幾何學(xué)的新天地

幾何學(xué)的新天地第一頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日1.歐式幾何的家丑平行公設(shè)是歐式幾何的家丑。——達(dá)朗貝爾“過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且僅有一條平行線(xiàn)?！边@是我們?cè)诔踔芯蛯W(xué)過(guò)的公理。別小看它，它曾經(jīng)花費(fèi)了數(shù)學(xué)家們2000多年的時(shí)間來(lái)研究它，甚至于還有個(gè)幾何學(xué)的“家丑”的名聲。第二頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日歐幾里得的《幾何原本》提出了五條公設(shè)，長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)和前四個(gè)公設(shè)比較起來(lái)，顯得文字?jǐn)⑹鋈唛L(zhǎng)，而且也不那么顯而易見(jiàn)。有些數(shù)學(xué)家還注意到歐幾里得在《幾何原本》一書(shū)中直到第二十九個(gè)命題中才用到，而且以后再也沒(méi)有使用。也就是說(shuō)，在《幾何原本》中可以不依靠第五公設(shè)而推出前二十八個(gè)命題。第三頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

因此，一些數(shù)學(xué)家提出，第五公設(shè)能不能不作為公設(shè)，而作為定理？能不能依靠前四個(gè)公設(shè)來(lái)證明第五公設(shè)？這就是幾何發(fā)展史上最著名的，爭(zhēng)論了長(zhǎng)達(dá)兩千多年的關(guān)于“平行線(xiàn)理論”的討論。

由于證明第五公設(shè)的問(wèn)題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走的對(duì)不對(duì)？第五公設(shè)到底能不能證明？第四頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日歐幾里得的《幾何原本》共有十三卷，其中第一卷講三角形全等的條件，三角形邊和角的大小關(guān)系，平行線(xiàn)理論，三角形和多角形等積（面積相等）的條件；第二卷講如何把三角形變成等積的正方形；第三卷講圓；第四卷討論內(nèi)接和外切多邊形；第六卷講相似多邊形理論；第五、第七、第八、第九、第十卷講述比例和算術(shù)得里論；最后講述立體幾何的內(nèi)容。第五頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日從這些內(nèi)容可以看出，目前屬于中學(xué)課程里的初等幾何的主要內(nèi)容已經(jīng)完全包含在《幾何原本》里了。因此長(zhǎng)期以來(lái)，人們都認(rèn)為《幾何原本》是兩千多年來(lái)傳播幾何知識(shí)的標(biāo)準(zhǔn)教科書(shū)。屬于《幾何原本》內(nèi)容的幾何學(xué)，人們把它叫做歐幾里得幾何學(xué)，或簡(jiǎn)稱(chēng)為歐式幾何?！稁缀卧尽纷钪饕奶厣墙⒘吮容^嚴(yán)格的幾何體系，在這個(gè)體系中有四方面主要內(nèi)容，第六頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

定義、公理、公設(shè)、命題（包括作圖和定理）?！稁缀卧尽返谝痪砹杏?3個(gè)定義，5條公理，5條公設(shè)。這些定義、公理、公設(shè)就是《幾何原本》全書(shū)的基礎(chǔ)。全書(shū)以這些定義、公理、公設(shè)為依據(jù)邏輯地展開(kāi)他的各個(gè)部分的。比如后面出現(xiàn)的每一個(gè)定理都寫(xiě)明什么是已知、什么是求證。都要根據(jù)前面的定義、公理、定理進(jìn)行邏輯推理給予仔細(xì)證明。第七頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日關(guān)于幾何論證的方法，歐幾里得提出了分析法、綜合法和歸謬法。所謂分析法就是先假設(shè)所要求的已經(jīng)得到了，分析這時(shí)候成立的條件，由此達(dá)到證明的步驟；綜合法是從以前證明過(guò)的事實(shí)開(kāi)始，逐步的導(dǎo)出要證明的事項(xiàng)；歸謬法是在保留命題的假設(shè)下，否定結(jié)論，從結(jié)論的反面出發(fā)，由此導(dǎo)出和已證明過(guò)的事實(shí)相矛盾或和已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證實(shí)原來(lái)命題的結(jié)論是正確的，也稱(chēng)作反證法。第八頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日而第五公設(shè)的證明，直到1733年薩凱里才做出值得注意的成果。薩凱里沒(méi)有象其他人那樣試圖從正面進(jìn)攻平行公設(shè)，而是應(yīng)用他所喜歡的反證法。這種證明方法的基本思想是：保持歐幾里德的其他公設(shè)不變，假設(shè)第五公設(shè)不真，由此進(jìn)行邏輯推演。如果推導(dǎo)出邏輯矛盾來(lái)，就反駁了第五公設(shè)不真的假設(shè)，從而也就間接證得第五公設(shè)。第九頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日他考慮了一個(gè)看起來(lái)象矩形的圖形ABCD，其中AD=BC，且∠A=∠B=90°，不用平行公設(shè)，可以證明∠C=∠D。這個(gè)圖形有三個(gè)可能：（1）直角假設(shè)，∠C，∠D是直角；（2）鈍角假設(shè)，∠C，∠D是鈍角；（3）銳角假設(shè)，∠C，∠D是銳角；如果利用平行公設(shè)，就能證明∠C，∠D是直角，即直角假設(shè)成立，第十頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日相反，由直角假設(shè)，也能證明平行公設(shè)，因此平行公設(shè)與直角假設(shè)等價(jià)。而與歐式平行公設(shè)對(duì)立的公設(shè)有：（V’）過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)沒(méi)有直線(xiàn)與給定的直線(xiàn)平行；（V’’）過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)至少有兩條直線(xiàn)與給定的直線(xiàn)平行。這兩個(gè)命題分別能證明鈍角假設(shè)，銳角假設(shè)，同樣（V’）與鈍角假設(shè)等價(jià)，（V’’）與銳角假設(shè)等價(jià)。第十一頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日如果我們保留歐幾里德幾何中不依賴(lài)平行公設(shè)的命題，然后把平行公設(shè)替換為（V’）或（V’’），就能得到新的幾何體系。分別叫做橢圓幾何、雙曲幾何，它們都是非歐幾何。非歐幾何學(xué)是一門(mén)大的數(shù)學(xué)分支，一般來(lái)講

，他有廣義、狹義、通常意義這三個(gè)方面的不同含義。所謂廣義是泛指一切和歐幾里的幾何學(xué)不同的幾何學(xué)，狹義的非歐幾何只是指羅式幾何來(lái)說(shuō)的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅式幾何和黎曼幾何這兩種幾何。第十二頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日薩凱里本想通過(guò)邏輯證明來(lái)排除鈍角和銳角兩種情況，從而間接證明轉(zhuǎn)角假設(shè)為真，即平行公設(shè)為真。結(jié)果他卻得到了一個(gè)沒(méi)有矛盾的新幾何體系——雙曲幾何。但他卻以“結(jié)論不合情理”而否認(rèn)了，并在書(shū)末寫(xiě)到“歐式幾何無(wú)懈可擊”。為什么呢？有兩種說(shuō)法。有人說(shuō)，因?yàn)闅W式幾何有2000年的傳統(tǒng)，對(duì)人們的影響根深蒂固，薩凱里無(wú)法突破思想上的束縛。第十三頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日還有人說(shuō)：薩凱里完成自己的研究后，教會(huì)做出了沒(méi)收、充公的暗示。薩凱里也許自始至終認(rèn)為在銳角下找不到矛盾，只不過(guò)為了讓他的著作能通過(guò)教會(huì)的審查，才毫無(wú)誠(chéng)意地做了個(gè)不可能愚弄數(shù)學(xué)家的謬論。薩凱里走到了一個(gè)新奇世界的門(mén)口，但是他沒(méi)有繼續(xù)下去，否則他的研究將成為幾何學(xué)史上最偉大的發(fā)現(xiàn)，他本人也將成為新學(xué)科——非歐幾何的創(chuàng)立者。第十四頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日另一個(gè)對(duì)新幾何的產(chǎn)生做出重要貢獻(xiàn)的是瑞士數(shù)學(xué)家蘭貝特．他繼承了薩凱里的方法，從考察一個(gè)三個(gè)角都是直角的四邊形出發(fā)，研究其第四個(gè)角是直角、鈍角和銳角的可能性．蘭貝特否定了鈍角假設(shè)，也沒(méi)有輕率地做出銳角假設(shè)導(dǎo)致矛盾的結(jié)論．他沒(méi)有像薩凱里那樣囿于第五公設(shè)真實(shí)性的頑固想法，而是大膽對(duì)第五公設(shè)的可證明性提出了懷疑．在他的思想中甚至包含了非歐幾何學(xué)可以存在的想法，這是觀念上的一個(gè)重要沖破．但他未能對(duì)這種幾何的現(xiàn)實(shí)性提出任何見(jiàn)解，因而也就未能再向前邁出一步．第十五頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日2.非歐幾何的誕生

高斯是真正預(yù)見(jiàn)到非歐幾何的第一人,1792年，當(dāng)他15歲時(shí)，已經(jīng)有了第五公設(shè)不可證和非歐幾何的思想萌芽．以后相繼得到許多這方面的重要結(jié)果．但他動(dòng)搖徘徊了25年之久，直到1817年才牢固樹(shù)立起堅(jiān)定信念．不幸的是，由于康德的唯心主義空間學(xué)說(shuō)和在數(shù)學(xué)界占統(tǒng)治地位的所謂現(xiàn)實(shí)空間只能是歐氏空間這舊傳統(tǒng)觀念，給高斯以很大的精神壓力，因而畢其一生關(guān)于此問(wèn)題也沒(méi)有發(fā)表什么見(jiàn)解.第十六頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日預(yù)見(jiàn)到非歐幾何的第二人鮑耶．在青年時(shí)代就醉心于第五公設(shè)的證明．他不顧父親的勸告，堅(jiān)持研究，終于建立了非歐幾何．1823年11月3日，他高興地寫(xiě)信告訴父親：“我已從烏有中創(chuàng)造了另一個(gè)新奇的世界．”當(dāng)他父親把鮑耶的研究成果寫(xiě)信告訴高斯的時(shí)候，高斯感到十分吃驚，回信說(shuō)：“這和我40年來(lái)沉思的結(jié)果不謀而合．”鮑耶看到高斯的回信，大大刺傷了自己的自尊心，反而懷疑高斯剽竊他的成果.從此消沉下去，不再研究這一問(wèn)題．第十七頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日高斯的保守，鮑耶的消沉，使非歐幾何的誕生推遲了時(shí)間．只有俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基(1793―1856)才無(wú)愧于享有這門(mén)新學(xué)說(shuō)的創(chuàng)建者和捍衛(wèi)者的光榮稱(chēng)號(hào)．第十八頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日3.幾何學(xué)中的“哥白尼”1893年，在喀山大學(xué)樹(shù)立起了世界上第一個(gè)為數(shù)學(xué)家雕塑的塑像。這位數(shù)學(xué)家就是俄國(guó)的偉大學(xué)者、非歐幾何的重要?jiǎng)?chuàng)始人——羅巴切夫期基。

非歐幾何是人類(lèi)認(rèn)識(shí)史上一個(gè)富有創(chuàng)造性的偉大成果，它的創(chuàng)立，不僅帶來(lái)了近百年來(lái)數(shù)學(xué)的巨大進(jìn)步，而且對(duì)現(xiàn)代物理學(xué)、天文學(xué)以及人類(lèi)時(shí)空觀念的變革都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。第十九頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日不過(guò)，這一重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)在羅巴切夫斯基提出后相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)，不但沒(méi)能贏得社會(huì)的承認(rèn)和贊美，反而遭到種種歪曲、非難和攻擊，使非歐幾何這一新理論遲遲得不到學(xué)術(shù)界的公認(rèn)。

羅巴切夫斯基是在嘗試解決歐氏第五公設(shè)問(wèn)題的過(guò)程中，從失敗走上他的發(fā)現(xiàn)之路的。歐氏第五公設(shè)問(wèn)題是數(shù)學(xué)史上最古老的著名難題之一，它是由古希臘學(xué)者最先提出來(lái)的第二十頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日羅巴切夫斯基是在嘗試解決歐氏第五公設(shè)問(wèn)題的過(guò)程中，從失敗走上他的發(fā)現(xiàn)之路的。

羅巴切夫斯基是從1815年著手研究平行線(xiàn)理論的。開(kāi)始他也是循著前人的思路，試圖給出第五公設(shè)的證明。在保存下來(lái)的他的學(xué)生聽(tīng)課筆記中，就記有他在1816～1817學(xué)年度在幾何教學(xué)中給出的一些證明。可是，很快他便意識(shí)到自己的證明是錯(cuò)誤的。第二十一頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

前人和自己的失敗從反面啟迪了他，使他大膽思索問(wèn)題的相反提法：可能根本就不存在第五公設(shè)的證明。于是，他便調(diào)轉(zhuǎn)思路，著手尋求第五公設(shè)不可證的解答。這是一個(gè)全新的，也是與傳統(tǒng)思路完全相反的探索途徑。羅巴切夫斯基正是沿著這個(gè)途徑，在試證第五公設(shè)不可證的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)嶄新的幾何世界。第二十二頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

那么，羅巴切夫斯基是怎樣證得第五公設(shè)不可證的呢？又是怎樣從中發(fā)現(xiàn)新幾何世界的呢？原來(lái)他創(chuàng)造性地運(yùn)用了處理復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的一種邏輯方法——反證法。

這種反證法的基本思想是，為證“第五公設(shè)不可證”，首先對(duì)第五公設(shè)加以否定，然后用這個(gè)否定命題和其它公理公設(shè)組成新的公理系統(tǒng)，并由此展開(kāi)邏輯推演。第二十三頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

首先假設(shè)第五公設(shè)是可證的，即第五公設(shè)可由其它公理公設(shè)推演出來(lái)。那么，在新公理系統(tǒng)的推演過(guò)程中一定會(huì)出現(xiàn)邏輯矛盾，至少第五公設(shè)和它的否定命題就是一對(duì)邏輯矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反駁了“第五公設(shè)可證”這一假設(shè)，從而也就間接證得“第五公設(shè)不可證”。第二十四頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

依照這個(gè)邏輯思路，羅巴切夫斯基對(duì)第五公設(shè)的等價(jià)命題——普列菲爾公理“過(guò)平面上直線(xiàn)外一點(diǎn)，只能引一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)不相交”作以否定，得到否定命題“過(guò)平面上直線(xiàn)外一點(diǎn)，至少可引兩條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)不相交”，并用這個(gè)否定命題和其它公理公設(shè)組成新的公理系統(tǒng)展開(kāi)邏輯推演。第二十五頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

在推演過(guò)程中，他得到一連串古怪、非常不合乎常理的命題。但是，經(jīng)過(guò)仔細(xì)審查，卻沒(méi)有發(fā)現(xiàn)它們之間存在任何羅輯矛盾。于是，遠(yuǎn)見(jiàn)卓識(shí)的羅巴切夫斯基大膽斷言，這個(gè)“在結(jié)果中并不存在任何矛盾”的新公理系統(tǒng)可構(gòu)成一種新的幾何，它的羅輯完整性和嚴(yán)密性可以和歐幾里得幾何相媲美。而這個(gè)無(wú)矛盾的新幾何的存在，就是對(duì)第五公設(shè)可證性的反駁，也就是對(duì)第五公設(shè)不可證性的邏輯證明。由于尚未找到新幾何在現(xiàn)實(shí)界的原型和類(lèi)比物，羅巴切夫斯基慎重地把這個(gè)新幾何稱(chēng)之為“想象幾何”。第二十六頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日在冷漠中宣告新幾何誕生

1826年2月23日，羅巴切夫斯基于喀山大學(xué)物理數(shù)學(xué)系學(xué)術(shù)會(huì)議上，宣讀了他的第一篇關(guān)于非歐幾何的論文：《幾何學(xué)原理及平行線(xiàn)定理嚴(yán)格證明的摘要》。這篇首創(chuàng)性論文的問(wèn)世，標(biāo)志著非歐幾何的誕生。然而，這一重大成果剛一公諸于世，就遭到正統(tǒng)數(shù)學(xué)家的冷漠和反對(duì)。第二十七頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

參加2月23日學(xué)術(shù)公議的全是數(shù)學(xué)造詣?shì)^深的專(zhuān)家，其中有著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家西蒙諾夫，有后來(lái)成為科學(xué)院院士的古普費(fèi)爾，以及后來(lái)在數(shù)學(xué)界頗有聲望的博拉斯曼。在這些人的心目中，羅巴切夫斯基是一位很有才華的青年數(shù)學(xué)家。

可是，出乎他們的意料，這位年輕的教授在簡(jiǎn)短的開(kāi)場(chǎng)白之后，接著說(shuō)的全是一些令人莫明其妙的話(huà)，第二十八頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日諸如三角形的內(nèi)角和小于兩直角，而且隨著邊長(zhǎng)增大而無(wú)限變小，直至趨于零；銳角一邊的垂線(xiàn)可以和另一邊不相交，等等。

這些命題不僅離奇古怪，與歐幾里得幾何相沖突，而且還與人們的日常經(jīng)驗(yàn)相背離。然而，報(bào)告者卻認(rèn)真地、充滿(mǎn)信心地指出，它們屬于一種邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男聨缀危蜌W幾里得幾何有著同等的存在權(quán)利。這些古怪的語(yǔ)言，竟然出自一個(gè)頭腦清楚、治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)家教授之口，不能不使與會(huì)者們感到意外。他們先是表現(xiàn)現(xiàn)一種疑惑和驚呆，不多一會(huì)兒，便流露出各種否定的表情。第二十九頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

宣講論文后，羅巴切夫斯基誠(chéng)懇地請(qǐng)與會(huì)者討論，提出修改意見(jiàn)?？墒牵l(shuí)也不肯作任何公開(kāi)評(píng)論，會(huì)場(chǎng)上一片冷漠。一個(gè)具有獨(dú)創(chuàng)性的重大發(fā)現(xiàn)作出了，那些最先聆聽(tīng)到發(fā)現(xiàn)者本人講述發(fā)現(xiàn)內(nèi)容的同行專(zhuān)家，卻因思想上的守舊，不僅沒(méi)能理解這一發(fā)現(xiàn)的重要意義，反而采取了冷談和輕慢的態(tài)度，這實(shí)在是一件令人遺憾的事情。第三十頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

會(huì)后，系學(xué)術(shù)委員會(huì)委托西蒙諾夫、古普費(fèi)爾和博拉斯曼組成三人鑒定小組，對(duì)羅巴切夫斯基的論文作出書(shū)面鑒定。他們的態(tài)度無(wú)疑是否定的，但又遲遲不肯寫(xiě)出書(shū)面意見(jiàn)，以致最后連文稿也給弄丟了。第三十一頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日權(quán)威的譏諷與匿名者的攻擊

羅巴切夫斯基的首創(chuàng)性論文沒(méi)能引起學(xué)術(shù)界的注意和重視，論文本身也似石沉大海，不知被遺棄何處。但他并沒(méi)有因此灰心喪氣，而是頑強(qiáng)地繼續(xù)獨(dú)自探索新幾何的奧秘。1829年，他又撰寫(xiě)出一篇題為《幾何學(xué)原理》的論文。這篇論文重現(xiàn)了第一篇論文的基本思想，并且有所補(bǔ)充和發(fā)展。此時(shí)，羅巴切夫斯基已被推選為喀山大學(xué)校長(zhǎng)，可能出自對(duì)校長(zhǎng)的“尊敬”，《喀山大學(xué)通報(bào)》全文發(fā)表了這篇論文。第三十二頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

1832年，根據(jù)羅巴切夫斯基的請(qǐng)求，喀山大學(xué)學(xué)術(shù)委員會(huì)把這篇論文呈送彼得堡科學(xué)院審評(píng)?？茖W(xué)院委托著名數(shù)學(xué)家?jiàn)W斯特羅格拉茨基院士作評(píng)定。奧斯特羅格拉茨基是新推選的院士，曾在數(shù)學(xué)物理、數(shù)學(xué)分析、力學(xué)和天體力學(xué)等方面有過(guò)卓越的成就，在當(dāng)時(shí)學(xué)術(shù)界有很高的聲望?？上У氖?，就是這樣一位杰出的數(shù)學(xué)家，也沒(méi)能理解羅巴切夫斯基的新幾何思想，甚至比喀山大學(xué)的教授們更加保守。第三十三頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

如果說(shuō)喀山大學(xué)的教授們對(duì)羅巴切夫斯基本人還是很“寬容”的話(huà)，那么，奧斯特羅格拉茨基則使用極其挖苦的語(yǔ)言，對(duì)羅巴切夫斯基作了公開(kāi)的指責(zé)和攻擊。同年11月7日，他在給科學(xué)院的鑒定書(shū)中一開(kāi)頭就以嘲弄的口吻寫(xiě)道：“看來(lái)，作者旨在寫(xiě)出一部使人不能理解的著作。他達(dá)到自己的目的。”接著，對(duì)羅巴切夫斯基的新幾何思想進(jìn)行了歪曲和貶低。最后粗暴地?cái)嘌裕骸坝纱宋业贸鼋Y(jié)論，羅馬切夫斯基校長(zhǎng)的這部著作謬誤連篇，因而不值得科學(xué)院的注意?！钡谌捻?yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

這篇論文不僅引起了學(xué)術(shù)界權(quán)威的惱怒，而且還激起了社會(huì)上反動(dòng)勢(shì)力的敵對(duì)叫囂。名叫布拉切克和捷列內(nèi)的兩個(gè)人，以匿名在《祖國(guó)之子》雜志上撰文，公開(kāi)指名對(duì)羅巴切夫斯基進(jìn)行人身攻擊。

針對(duì)這篇污辱性的匿名文章，羅巴切夫斯基撰寫(xiě)了一篇反駁文章。但《祖國(guó)之子》雜志卻以維護(hù)雜志聲譽(yù)為由，將羅巴切夫斯基的文章扣壓下來(lái)，一直不予發(fā)表。對(duì)此，羅巴切夫斯基極為氣憤。第三十五頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日在孤境中奮斗終生

羅巴切夫斯基開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一個(gè)新領(lǐng)域，但他的創(chuàng)造性工作在生前始終沒(méi)能得到學(xué)術(shù)界的重視和承認(rèn)。就在他去世的前兩年，俄國(guó)著名數(shù)學(xué)家布尼雅可夫斯基還在其所著的《平行線(xiàn)》一書(shū)中對(duì)羅巴切夫斯基發(fā)難，他試圖通過(guò)論述非歐幾何與經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)的不一致性，來(lái)否定非歐幾何的真實(shí)性。第三十六頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

英國(guó)著名數(shù)學(xué)家莫爾甘對(duì)非歐幾何的抗拒心里表現(xiàn)得就更加明顯了，他甚至在沒(méi)有親自研讀非歐幾何著作的情況下就武斷地說(shuō)：“我認(rèn)為，任何時(shí)候也不會(huì)存在與歐幾里得幾何本質(zhì)上不同的另外一種幾何。”莫爾甘的話(huà)代表了當(dāng)時(shí)學(xué)術(shù)界對(duì)非歐幾何的普遍態(tài)度。

在創(chuàng)立和發(fā)展非歐幾何的艱難歷程上，羅巴切夫斯基始終沒(méi)能遇到他的公開(kāi)支持者，就連非歐幾何的另一位發(fā)現(xiàn)者德國(guó)的高斯也不肯公開(kāi)支持他的工作。第三十七頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

高斯是當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界首屈一指的學(xué)學(xué)巨匠，負(fù)有“歐洲數(shù)學(xué)之王”的盛名，早在1792年，也就是羅巴切夫斯基誕生的那一年，他就已經(jīng)產(chǎn)生了非歐幾何思想萌芽，到了1817年已達(dá)成熟程度。他把這種新幾何最初稱(chēng)之為“反歐幾何”，后稱(chēng)“星空幾何”，最后稱(chēng)“非歐幾何”。但是，高斯由于害怕新幾何會(huì)激起學(xué)術(shù)界的不滿(mǎn)和社會(huì)的反對(duì)，會(huì)由此影響他的尊嚴(yán)和榮譽(yù)，生前一直沒(méi)敢把自己的這一重大發(fā)現(xiàn)公之于世，只是謹(jǐn)慎地把部分成果寫(xiě)在日記和與朋友的往來(lái)書(shū)信中。第三十八頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

當(dāng)高斯看到羅巴切夫斯基的德文非歐幾何著作《平行線(xiàn)理論的幾何研究》后，內(nèi)心是矛盾的，他一方面私下在朋友面前高度稱(chēng)贊羅巴切夫斯基是“俄國(guó)最卓越的數(shù)學(xué)家之一”，并下決心學(xué)習(xí)俄語(yǔ)，以便直接閱讀羅巴切夫斯基的全部非歐幾何著作；另一方面，卻又不準(zhǔn)朋友向外界泄露他對(duì)非歐幾何的有關(guān)告白，也從不以任何形式對(duì)羅巴切夫斯基的非歐幾何研究工作加以公開(kāi)評(píng)論；他積極推選羅巴切夫斯基為哥廷根皇家科學(xué)院通訊院士，可是，在評(píng)選會(huì)和他親筆寫(xiě)給羅巴切夫斯基的推選通知書(shū)中第三十九頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)羅巴切夫斯基在數(shù)學(xué)上的最卓越貢獻(xiàn)－－創(chuàng)立非歐幾何卻避而不談。

高斯憑任在數(shù)學(xué)界的聲望和影響，完全有可能減少羅巴切夫斯基的壓力，促進(jìn)學(xué)術(shù)界對(duì)非歐幾何的公認(rèn)。然而，在頑固的保守勢(shì)力面前他卻喪失了斗爭(zhēng)的勇氣。高斯的沉默和軟弱表現(xiàn)，不僅嚴(yán)重限制了他在非歐幾何研究上所能達(dá)到的高度，而且客觀上也助長(zhǎng)了保守勢(shì)力對(duì)羅巴切夫斯基的攻擊。第四十頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

晚年的羅巴切夫斯基心情更加沉重，他不僅在學(xué)術(shù)上受到壓制，而且在工作上還受到限制。按照當(dāng)時(shí)俄國(guó)大學(xué)委員會(huì)的條例，教授任職的最高斯限是30年，依照這個(gè)條例，1846年羅巴切夫斯基向人民教育部提出呈文，請(qǐng)求免去他在數(shù)學(xué)教研室的工作，并推薦讓位給他的學(xué)生波波夫。第四十一頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

人民教育部早就對(duì)不順從他們意志辦事的羅巴切夫斯基抱有成見(jiàn)，但又找不到合適的機(jī)會(huì)免去他在喀山大學(xué)的校長(zhǎng)職務(wù)。羅巴切夫斯基辭去教授職務(wù)的申請(qǐng)正好被他們用以作為借口，不僅免去了他主持教研室的工作，而且還違背他本人的意愿，免去了他在喀山大學(xué)的所有職務(wù)。被迫離開(kāi)終生熱愛(ài)的大學(xué)工作，使羅巴切夫斯基在精神上遭到嚴(yán)重打擊。他對(duì)人民教育部的這項(xiàng)無(wú)理決定，表示了極大的憤慨。第四十二頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日家庭的不幸格外增加了他的苦惱。他最喜歡的、很有才華的大兒子因患肺結(jié)核醫(yī)治無(wú)效死去，這使他十分傷感。他的身體也變得越來(lái)越多病，眼睛逐漸失明，最后終于什么也看不見(jiàn)了。

1856年2月12日，偉大的學(xué)者羅巴切夫斯基在苦悶和抑郁中走完了他生命的最后一段路程?？ι酱髮W(xué)師生為他舉行了隆重的追悼會(huì)。第四十三頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日在追悼會(huì)上，他的許多同事和學(xué)生高度贊揚(yáng)他在建設(shè)喀山大學(xué)、提高民族教育水平和培養(yǎng)數(shù)學(xué)人材等方面的卓越功績(jī)，可是誰(shuí)也不提他的非歐幾何研究工作，因?yàn)榇藭r(shí)，人們還普遍認(rèn)為非歐幾何純屬“無(wú)稽之談”。羅巴切夫斯基為非歐幾何的生存和發(fā)展奮斗了三十多年，他從來(lái)沒(méi)有動(dòng)搖過(guò)對(duì)新幾何遠(yuǎn)大前途的堅(jiān)定信念。為了擴(kuò)大非歐幾何的影響，爭(zhēng)取早日取得學(xué)術(shù)界的承認(rèn)，除了用俄文外，他還用法文、德文發(fā)現(xiàn)了自己的著作，同時(shí)還精心設(shè)計(jì)了檢驗(yàn)大尺度空間幾何特性的天文觀測(cè)方案。第四十四頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

不僅如此，他還發(fā)展了非歐幾何的解析和微分部分，使之成為一個(gè)完整的、有系統(tǒng)的理論體系。在身患重病，臥床不起的困境下，他也沒(méi)停止對(duì)非歐幾何的研究。他的最后一部巨著《論幾何學(xué)》，就是在他雙目失明，臨去世的前一年，口授他的學(xué)生完成的。第四十五頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

歷史是最公允的，因?yàn)樗K將會(huì)對(duì)各種思想、觀點(diǎn)和見(jiàn)解作出正確的評(píng)價(jià)。1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米發(fā)表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐氏空間的曲面上實(shí)現(xiàn)。這就是說(shuō)，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應(yīng)的歐氏幾何命題，如果歐氏幾何沒(méi)有矛盾，非歐幾何也就自然沒(méi)有矛盾。第四十六頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

直到這時(shí)，長(zhǎng)期無(wú)人問(wèn)津的非歐幾何才開(kāi)始獲得學(xué)術(shù)界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨(dú)創(chuàng)性研究也由此得到學(xué)術(shù)界的高度評(píng)價(jià)和一致贊美，這時(shí)的羅巴切夫斯基則被人們贊譽(yù)為“幾何學(xué)中的哥白尼”。

在科學(xué)探索的征途上，一個(gè)人經(jīng)得住一時(shí)的挫折和打擊并不難，難的是勇于長(zhǎng)期甚至終生在逆境中奮斗。羅巴切夫斯基就是在逆境中奮斗終生的勇士。第四十七頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

同樣，一名科學(xué)工作者，特別是聲望較高的學(xué)術(shù)專(zhuān)家，正確識(shí)別出那些已經(jīng)成熟的或具有明顯現(xiàn)實(shí)意義的科這成果并不難，難的是及時(shí)識(shí)別出那些尚未成熟或現(xiàn)實(shí)意義尚未顯露出來(lái)的科學(xué)成果。我們每一位科學(xué)工作者，既應(yīng)當(dāng)作一名勇于在逆境中頑強(qiáng)點(diǎn)頭的科學(xué)探索者，又應(yīng)當(dāng)成為一個(gè)科學(xué)領(lǐng)域中新生事物的堅(jiān)定支持者。第四十八頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日然而非歐幾何獲得普遍接受是在德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼于1868年發(fā)表關(guān)于構(gòu)成幾何基礎(chǔ)的原則的思想以及意大利數(shù)學(xué)家貝爾特拉米在1868年證明非歐向何的相容性和普遍適用性后才實(shí)現(xiàn)。在哲學(xué)上,非歐幾何的出現(xiàn)動(dòng)搖了數(shù)學(xué)中自明的真理概念。人們清楚地認(rèn)識(shí)到,存在一系列真理,依賴(lài)于人們對(duì)于公理如何選擇和如何安排。第四十九頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日在特殊情況下,一種特殊的真理,可以比別的真理更加有用,但它并不更“真”。在一般人的心目中(特別是數(shù)學(xué)家),歐幾里得幾何學(xué)是無(wú)比神圣的,以致羅巴切夫斯基和其他生些非歐幾何學(xué)家受到許多貶低和責(zé)難(對(duì)羅巴切夫斯基所作出貢獻(xiàn)的回報(bào)就是1846年被解職)。直至他死后半個(gè)多世紀(jì),愛(ài)因斯坦證明了宇宙在結(jié)構(gòu)上是非歐的,并且非歐的理論和概念有著非常實(shí)際的價(jià)值之后,情況才發(fā)生了根本的變化。第五十頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日羅巴切夫斯基的幾何學(xué)羅巴切夫斯基是從1815―1816年著手研究第五公設(shè)問(wèn)題的．到1826年2月23日于喀山大學(xué)物理數(shù)學(xué)系學(xué)術(shù)會(huì)議上首次宣讀自己新幾何學(xué)的論文――(簡(jiǎn)要敘述平行線(xiàn)公理的一個(gè)嚴(yán)格證明》，前后經(jīng)過(guò)了十年艱苦的努力．開(kāi)始，他像其他所有研究者一樣，也試圖給出第五公設(shè)的證明，但不久就意識(shí)到這是徒勞的，對(duì)于第五公設(shè)，“至今沒(méi)能找到它的嚴(yán)格證明，以往給出的任何一種證明，只能是一種說(shuō)明，而不配稱(chēng)做是真正意義下的數(shù)學(xué)證明”

第五十一頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

通過(guò)錯(cuò)誤與失敗的精心研究。羅巴切夫斯基大膽地提出原問(wèn)題的“反問(wèn)題”，即第五公設(shè)在數(shù)學(xué)上是不可證明的．用他自己的話(huà)說(shuō)就是：“我推斷，不依賴(lài)于經(jīng)驗(yàn)，去尋求這個(gè)真實(shí)性的證明是徒勞的”．因?yàn)椤斑@個(gè)真實(shí)性還沒(méi)有包含在我們對(duì)現(xiàn)實(shí)事物的概念自身中”．那么，羅巴切夫斯基是怎樣成功地解決這個(gè)反問(wèn)題的?又是怎樣從中發(fā)現(xiàn)非歐幾何新天地的?原來(lái)，他運(yùn)用了反證法這一間接證明方法．第五十二頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

羅巴切夫斯基的基本思想是，為證“第五公設(shè)不可證”，首先用第五公設(shè)的相反命題代替它，和其他公設(shè)構(gòu)成一個(gè)新的公理系統(tǒng)，然后，對(duì)這個(gè)新公理系統(tǒng)展開(kāi)邏輯推演．假設(shè)第五公設(shè)在數(shù)學(xué)上可證，那么一定能夠推演出邏輯矛盾來(lái)，至少第五公設(shè)和它的相反命題就是一對(duì)邏輯矛盾；反之，如果推演不出邏輯矛盾，就自然反駁了“第五公設(shè)可證”的假設(shè)，從而也就間接證得“第五公設(shè)不可證”．

第五十三頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

基于這種思想，羅巴切夫斯基從第五公設(shè)的等價(jià)命題普雷菲爾公理的否定；“過(guò)平面上直線(xiàn)外一點(diǎn)，至少可引兩條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)不相交”．之后，他從這個(gè)相反命題(及歐幾里得的其他公設(shè))出發(fā)而進(jìn)行邏輯推演．推演不多幾步，他就得到一連串新命題．這些命題，不僅離奇古怪，而且和人們的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)格格不入．但是，經(jīng)過(guò)仔細(xì)推敲，羅巴切夫斯基并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)它們之間含有任何邏輯矛盾．第五十四頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日于是，遠(yuǎn)見(jiàn)卓識(shí)的羅巴切夫斯基斷言，這個(gè)“在結(jié)果中并不存在任何矛盾”的新公理系統(tǒng)屬于一種新幾何，它的邏輯完整性和嚴(yán)密性可以和歐氏幾何相媲美．而這個(gè)新幾何的存在，就是對(duì)“第五公設(shè)不可證”的間接證明．在創(chuàng)立非歐幾何體系的過(guò)程中，羅巴切夫斯基憑借想象的翅膀，騰飛而起，提出了許多令人驚嘆，具有珍貴價(jià)值的科學(xué)思想．第五十五頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

例如，羅巴切夫斯基從他給出的平行角解析式出發(fā)，以猜想的形式斷言，非歐幾何是“巨大尺度形式的幾何”，適合于大宇宙空間范圍．為檢驗(yàn)非歐幾何的真理性，他曾根據(jù)當(dāng)時(shí)的最新天文觀測(cè)資料，對(duì)盡可能大的天體三角形作了角度計(jì)算，算得的結(jié)果表明，這個(gè)角度比觀測(cè)精度還小，因而無(wú)法觀測(cè)到空間幾何的非歐表現(xiàn)．但是，羅巴切夫斯基并不認(rèn)為他的斷言遭到了反駁．在他看來(lái)，“空間是無(wú)限延伸的，自然界只給我們的是這樣的距離，和這個(gè)距離相比，甚至我們地球到恒星的距離也是微乎其微的．”

第五十六頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日他由此設(shè)想，在以天文尺度為單位的巨大宇宙空間，將出現(xiàn)空間幾何性質(zhì)與歐幾里得幾何的明顯差異．羅巴切夫斯基進(jìn)而構(gòu)想，微觀領(lǐng)域的幾何也是非歐式的．他把非歐幾何稱(chēng)為“想象幾何”，并且極富創(chuàng)見(jiàn)性地向他的同代人宣告：“在觀測(cè)不足的情況下，應(yīng)當(dāng)憑理智設(shè)想，想象幾何可適用于被觀測(cè)到的世界之外以及分子引力范圍之內(nèi)”．第五十七頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

再如，羅巴切夫斯基還一反常態(tài)地提出了只有我們這個(gè)時(shí)代的人才能理解幾何與力相關(guān)的思想．他深刻地指出：“空間自身是不能單獨(dú)存在的，因而當(dāng)我們?cè)O(shè)想，自然界中的某些力決定一種幾何，另一些力決定另一種特殊的幾何，那么我們的頭腦中就沒(méi)有任何矛盾了”．他又指出：“力