+

∫

3x+ (x+1)2?( x1=6coshudx=6sinhu∫∫

√3x+

·√6coshu (3x+1) (36coshu?2)√=36sinhu?2u+

√ cosh2u?1

(x+ ?√

(x+1)2?1?

(x+1 + ) +=3x2+2x?5?2 6

+ ax+x2+∫

√x2x2? 設(shè)x ，則dx=

?

√ 1?=v1u2dv?2u

√1?

1∫√ v+=√ u2+√x2?=xxcoshudxsinhu

+ ∫∫=

sinhu cosh2u·sinhusech2uanhx2?1= + xxsecudx=secutanu∫∫=

sec2utanucosu=sinu+√x2?= + x

也是如此。但是注意√有xxx21xsecu∫

x6(1+x2)x=1dx=?1u

?1 1=

1+u6uu2+∫= u4?u2+1

u2+ 15+1u3?u+arctanu+=?5 =?5x5+3x3?x+arctanx+ √∫

1?

x

1x21∫√ 1+x√u1xxu1)2dx2(u1∫原式 2u(u?1)()∫() = u2?u24 4=5u2?3u2+4 √) 4 √) 15

x2 13

x2+ 設(shè)u 1+x，則x=(u2?1)2,dx=2(u2?1)·2u∫

u2u2?1=4u5?4u3+ 4 √) 4

√)=51

x2 13

x2+

∫

↓1(2)(b)sin 0(3)(c)?cos

=xsinx+cosx+

∫x2cosx

(a)cos 2x(2)(b)sindx 2(3)(c)?cosx0(4)(d)?sin

1)(b(2)(c=x2sinx+2xcosx?2sinx+

∫xex x(1) 94)=xex?ex+

∫x2ex

∫ ∫ (b)exdx

1)(b(2)(c=x2ex?2xex+2ex+ 2

2∫=∫2

x2(1+cosx)∫= x2dx+ x2cosx =1x3+1x2sinx+xcosx?sinx+

∫xtan2x

x(1)(a)tan2 d↓1(2)(b)tanx?

(c)

|

x|?2 =xtanx?x?ln|secx|+2+=xtanx?ln|secx|?+ 2∫

∫2xdx

sec2x?1)dx=tanx? (tanx?x)dx

tanxdx

xdx=ln|secx|2

注：不標(biāo)準(zhǔn)的列表積分題。如果用分部積分的話會(huì)∫難受…（不要問我為 f(x)g(x)dx的形式，f(xg(x能夠比較簡單的積√

√ √ 單純含有根號的：x2+a2

x2a2、a2利用恒等式cos2u+iu=1、coshu sin2u=來選擇合適的“弦”。其中“1”就是常數(shù)“a”，看怎么變換a被換成了那一個(gè)“弦”。后面兩個(gè)都是這樣。1 x2+選擇“切”：tanu、cotu、tanhu、coth（還有兩個(gè)不寫了1x2?

、a2?

含且不止含根號（且在分母）： 、√ √

xx2+

x

–xa2?∫

xlnx

∫lnx

(x22∫=2lnx

2x=2lnx 2=2lnxu=lnxx=eudx=eu∫

x2+4

ue2u 1u(1)12 (b)2↓ (c)14

=1ue2u?1e2u+ =2(lnx)·

+ 4xlnx誰求導(dǎo)誰積分換了一下而已。但是方lnx(1) d ?x2 (c)

∫∫

(3)(c)x6 6=2lnx?6 =2lnx?

+

∫lnx∫ =xlnx?x+ ∫

1+cos

∫

1?cos∫

1+cosx·1?cosx sin2x csc2xdx cscxcotx=?cotx+cscx+ (b)u

1+

1?1+∫∫=

1?1?1+=u+=tanx+ 2 以u= x=1u2。實(shí)際

1+ +u2當(dāng)僅僅 的時(shí)候，乘以“1”最佳。當(dāng)含有系±sin

1±cos∫ ∫

1+sin

1?sin∫

1+sinx·1?sinx∫ sec2xdx secxtanx=tanx?secx+ (b)設(shè)u=tan，則dx= 1+ 2

1+

1+u21+1+u∫= (1+2=?u+1+ 2tanx+2

+ ∫

x4+√(a)u=x44du=4x3dxx4u4x2=u∫

u·4x31∫ =

u?

v

√ u?4u=v24du=2v∫

v(v2+4)∫

= v v2+v1 arctan+ =1arctanx2+

∫原式= u=x2du=2x=

x4+∫u u2+u1 arctan+ =1arctanx2+

u

ux44∫

x2+(x+1)3∫∫=

(u?1)2+ u2?2u+

)u?3∫ u?1?2u?2+3u?3=ln|u|+2u?1?3u?2+2 2(x+=ln|x+1|+x+12(x+

2+ 當(dāng)然，還可以像這樣打開：x2+2

,(x+

x+ (x+ (x+∫

x√1?x2x √u·?2x∫1 = ∫2

·(1?u)(√= (1?u)2√

v

uu=v2du=2v∫=

(1?v2)2∫ v4?2v2+115+2v3?v+=?51

=?

1?

2 1?3

2 1?x2+ xsinudx=cosu∫ sin5u∫ = 1?cos2 ∫ ?cos4u+2cos2u?cosud(cos=?1cos5u+2cos3u?cosu+ 1 2 =?

1?

2 1?3

2 1?x2+ 1?x2的形式，所以也可以三角代換。其x5不礙事。∫

√x+1?√x+1+1 u=x1xu21dx2u∫=

u?1uu+∫ = 1?u+

u –=2 udu u+1=u2?

∫ 1 u+=u2?4u+4ln|u+1|+ =x+1?4x+1+4lnIx+1+1I+

u=x1∫x(1?2x)99u=1?2x，則du=?2∫ (1?u)u994∫ =?4

u99?u100

=1u101?1u100+ =1(1?2x)101?1(1?2x)100+ u12x即可。但注意到此為積的函數(shù)形式，而x可求導(dǎo)到零，也可以采用列表積分法?！襲=lnxdu

1dx∫

uln

v=lnudv=1u∫

1v=ln|v|+=ln|lnu|+=ln|ln(lnx)|+ 1∫

∫ ln(ln=ln|ln(lnx)|+ 1dAd(lnA∫

x4+2

∫x3?

x4+ =1x4

1lnIx4+2I+ ux42du4x3∫ =

∫u·4x31(u?2) =4u?2ln|u|+=1x4?1lnIx4+2I+

(x xx x4+)∫) ( 1 x4+

d=1x4?1lnIx4+2I+

∫(arcsinx)2

∫=x(arcsinx)2∫=x(arcsinx)2u=arcsinxx=sin∫

xd[(arcsinxarcsinxd(arcsin 原式=x(arcsinx)2? sinu·u=x(arcsinx)2+2ucosu?2sinu+√=x(arcsinx)2+21?x2·arcsinx?2x+ (b)x=sin∫∫=

θ2d(sinθ2cosθ

θ2(1)(a)cos∫d↓

(c)?cos0(4)(d)?sin1)(b(2)(c=θ2sinθ+2θcosθ?2sinθ+√ =x(arcsinx)2+21?x2·arcsinx?2x+

f(arcsinx)f(arccosx)之類，如(arccosx)2dx∫sec3x

∫

u=tan

∫√ 1+tan2xd(tan ∫√ 原式 1+u2 ∫=

cosh2v1[1+cosh(2v)]2∫

=v+1sinhvcoshv+ =1sinh?1(tanx)+1tanxsecx+ ∫sec3xdx

∫=secxtanx∫=secxtanx

tanxd(sec=secxtanx

∫ sec2x?

secx∫=secxtanx

secx ∫sec3xdx=secxtanx+ln|secx+tanx|+ ∫sec3xdx

1secxtanx

1ln|secx+tanx|+

∫2+sin解：設(shè)u=tanx，則dx u2+ ∫

22uu22 u2+u+ (√ u+

√√√ 設(shè)u+

2tanvdu2√

sec2v2

3sec2 dv3sec24 2 2 v+2 [2 1√= u√ + =23

+ ∫

x8?2(a)ux82du8x7

∫ u·8x71 = uu+v

√ u2u=v2?2du=2v1

v(v2? –– 1 v?= ln √+16 1v 1x4

= ln √+ ( d原式= (x4)2?√∫ 1√

d x4 √ x4 1x4?= ln √+

∫arctanx∫=xarctanx∫=xarctanx

x2+1=xarctanx?1ln1x2+11+ 2注：如題62所言，反三角函數(shù)之類的，分部積分即可。同樣