名師高中數(shù)學(xué)解題思想和解題辦法

千里之行，始于足下。第2頁/共2頁精品文檔推薦名師高中數(shù)學(xué)解題思想和解題辦法前言(2)

第一章高中數(shù)學(xué)解題基本辦法(3)

一、配辦法(3)

二、換元法(7)

三、待定系數(shù)法(14)

四、定義法(19)

五、數(shù)學(xué)歸納法(23)

六、參數(shù)法(28)

七、反證法(32)

八、消去法………

九、分析與綜合法………………

十、特別與普通法………………

十一、類比與歸納法…………

十二、觀看與實(shí)驗(yàn)法…………

第二章高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想(35)

一、數(shù)形結(jié)合思想(35)

二、分類討論思想(41)

三、函數(shù)與方程思想(47)

四、轉(zhuǎn)化（化歸）思想(54)

第三章高考熱點(diǎn)咨詢題和解題策略(59)

一、應(yīng)用咨詢題(59)

二、探究性咨詢題(65)

三、挑選題解答策略(71)

四、填空題解答策略(77)

附錄………

一、高考數(shù)學(xué)試卷分析…………

二、兩套高考模擬試卷…………

三、參考答案……

美國聞名數(shù)學(xué)教育家波利亞講過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。而當(dāng)我們解題時(shí)遇到一具新咨詢題，

總想用熟悉的題型去“套”，這不過滿腳于解出來，惟獨(dú)對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)辦法明白透徹及融會(huì)貫穿時(shí)，才干提出新看法、巧解法。高考試題十分重視關(guān)于數(shù)學(xué)思想辦法的考查，特殊是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想辦法。我們要故意識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想辦法去分析咨詢題解決咨詢題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使自個(gè)兒具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光。

高考試題要緊從以下幾個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)思想辦法舉行考查：

①常用數(shù)學(xué)辦法：配辦法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法等；

②數(shù)學(xué)邏輯辦法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；

③數(shù)學(xué)思維辦法：觀看與分析、概括與抽象、分析與綜合、特別與普通、類比、歸

納和演繹等；

④常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）

思想等。

數(shù)學(xué)思想辦法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)內(nèi)容，能夠用文字和

符號(hào)來記錄和描述，隨著時(shí)刻的推移，經(jīng)歷力的減退，未來也許不記得。而數(shù)學(xué)思想辦法則是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，只可以領(lǐng)略和運(yùn)用，屬于思維的范疇，用以對(duì)數(shù)學(xué)咨詢題的認(rèn)識(shí)、處理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想辦法，別是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識(shí)不記得了，數(shù)學(xué)思想辦法也依然對(duì)你起作用。

數(shù)學(xué)思想辦法中，數(shù)學(xué)基本辦法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為，具有模式化與可操作性的特征，能夠選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本辦法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的并且獲得。

能夠講，“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“辦法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心算是提高學(xué)生對(duì)

數(shù)學(xué)思想辦法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的綜合體現(xiàn)算是“能力”。

為了幫助學(xué)生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想辦法，本書先是介紹高考中常用的數(shù)學(xué)基本辦法：配辦法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與綜合法、特別與普通法、類比與歸納法、觀看與實(shí)驗(yàn)法，再介紹高考中常用的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想。最終談?wù)劷忸}中的有關(guān)策略和高考中的幾個(gè)熱點(diǎn)咨詢題，并在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。

在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對(duì)辦法或者咨詢題舉行綜合性的敘述，再以三種題組的形式浮現(xiàn)。再現(xiàn)性題組是一組簡單的挑選填空題舉行辦法的再現(xiàn)，示范性題組舉行詳細(xì)的解答

和分析，對(duì)辦法和咨詢題舉行示范。鞏固性題組旨在檢查學(xué)習(xí)的效果，起到鞏固的作用。每個(gè)題組中習(xí)題的選取，又盡可能綜合到代數(shù)、三角、幾何幾個(gè)部分重要章節(jié)的數(shù)學(xué)知識(shí)。

第一章高中數(shù)學(xué)解題基本辦法

一、配辦法

配辦法是對(duì)數(shù)學(xué)式子舉行一種定向變形（配成“徹底平方”）的技巧，經(jīng)過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測，同時(shí)合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時(shí)也將其稱為“湊配法”。

最常見的配方是舉行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子浮現(xiàn)徹底平方。它要緊適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次別等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項(xiàng)的二次曲線的平移變換等咨詢題。

配辦法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)徹底平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，將那個(gè)公式靈便運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如：

a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；

a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b

2

)2＋（

3

2

b）2；

a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝1

2

[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]

a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：

1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；

x2＋1

2

x

＝(x＋

1

x

)2－2＝(x－

1

x

)2＋2；……等等。

Ⅰ、再現(xiàn)性題組：

1.在正項(xiàng)等比數(shù)列{a

n}中，a

1

a

5

+2a

3

a

5

+a

3

a

7

=25，則a

3

＋a

5

＝

_______。

2.方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圓的充要條件是_____。

A.141

C.k∈R

D.k＝14或k＝1

3.已知sin4α＋cos4α＝1，則sinα＋cosα的值為______。

A.1

B.－1

C.1或－1

D.0

4.函數(shù)y＝log12

(－2x2＋5x＋3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____。

A.（－∞,54]

B.[54,+∞)

C.(－12,54]

D.[54,3)

5.已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的兩根x1、x2，則點(diǎn)P(x1,x2)在圓x2+y2=4上，則實(shí)數(shù)a＝_____。

【簡解】1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)amp-amp+＝am2，將已知等式左邊后配方（a3＋a5）2易求。答案是：5。

2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解r2>0即可，選B。3小題：已知等式經(jīng)配方成(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再開方求解。選C。

4小題：配方后得到對(duì)稱軸，結(jié)合定義域和對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。5小題：答案3－11。

Ⅱ、示范性題組：

例1.已知長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24，則那個(gè)長方體的一條對(duì)角線長為_____。A.23B.14C.5D.6

【分析】先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)長方體長寬高分不為x,y,z，則211424()()xyyzxzxyz++=++=???,而欲求對(duì)角線長xyz222++，

將其配湊成兩已知式的組合形式可得。

【解】設(shè)長方體長寬高分不為x,y,z，由已知“長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24”而得：211424()()xyyzxzxyz++=++=???

。長方體所求對(duì)角線長為：xyz222++＝()()xyzxyyzxz++-++22＝6112-＝5

因此選B。

【注】本題解答關(guān)鍵是在于將兩個(gè)已知和一具未知轉(zhuǎn)換為三個(gè)數(shù)學(xué)表示式，觀看和分析三個(gè)數(shù)學(xué)式，容易發(fā)覺使用配辦法將三個(gè)數(shù)學(xué)式舉行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配辦法的一種解題模式。

例2.設(shè)方程x2＋kx＋2=0的兩實(shí)根為p、q，若(p

q

)2+(

q

p

)2≤7成立，求實(shí)數(shù)k

的取值范圍。

【解】方程x2＋kx＋2=0的兩實(shí)根為p、q，由韋達(dá)定理得：p＋q＝－k，pq＝2,

(p

q

)2+(

q

p

)2＝

pq

pq

44

2

+

()

＝

()

()

pqpq

pq

22222

2

2

+-

＝

[()]

()

pqpqpq

pq

+--

2222

2

22

＝()

k22

48

4

--

≤7，解得k≤－10或k≥10。

又∵p、q為方程x2＋kx＋2=0的兩實(shí)根，∴△＝k2－8≥0即k≥22或k≤－

22

綜合起來，k的取值范圍是：－10≤k≤－22或者22≤k≤10。

【注】對(duì)于實(shí)系數(shù)一元二次方程咨詢題，總是先思考根的判不式“Δ”；已知方程有兩根時(shí)，能夠恰當(dāng)運(yùn)用韋達(dá)定理。本題由韋達(dá)定理得到p＋q、pq后，觀看已知?jiǎng)e等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成p＋q與pq的組合式。如果本題別對(duì)“△”討論，結(jié)果將出錯(cuò)，即使有點(diǎn)題目也許結(jié)果相同，去掉對(duì)“△”的討論，但解答是別嚴(yán)密、別完整的，這一點(diǎn)我們要尤為注意和重視。

例3.設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿腳a2＋ab＋b2=0，求(

a

ab

+

)1998＋(

b

ab

+

)1998。

【分析】對(duì)已知式能夠聯(lián)想：變形為(a

b

)2＋(

a

b

)＋1＝0，則

a

b

＝ω（ω為1的

立方虛根）；或配方為(a＋b)2＝ab。則代入所求式即得。

【解】由a2＋ab＋b2=0變形得：(a

b

)2＋(

a

b

)＋1＝0，

設(shè)ω＝a

b

，則ω2＋ω＋1＝0，可知ω為1的立方虛根，因此：

1

ω＝

b

a

，ω3＝ω3

＝1。

又由a2＋ab＋b2=0變形得：(a＋b)2＝ab，

因此(aab+)1998＋(bab

+)1998＝(aab2)999＋(bab2)999＝(ab)999＋(ba)999＝ω999＋ω999＝2。

【注】本題經(jīng)過配方，簡化了所求的表達(dá)式；巧用1的立方虛根，活用ω的性質(zhì)，計(jì)算表達(dá)式中的高次冪。一系列的變換過程，有較大的靈便性，要求我們善于聯(lián)想和展開。

【另解】由a2＋ab＋b2＝0變形得：(ab)2＋(ab)＋1＝0，解出ba＝-±132i后，化成三角形式，代入所求表達(dá)式的變形式(

ab)999＋(ba)999后，完成后面的運(yùn)算。此辦法用于不過未-±132

i聯(lián)想到ω時(shí)舉行解題。如果本題沒有想到以上一系列變換過程時(shí)，還可由a2＋ab＋b2

＝0解出：a＝-±132

ib，直截了當(dāng)代入所求表達(dá)式，舉行分式化簡后，化成復(fù)數(shù)的三角形式，利用棣莫佛定理完成最終的計(jì)算。

Ⅲ、鞏固性題組：

1.函數(shù)y＝(x－a)2＋(x－b)2

（a、b為常數(shù)）的最小值為_____。A.8B.()ab-22C.ab222+D.最小值別存在2.α、β是方程x2－2ax＋a＋6＝0的兩實(shí)根，則(α-1)2+(β-1)2

的最小值是_____。

A.－494

B.8

C.18

D.別存在

3.已知x、y∈R+，且滿腳x＋3y－1＝0，則函數(shù)t＝2x＋8y有_____。

A.最大值22

B.最大值22

C.最小值22B.最小值224.橢圓x2－2ax＋3y2＋a2

－6＝0的一具焦點(diǎn)在直線x＋y＋4＝0上，則a＝_____。

A.2

B.－6

C.－2或－6

D.2或6

5.化簡：218

-sin＋228

+cos的結(jié)果是_____。

A.2sin4

B.2sin4－4cos4

C.－2sin4

D.4cos4－2sin4

6.設(shè)F

1和F

2

為雙曲線x2

4

－y2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿腳∠F

1

PF

2

＝

90°，則△F

1PF

2

的面積是_________。

7.若x>－1，則f(x)＝x2＋2x＋1

1

x+

的最小值為___________。

8.已知π

2〈β0；

②是否存在一具實(shí)數(shù)t，使當(dāng)t∈(m+t,n-t)時(shí)，f(x)1，t>1，m∈R，x＝log

st＋log

t

s，y＝log

s

4t＋log

t

4s＋m(log

s

2t＋

log

t

2s),

①將y表示為x的函數(shù)y＝f(x)，并求出f(x)的定義域；

②若對(duì)于x的方程f(x)＝0有且僅有一具實(shí)根，求m的取值范圍。

二、換元法

解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一具整體，用一具變量去代替它，從而使咨詢題得到簡化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將咨詢題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型咨詢題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜咨詢題簡單化，變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變量代換法。經(jīng)過引進(jìn)新的變量，能夠把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來。或者變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡化。

它能夠化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、別等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等咨詢題中有廣泛的應(yīng)用。

換元的辦法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次浮現(xiàn)，而用一具字母來代替它從而簡化咨詢題，固然有時(shí)候要經(jīng)過變形才干發(fā)覺。例如解別等式：4x＋2x－2≥0，先變形為設(shè)2x＝t（t>0），

而變?yōu)槭煜さ囊辉蝿e等式求解和指數(shù)方程的咨詢題。

三角換元，應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，要緊利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系舉行換元。如求函數(shù)y＝x＋1-x的值域時(shí)，易發(fā)覺x∈[0,1]，

設(shè)x＝sin2α，α∈[0,π

2

]，咨詢題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為啥會(huì)想到這樣設(shè)，

其中要緊應(yīng)該是發(fā)覺值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量x、y適合條件x2＋y2＝r2（r>0）時(shí)，則可作三角代換x＝rcosθ、y＝rsinθ化為三角咨詢題。

均值換元，如遇到x＋y＝S形式時(shí)，設(shè)x＝S

2

＋t，y＝

S

2

－t等等。

我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，別能縮小也別能擴(kuò)大。

如上幾例中的t>0和α∈[0,π

2

]。

Ⅰ、再現(xiàn)性題組：

1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.設(shè)f(x2＋1)＝log

a

(4－x4)（a>1），則f(x)的值域是_______________。

3.已知數(shù)列{a

n}中，a

1

＝－1，a

n+1

·a

n

＝a

n+1

－a

n

，則數(shù)列通項(xiàng)a

n

＝___________。

4.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿腳x2＋2xy－1＝0，則x＋y的取值范圍是___________。

5.方程13

13

+

+

-x

x

＝3的解是_______________。

6.別等式log

2(2x－1)·log

2

(2x+1－2)〈2的解集是_______________。

【簡解】1小題：設(shè)sinx+cosx＝t∈[－2,2]，則y＝t2

2

＋t－

1

2

，對(duì)稱軸t＝

－1，當(dāng)t＝2，y

max＝

1

2

＋2；

2小題：設(shè)x2＋1＝t(t≥1)，則f(t)＝log

a

[-(t-1)2＋4]，因此值域?yàn)?－

∞,log

a

4]；

3小題：已知變形為1

1an+－1an＝－1,設(shè)bn＝1an

，則b1＝－1,bn＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，因此an＝－1n

；4小題：設(shè)x＋y＝k，則x2－2kx＋1＝0,△＝4k2－4≥0,因此k≥1或k≤－1；5小題：設(shè)3x＝y(tǒng)，則3y2＋2y－1＝0,解得y＝13

，因此x＝－1；6小題：設(shè)log2(2x－1)＝y(tǒng)，則y(y＋1)<2，解得－2<y<1，所以x∈(log254

,log23)。Ⅱ、示范性題組：例1.實(shí)數(shù)x、y滿腳4x2－5xy＋4y2＝5（①式），設(shè)S＝x2＋y2，求1

Smax＋

1

Smin的值。（全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）

【分析】由S＝x2＋y2聯(lián)想到cos2α＋sin2

α＝1,于是舉行三角換元，設(shè)xSyS==?????cossinαα

代入①式求Smax和Smin的值?！窘狻吭O(shè)xSyS==????

?cossinαα代入①式得：4S－5S·sinαcosα＝5解得S＝10852-sinα

；∵-1≤sin2α≤1∴3≤8－5sin2α≤13∴1013≤1085-sinα≤103

∴1

Smax＋1Smin＝310＋1310＝1610＝85

此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2α＝

810SS-的有界性而求，即解別等式：|810SS

-|≤1。這種辦法是求函數(shù)值域時(shí)經(jīng)常用到的“有界法”。

【另解】由S＝x2＋y2，設(shè)x2＝S

2

＋t，y2＝

S

2

－t，t∈[－

S

2

，

S

2

]，

則xy＝±S

t

2

2

4

－代入①式得：4S±5