構(gòu)造直角三角形解題

構(gòu)造直角三角形解題在解決一些線段或角的數(shù)量關(guān)系問題時(shí)，根據(jù)已知圖形的特征，可考慮構(gòu)造直角三角形，以運(yùn)用直角三角形的邊角關(guān)系求解．1．等腰三角形問題例1如圖1，D為等腰△ABC的底邊BC的延長線上的任意一點(diǎn)．求證AD2－AC2＝DB·DC．證明作AE⊥BC于E，∵AB＝AC，∴BE＝EC．根據(jù)勾股定理，有AD2－AC2＝（AE2＋ED2）－（AE2＋EC）2＝ED2－EC2＝（ED＋EC）（ED－EC）＝DB·CD．2．面積問題例2如圖2，已知△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，△ABC的面積為．解作CD⊥AB于D，∵∠B＝60°，∵∠A＝180°－60°－75°＝45°，解得a＝2，故選C，3．直角問題例3如圖3，在四邊形ABCD中，AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90°，求∠DAB的度數(shù)．解連結(jié)AC，設(shè)AD＝a，則AB＝BC＝2A，CD＝3a．∵∠B＝90°，且AB＝BC，又∵AC2＋AD2＝8a2＋a2＝9a2＝CD2，∴△CAD為直角三角形．且∠CAD＝90°，∴∠BAD＝90°＋45°＝135°．例4如圖4，在四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°．解延長AB和DC相交于E，延長AD和BC相交于F，易知AE＝2AD，AF＝2AB，4．三角函數(shù)問題例5如圖5，AD是△ABC的中線，∠BAD＝a，∠CAD＝β，∠ADC＝γ．證明分別從B、C向AD或AD延長線作垂線，垂足為E、F．在Rt△BED和Rt△CFD中，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，∴△BED≌△CFD，∴AE－AF＝2ED＝2BEctgγ①而AE＝BEctgα，AF＝CFctgβ＝BEctgβ，把它們都代入①，化簡即得，5．勾股定理的逆定理問題例6如圖6，已知P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，且2BP2＋AP2＝PC2．求證∠APB＝135°．分析條件似乎很不夠，可考慮用旋轉(zhuǎn)，把△PBC繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△P＇BA，則PB＝P＇B，∠P＇BP＝90°，∠P＇PB＝45°，且2BP2＋AP2＝P＇B2＋BP2＋AP2＝P＇P2＋AP2＝PC2＝P＇A2．∴∠APP＇＝90°，∠APB＝90°＋45°＝135°．6．直徑問題例7如圖7，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC是⊙O的直徑，∠DAB＝60°，CD＝2，BC＝11．求AC的長．解∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝∠B＝90°．延長BC、AD交于E，則△DCE為直角三角形．∵∠B＝90°，∠DAB＝60°，∴∠E＝90°－60°＝30°，在Rt△CDE中．∵∠E＝30°，∴EC＝2CD＝4，∴BE＝BC＋EC＝11＋4＝15，例8如圖8，正方形ABCD的中心為O，面積為1989cm2，P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且∠OPB＝45°，PA∶PB＝5∶14．求BP的長．（1989全國初中數(shù)競(jìng)）解連結(jié)OA、OB，易知A、B、O、P四點(diǎn)共圓，且∠APB＝