2018高考數(shù)學(xué)(理)(人教)大一輪復(fù)習(xí)講義第九章平面解析幾何94

2018高考數(shù)學(xué)(理)(人教)大一輪復(fù)習(xí)講義第九章平面解析幾何94第一頁，共73頁?！?.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系第二頁，共73頁?；A(chǔ)知識

自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引第三頁，共73頁?；A(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)第四頁，共73頁。1.判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系．

?相交；

?相切；

?相離．知識梳理d>rd＝rd<r相交相切相離第五頁，共73頁。2.圓與圓的位置關(guān)系方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況外離

外切

相交

d>r1＋r2無解一組實(shí)數(shù)解兩組不同的實(shí)數(shù)解d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2第六頁，共73頁。內(nèi)切

內(nèi)含

一組實(shí)數(shù)解無解0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)d＝|r1－r2|(r1≠r2)第七頁，共73頁。1.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.知識拓展第八頁，共73頁。2.圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含：0條；②內(nèi)切：1條；③相交：2條；④外切：3條；⑤外離：4條.(2)當(dāng)兩圓相交時，兩圓方程(x2，y2項(xiàng)系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程.第九頁，共73頁。判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切.(

)(2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.(

)(3)從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程.(

)思考辨析×××第十頁，共73頁。(4)過圓O：x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程是x0x＋y0y＝r2.(

)(5)過圓O：x2＋y2＝r2外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則O，P，A，B四點(diǎn)共圓且直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(

)√√第十一頁，共73頁。

1.(教材改編)圓(x－1)2＋(y＋2)2＝6與直線2x＋y－5＝0的位置關(guān)系是A.相切 B.相交但直線不過圓心C.相交過圓心

D.相離考點(diǎn)自測答案解析所以直線與圓相交但不過圓心.由題意知圓心(1，－2)到直線2x＋y－5＝0的距離第十二頁，共73頁。

2.(2016·全國甲卷)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a等于答案解析由圓的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圓心坐標(biāo)為(1,4)，第十三頁，共73頁。

3.(2016·西安模擬)若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.[－3，－1] B.[－1,3]C.[－3,1] D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案解析解得－3≤a≤1.幾何畫板展示第十四頁，共73頁。

4.(2016·黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)檢測)已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點(diǎn)，P為x軸上的動點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為答案解析圓C1關(guān)于x軸對稱的圓C1′的圓心為C1′(2，－3)，半徑不變，圓C2的圓心為(3,4)，半徑r＝3，|PM|＋|PN|的最小值為圓C1′和圓C2的圓心距減去兩圓的半徑，幾何畫板展示第十五頁，共73頁。5.已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4與圓C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，則ab的最大值為________.答案解析由兩圓外切可得圓心(a，－2)，(－b，－2)之間的距離等于兩圓半徑之和，即(a＋b)2＝(2＋1)2，即9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，所以ab≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號，即ab的最大值是

.第十六頁，共73頁。題型分類深度剖析第十七頁，共73頁。

題型一直線與圓的位置關(guān)系的判斷例1

(1)已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是A.相切

B.相交C.相離

D.不確定答案解析第十八頁，共73頁。

(2)(2016·江西吉安月考)圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置關(guān)系為A.相離

B.相切C.相交

D.以上都有可能答案解析直線2tx－y－2－2t＝0恒過點(diǎn)(1，－2)，∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，∴點(diǎn)(1，－2)在圓x2＋y2－2x＋4y＝0內(nèi).直線2tx－y－2－2t＝0與圓x2＋y2－2x＋4y＝0相交，故選C.第十九頁，共73頁。思維升華判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系.(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷.(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題.第二十頁，共73頁。由題意可知過A，B兩點(diǎn)的直線方程為(a＋b)x－y－ab＝0，化簡后得d＝1，故直線與圓相切.相切答案解析第二十一頁，共73頁。

題型二圓與圓的位置關(guān)系例2

(1)(2016·山東)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是A.內(nèi)切

B.相交

C.外切

D.相離答案解析第二十二頁，共73頁?！邎AM：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴圓心坐標(biāo)為M(0，a)，半徑r1為a，∴M(0,2)，r1＝2.又圓N的圓心坐標(biāo)N(1,1)，半徑r2＝1，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴兩圓相交，故選B.第二十三頁，共73頁。(2)(2017·重慶調(diào)研)如果圓C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0與圓O：x2＋y2＝4總相交，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________________.答案解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－a)2＝4，圓心坐標(biāo)為(a，a)，半徑為2.第二十四頁，共73頁。思維升華判斷圓與圓的位置關(guān)系時，一般用幾何法，其步驟是(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長；(2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；(3)比較d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，寫出結(jié)論.第二十五頁，共73頁。跟蹤訓(xùn)練2已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值時兩圓外切；(2)m取何值時兩圓內(nèi)切；(3)求m＝45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.解答第二十六頁，共73頁。兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，(3)兩圓的公共弦所在直線方程為(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，(1)當(dāng)兩圓外切時，第二十七頁，共73頁。即4x＋3y－23＝0，所以公共弦長為第二十八頁，共73頁。題型三直線與圓的綜合問題命題點(diǎn)1求弦長問題例3

(2016·全國丙卷)已知直線l：mx＋y＋3m－

＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別做l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則|CD|＝________.答案解析4第二十九頁，共73頁。設(shè)AB的中點(diǎn)為M，

第三十頁，共73頁。命題點(diǎn)2直線與圓相交求參數(shù)范圍例4

(2015·課標(biāo)全國Ⅰ)已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn).(1)求k的取值范圍；解答由題設(shè)，可知直線l的方程為y＝kx＋1，第三十一頁，共73頁。解答第三十二頁，共73頁。設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2).將y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1所以l的方程為y＝x＋1.故圓心C在l上，所以|MN|＝2.第三十三頁，共73頁。命題點(diǎn)3直線與圓相切的問題例5已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求滿足下列條件的圓的切線方程.(1)與直線l1：x＋y－4＝0平行；解答設(shè)切線方程為x＋y＋b＝0，第三十四頁，共73頁。(2)與直線l2：x－2y＋4＝0垂直；解答設(shè)切線方程為2x＋y＋m＝0，第三十五頁，共73頁。(3)過切點(diǎn)A(4，－1).解答∴過切點(diǎn)A(4，－1)的切線斜率為－3，∴過切點(diǎn)A(4，－1)的切線方程為y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.第三十六頁，共73頁。思維升華直線與圓綜合問題的常見類型及解題策略(1)處理直線與圓的弦長問題時多用幾何法，即弦長的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形.(2)圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問題.第三十七頁，共73頁。

跟蹤訓(xùn)練3

(1)(2015·課標(biāo)全國Ⅱ)過三點(diǎn)A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圓交y軸于M、N兩點(diǎn)，則|MN|等于答案解析故過三點(diǎn)A、B、C的圓以AC為直徑，得其方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0，得(y＋2)2＝24，第三十八頁，共73頁。

答案解析第三十九頁，共73頁。依題意得，圓心到直線的距離等于半徑，第四十頁，共73頁。

高考中與圓交匯問題的求解高頻小考點(diǎn)7與圓有關(guān)的最值問題及直線與圓相結(jié)合的題目是近年來高考高頻小考點(diǎn).與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點(diǎn)到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面.解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化；直線與圓的綜合問題主要包括弦長問題，切線問題及組成圖形面積問題，解決方法主要依據(jù)圓的幾何性質(zhì).考點(diǎn)分析第四十一頁，共73頁。

典例1

(1)(2015·湖南)已知點(diǎn)A，B，C在圓x2＋y2＝1上運(yùn)動，且AB⊥BC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0)，則

的最大值為A.6 B.7 C.8 D.9答案解析一、與圓有關(guān)的最值問題第四十二頁，共73頁?！逜，B，C在圓x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC為圓的直徑，設(shè)B(x，y)，則x2＋y2＝1且x∈[－1,1]，第四十三頁，共73頁。

答案解析第四十四頁，共73頁。第四十五頁，共73頁。二、直線與圓的綜合問題典例2

(1)(2015·重慶)已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸，過點(diǎn)A(－4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|等于

答案解析第四十六頁，共73頁。由于直線x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸，∴圓心C(2,1)在直線x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1).∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.∴|AB|＝6.第四十七頁，共73頁。(2)在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線2x＋y－4＝0相切，則圓C面積的最小值為

答案解析第四十八頁，共73頁。∵∠AOB＝90°，∴點(diǎn)O在圓C上.設(shè)直線2x＋y－4＝0與圓C相切于點(diǎn)D，則點(diǎn)C與點(diǎn)O間的距離等于它到直線2x＋y－4＝0的距離，∴點(diǎn)C在以O(shè)為焦點(diǎn)，以直線2x＋y－4＝0為準(zhǔn)線的拋物線上，∴當(dāng)且僅當(dāng)O，C，D共線時，圓的直徑最小為|OD|.第四十九頁，共73頁。課時作業(yè)第五十頁，共73頁。1.(2017·廣州調(diào)研)若點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(4,0)到直線l的距離依次為1和2，則這樣的直線有A.1條

B.2條

C.3條

D.4條√12345678910111213答案解析如圖，分別以A，B為圓心，1,2為半徑作圓.依題意得，直線l是圓A的切線，A到l的距離為1，直線l也是圓B的切線，B到l的距離為2，所以直線l是兩圓的公切線，共3條(2條外公切線，1條內(nèi)公切線).第五十一頁，共73頁。123456789101112132.若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m等于A.21B.19C.9D.－11√答案解析圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圓C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.解得m＝9.第五十二頁，共73頁。3.(2016·南昌二模)若圓C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)與圓C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)內(nèi)切，則ab的最大值為√答案解析12345678910111213第五十三頁，共73頁。12345678910111213圓C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R).化為(x－a)2＋y2＝9，圓心坐標(biāo)為(a,0)，半徑為3.圓C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)，化為x2＋(y＋b)2＝1，圓心坐標(biāo)為(0，－b)，半徑為1，∵圓C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)與圓C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)內(nèi)切，∴ab的最大值為2.第五十四頁，共73頁。123456789101112134.(2016·泰安模擬)過點(diǎn)P(3,1)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為A.2x＋y－3＝0 B.2x－y－3＝0C.4x－y－3＝0 D.4x＋y－3＝0√答案解析如圖所示：由題意知：AB⊥PC，kPC＝

，∴kAB＝－2，∴直線AB的方程為y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.第五十五頁，共73頁。5.若直線l：y＝kx＋1(k<0)與圓C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，則直線l與圓D：(x－2)2＋y2＝3的位置關(guān)系是A.相交 B.相切C.相離

D.不確定√答案解析12345678910111213第五十六頁，共73頁。12345678910111213第五十七頁，共73頁。6.已知A(－2,0)，B(0,2)，實(shí)數(shù)k是常數(shù)，M，N是圓x2＋y2＋kx＝0上兩個不同點(diǎn)，P是圓x2＋y2＋kx＝0上的動點(diǎn)，如果M，N關(guān)于直線x－y－1＝0對稱，那么△PAB面積的最大值是√答案解析12345678910111213第五十八頁，共73頁。依題意得圓x2＋y2＋kx＝0的圓心(－

，0)位于直線x－y－1＝0上，12345678910111213于是有－

－1＝0，即k＝－2，因此圓心坐標(biāo)是(1,0)，半徑是1.第五十九頁，共73頁。123456789101112137.(2016·全國乙卷)設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則圓C的面積為_____.答案解析4π圓C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圓心為C(0，a)，解得a2＝2，所以圓的面積為π(a2＋2)＝4π.第六十頁，共73頁。123456789101112138.(2016·天津四校聯(lián)考)過點(diǎn)(1，)的直線l將圓(x－2)2＋y2＝4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k＝_____.答案解析當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時，圓心(2,0)與點(diǎn)(1，

)的連線垂直于直線l.第六十一頁，共73頁。12345678910111213答案解析由題意，圓心為O(0,0)，半徑為1.如圖所示，∴△POA為直角三角形，其中|OA|＝1，|AP|＝

，則|OP|＝2，∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.第六十二頁，共73頁。1234567891011121310.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2＋y2－8x＋15＝0，若直線y＝kx－2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是________.答案解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋y2＝1，圓心為(4,0).由題意知(4,0)到kx－y－2＝0的距離應(yīng)不大于2，第六十三頁，共73頁。11.已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)P在圓C外，過P作圓C的切線，設(shè)切點(diǎn)為M.(1)若點(diǎn)P運(yùn)動到(1,3)處，求此時切線l的方程；(2)求滿足條件|PM|＝|PO|的點(diǎn)P的軌跡方程.解答12345678910111213第六十四頁，共73頁。把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圓心為C(－1,2)，半徑r＝2.(1)當(dāng)l的斜率不存在時，此