高中數(shù)學(xué)課件第二章3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性

理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義呈現(xiàn)目標(biāo)復(fù)習(xí)檢測(cè)增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮.如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有

，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有

，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)1.單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是

自左向右看圖象是上升的逐漸逐漸下降的[思考探究]如圖所示函數(shù)f(x)的圖象，則函數(shù)f(x)

的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，0]∪(0，＋∞)嗎？提示：不是，其單調(diào)增區(qū)間為(－∞，0]和(0，＋∞)2.單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是

或

，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，

叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間.增函數(shù)減函數(shù)區(qū)間D3.最值的定義1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,2)上為增函數(shù)的是(

)A.y＝－x＋1

B.y＝C.y＝x2－4x＋5D.y＝解析：∵函數(shù)y＝的單調(diào)增區(qū)間為[0，＋∞)，∴函數(shù)y＝在(0,2)上為增函數(shù).B自學(xué)檢測(cè)2.函數(shù)y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，則(

)A.k＞B.k＜C.k＞－D.k＜－解析：∵函數(shù)y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，∴2k＋1＜0，∴k＜－.D3.若函數(shù)y＝ax與y＝－在(0，＋∞)上都是減函數(shù)，則y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是(

)

A.增函數(shù)B.減函數(shù)

C.先增后減D.先減后增解析：∵函數(shù)y＝ax與y＝－在(0，＋∞)上都是減函數(shù)，∴a＜0，b＜0，∴函數(shù)y＝ax2＋bx的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝－＜0，∴函數(shù)y＝ax2＋bx在(0，＋∞)是減函數(shù).B4.如果函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，對(duì)于任意的x1、x2∈[a，b](x1≠x2)，下列結(jié)論中正確的有①＞0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0；③f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b)；④＞0.①②④解析：∵f(x)在[a，b]上為增函數(shù).∴x1－x2與f(x1)－f(x2)的符號(hào)相同.∴①②④均正確.又∵不知道x1，x2的大小，∴無(wú)法比較f(x1)與f(x2)的大小，故③錯(cuò)誤.5.已知函數(shù)f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在區(qū)間(－∞，3)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是

.解析：①當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上為減函數(shù)；②當(dāng)a>0時(shí)，要使f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在區(qū)間(－∞，3)上是減函數(shù)，則對(duì)稱(chēng)軸x＝必在x＝3的右邊，即≥3，故0<a≤；③當(dāng)a<0時(shí)，不可能在區(qū)間(－∞，3)上恒為減函數(shù).綜合知：a的取值范圍是[0，].[0，]知識(shí)為例尋找工具1.用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟(1)取值：即設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x1＜x2.(2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并通過(guò)通分、配方、因式分解等方法，向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形.(3)定號(hào)：根據(jù)給定的區(qū)間和x2－x1的符號(hào)，確定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符號(hào).當(dāng)符號(hào)不確定時(shí)，可以進(jìn)行分

類(lèi)討論.(4)判斷：根據(jù)定義得出結(jié)論.2.(1)若f(x)與g(x)在定義域內(nèi)均是增函數(shù)(減函數(shù))，那么f(x)＋g(x)在其公共定義域內(nèi)是增函數(shù)(減函數(shù)).(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷，要注意掌握“同則增，異則減”.

討論函數(shù)f(x)＝(a＞0)的單調(diào)性.[思路點(diǎn)撥][課堂筆記](méi)∵f(x）＝，∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠1}.法一：(定義法)任取x1，x2∈R，且x1，x2均不為1，x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝(a＋)－(a＋)＝＝.①設(shè)x1＜x2＜1，x1－1＜0，x2－1＜0，x2－x1＞0，a＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2).②設(shè)1＜x1＜x2，x2－1＞0，x1－1＞0，x2－x1＞0，a＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2).∴函數(shù)f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均為減函數(shù).法二：(導(dǎo)數(shù)法)∵f′(x)＝，又∵a＞0，∴f′(x)＜0在(－∞，1)∪(1，＋∞)上恒成立，即函數(shù)f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均為減函數(shù).法三：(圖象法)由f(x)＝a＋可知其圖象對(duì)稱(chēng)中心是(1，a)，x＝1，y＝a是它的兩條漸近線(xiàn)，故其圖象如圖所示，∴f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均為減函數(shù).1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性.(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義.(3)圖象法：如果f(x)是以圖象給出的，或者f(x)的圖象易作出可直接由圖象的直觀性寫(xiě)出它的單調(diào)區(qū)間.(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)函數(shù)取值的正負(fù)確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2.求復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定定義域.(2)將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)：y＝f(u)，u＝g(x).(3)分別確定這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(4)若這兩個(gè)函數(shù)同增或同減，則y＝f[g(x)]為增函數(shù)；若一增一減，則y＝f[g(x)]為減函數(shù)，即“同增異減”.

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)f(x)＝x2－4|x|＋3；(2)f(x)＝.[思路點(diǎn)撥][課堂筆記](méi)

(1)f(x)＝x2－4|x|＋3＝于是可得函數(shù)f(x)＝x2－4|x|＋3的圖象，如圖所示.由圖可知，函數(shù)的增區(qū)間為[－2,0)，(2，＋∞)，減區(qū)間為(－∞，－2)，[0,2).(2)∵y＝，∴該函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，－1]∪[1，＋∞).又∵y＝可看作是由y＝與u＝x2－1兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的，且y＝在u∈[0，＋∞)上為增函數(shù)，而u＝x2－1在(－∞，－1]上為減函數(shù)且u≥0，在[1，＋∞)上為增函數(shù)且u≥0.∴當(dāng)x∈(－∞，－1]時(shí)，y＝為減函數(shù)，當(dāng)x∈[1，＋∞)時(shí)，y＝為增函數(shù).對(duì)于抽象函數(shù)的單調(diào)性的判斷仍然要緊扣單調(diào)性的定義，結(jié)合題目中所給性質(zhì)和相應(yīng)的條件，對(duì)任意x1，x2在所給區(qū)間內(nèi)比較f(x1)－f(x2)與0的大小，或與1的大小.有時(shí)根據(jù)需要，需作適當(dāng)?shù)淖冃危喝鐇1＝x2·或x1＝x2＋x1－x2等.已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜0，f(1)＝－.(1)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值.[思路點(diǎn)撥][課堂筆記](méi)

(1)法一：∵函數(shù)f(x)對(duì)于任意x，y∈R總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x).在R上任取x1＞x2，則x1－x2＞0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2).又∵x＞0時(shí)，f(x)＜0，而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).因此f(x)在R上是減函數(shù).法二：設(shè)x1＞x2，則f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2).又∵x＞0時(shí)，f(x)＜0.而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上為減函數(shù).(2)∵f(x)在R上是減函數(shù)，∴f(x)在[－3,3]上也是減函數(shù)，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分別為f(－3)與f(3).而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值為2，最小值為－2.高考對(duì)函數(shù)單調(diào)性的考查方式靈活，既有函數(shù)單調(diào)性的判定、單調(diào)區(qū)間的求法，又有利用函數(shù)單調(diào)性解不等式、比較大小、求最值等.而抽象函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題脫離了特殊的函數(shù)模型的實(shí)際背景，感悟驗(yàn)證拓展提高由一個(gè)抽象的代數(shù)公式詮釋一個(gè)具有深遠(yuǎn)意義的函數(shù)性質(zhì)，從近幾年高考看，抽象函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性相結(jié)合求參數(shù)的取值范圍或求自變量x的取值范圍成為高考命題的一個(gè)新考向.

[考題印證](2009·遼寧高考)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)單調(diào)增加，則滿(mǎn)足f(2x－1)<f()的x取值范圍是(

)A.(，)

B.[，)C.(，)D.[，)【解析】

f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，又f(x)在[0，＋∞)上遞增，∴f(2x－1)<f()?|2x－1|<?<x<.

A

[自主體驗(yàn)]函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，且對(duì)任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，若f(4)＝5，則不等式f(3m2－m－2)＜3的解集為(-1,)解析：∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3，∴原不等式可化為f(3m2－m－2)<f(2)，∵f(x)是R上的增函數(shù)，∴3m2－m－2<2，解得－1<m<，故解集為(－1，).達(dá)標(biāo)總結(jié)1.(2010·大連模擬)下列函數(shù)在(0,1)上是減函數(shù)的是(

)A.y＝log0.5(1－x)B.y＝x0.5C.y＝0.51－xD.y＝(1－x2)D解析：y＝log0.5(1－x)在(0,1)上為增函數(shù)；y＝x0.5在(0,1)上是增函數(shù)；y＝0.51－x在(0,1)上為增函數(shù)；函數(shù)y＝(1－x2)在(－∞，0)上為增函數(shù)，在(0，＋∞)上為減函數(shù)，∴函數(shù)y＝(1－x2)在(0,1)上是減函數(shù).2.已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿(mǎn)足f()＞f(1)的實(shí)數(shù)x的取值范圍是(

)A.(－∞，1)B.(1，＋∞)C.(－∞，0)∪(0,1)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：依題意得＜1，即＞0，所以x的取值范圍是x＞1或x＜0.D3.(2010·德州模擬)已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，那么a的取值范圍是(

)A.(1，＋∞)B.(－∞，3)C.[,3)D.(1,3)解析：(1)由于x≥1時(shí)，f(x)＝logax單調(diào)遞增，故a＞1；(2)x＜1時(shí)，f(x)＝(3－a)x－4a單調(diào)遞增，故3－a＞0，a＜3；要同時(shí)滿(mǎn)足(1)(2)兩個(gè)條件，則1＜a＜3，此時(shí)(3－a)x－4a＜0(x＜1)，又logax≥0(x≥1)，滿(mǎn)足題意.D4.y＝的遞減區(qū)間是

，y＝

的遞減區(qū)間是

.解析：y＝＝＝－1＋,∴y＝的遞減區(qū)間是(－1，＋∞)和(－∞，－1).要使函數(shù)y＝

有意義，則