第3套課件11章時間序列分析

時間序列分析下個月的消費者信心指數(shù)是多少？

消費者信心指數(shù)不僅僅是消費信心的反映，在某種程度上反映了消費者對整個宏觀經(jīng)濟運行前景的看法一些國家都把消費者信心指數(shù)作為經(jīng)濟運行的一項預警指標來看待。國家統(tǒng)計局定期公布這類數(shù)據(jù)下表是國家統(tǒng)計局公布的2007年4月至2008年5月我國的消費者預期指數(shù)、消費者滿意指數(shù)和消費者信心指數(shù)(%)怎樣預測下個月的消費者信心指數(shù)呢？首先需要弄清楚它在2007年4月至2008年5月過去的這段時間里是如何變化的，找出其變化的模式。如果預期過去的變化模式在未來的一段時間里能夠延續(xù)，就可以根據(jù)這一模式找到適當?shù)念A測模型并進行預測。本章介紹的內(nèi)容就是有關時間序列的預測問題

下個月的消費者信心指數(shù)是多少？日期消費者預期指數(shù)消費者滿意指數(shù)消費者信心指數(shù)2007.0498.892.496.22007.0599.193.096.72007.06100.093.697.42007.0799.293.096.72007.0899.993.397.32007.0999.692.996.92007.1099.292.496.52007.1198.792.096.02007.1299.593.196.92008.0198.691.295.62008.0296.890.594.32008.0397.190.794.52008.0496.690.194.02008.0597.090.294.3統(tǒng)計名言未來是不可預測的，不管人們掌握多少信息，都不可能存在能作出正確決策的系統(tǒng)方法?！狢.R.Rao時間序列分析學習目標：

1、明確時間序列的概念、作用、種類和編制原則；

2、掌握時間序列分析的各種水平分析指標，特別是平均發(fā)展水平的含義、計算方法和應用條件、

3、掌握時間序列分析的各種速度分析指標，特別是平均發(fā)展速度的含義、計算方法和應用條件；

4、掌握時間序列變動的長期趨勢、季節(jié)變動、循環(huán)變動的分析意義與測定方法。1時間序列概述1.1時間序列的意義及分類1.2時間序列的編制原則1.3時間序列分解1.4時間序列常用分析方法

把同一現(xiàn)象在不同時間上取得的觀察值按時間順序排列而成的序列，稱為時間序列（又稱動態(tài)序列）。按時間順序記錄的一組數(shù)據(jù)觀察的時間可以是年份、季度、月份或其他任何時間形式觀測時間用t表示，觀察值用

表示

如：1)國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）按年度順序排列起來的數(shù)列；2)某種商品銷售量按季度或月度排列起來的數(shù)列等等都是時間序列。

1.1時間序列的意義及分類時間序列的作用在社會經(jīng)濟統(tǒng)計中，編制和分析時間序列具有重要的作用：它為分析研究社會經(jīng)濟現(xiàn)象的發(fā)展速度、發(fā)展趨勢及變化規(guī)律，提供基本統(tǒng)計數(shù)據(jù)。通過計算分析指標，研究社會經(jīng)濟現(xiàn)象的變化方向、速度及結(jié)果。將不同的時間序列同時進行分析研究，可以揭示現(xiàn)象之間的聯(lián)系程度及動態(tài)演變關系。建立數(shù)學模型，揭示現(xiàn)象的變化規(guī)律并對未來進行預測。時間序列的分類任何時間序列形式都由時間和觀察值兩個基本要素組成。時間序列的時間可以是年份、季度、月份或其他任何時間形式，觀察值根據(jù)表現(xiàn)形式不同有絕對數(shù)、相對數(shù)和平均數(shù)。因此，從表現(xiàn)形式上看，時間序列可分為絕對數(shù)時間序列、相對數(shù)時間序列和平均數(shù)時間序列。表1中國國內(nèi)生產(chǎn)總值等時間序列表

年份國內(nèi)生產(chǎn)總值（億元）人均GDP（元）年末總?cè)丝冢ㄈf人）職工平均貨幣工資（元）居民消費價格指數(shù)（%）1990199119921993199419951996199719981999200018547.921617.926638.134634.446759.458478.167884.674462.678345.281910.989403.616341879228729393923485455766054630765477078114333115823117171118517119850121121122389123626124810125909126583

233714538550062106470747983469371103.1103.4106.4114.7124.1117.1108.3102.899.298.6100.4

1.1.1絕對數(shù)時間序列

絕對數(shù)時間序列又稱總量指標序列，指總量指標在不同時間上的觀察值按時間順序排列而成的序列?？偭恐笜诵蛄惺怯嬎惴治鱿鄬?shù)和平均數(shù)時間序列的基礎。按其指標所反映時間狀況的不同，總量指標序列又分為時期序列（見表1第2欄）和時點序列（見表1第4欄）。

時期序列時期序列中所排列的觀察值為時期指標，各時期上的觀察值分別反映現(xiàn)象在這一段時期內(nèi)所達到的總規(guī)模、總水平，是現(xiàn)象在這一段時期內(nèi)發(fā)展過程的累積總量。其主要特點是：時期序列的各指標具有可加性；時期序列中各指標數(shù)值大小與其所屬時期長短有直接聯(lián)系；時期序列中的各指標是連續(xù)登記取得的。時點序列

時點序列：當絕對指標時間序列中每一指標數(shù)值反映的是某種現(xiàn)象在某一時點達到的水平時，這種序列稱為時點序列。如人口數(shù)、土地面積、商品庫存在某一時點的數(shù)值組成的序列等皆為時點序列。

其主要特點是：時點序列的各個指標不具有可加性；時點序列中各指標數(shù)值大小與時間間隔長短沒有直接聯(lián)系；時點序列中各指標是采用間隔登記方式取得的。

1.1.2相對數(shù)和平均數(shù)時間序列相對指標時間序列是按時間順序，把不同時期的相對指標排列起來所形成的序列。它反映社會現(xiàn)象之間相互關系的發(fā)展過程。在相對指標時間序列中，由于各個指標數(shù)值的基數(shù)不同，因此不具有可加性。平均指標時間序列是按時間順序，把各個時期的平均指標排列起來所形成的序列。它反映社會經(jīng)濟現(xiàn)象一般水平的發(fā)展過程和發(fā)展趨勢。平均指標時間序列中各個指標數(shù)值也不具有可加性。

編制時間序列的目的就是要通過對序列中的各個指標值進行分析，來研究社會經(jīng)濟現(xiàn)象的發(fā)展變化及其規(guī)律。因此保證時間序列中各個不同時間上的統(tǒng)計指標具有可比性，是編制時間序列的基本原則?？杀刃栽瓌t具體體現(xiàn)在以下幾個方面：時間序列中各指標所屬時間長短應前后一致；時間序列中各指標所反映現(xiàn)象的總體范圍應一致；時間序列中各指標的經(jīng)濟內(nèi)容應一致；時間序列中各指標的計算方法應相同；時間序列中各指標的計算價格和計量單位要一致1.2時間序列的編制原則1.3時間序列分解

時間序列可以分為平穩(wěn)序列和非平穩(wěn)序列兩大類。

1、平穩(wěn)序列基本上不存在趨勢的序列。平穩(wěn)序列中的各觀察值基本上在某個固定的水平上波動，雖然在不同的時間段波動的程度不同，但不存在某種規(guī)律，而其波動可以看成是隨機的。

2、非平穩(wěn)序列包含趨勢性、季節(jié)性或周期性的序列，它可能含其中的一種成份，也可能是幾種成份的組合。又可分為有趨勢（tend）的序列，有趨勢、季節(jié)性（seasonality）和周期性（cyclists）的序列，即復合型序列。影響時間序列的因素1、長期趨勢（T）長期趨勢是指時間序列在長時期內(nèi)呈現(xiàn)出的持續(xù)發(fā)展變化（向上、向下或基本持平）的總趨勢。是時間序列中最基本的規(guī)律性變動。

2、季節(jié)變動（S）季節(jié)變動指時間序列在一年內(nèi)重復出的有規(guī)律的周期性變動。有以一年為周期的，也有以一日、一周、一月為周期的。

3、循環(huán)變動（C）循環(huán)變動時間序列中圍繞著長期趨勢呈現(xiàn)出的具有一定循環(huán)起伏形態(tài)的變動。

4、不規(guī)則變動（I）不規(guī)則變動指由于偶然性因素的影響，使時間序列呈現(xiàn)出某種隨機波動。這種變動無規(guī)則可尋，是無法預知的，

含有不同成分的時間序列平穩(wěn)趨勢季節(jié)季節(jié)與趨勢時間序列的成分

(例題分析)【例】

1990年—2005年我國人均GDP、轎車產(chǎn)量、金屬切削機床產(chǎn)量和棉花產(chǎn)量的時間序列。繪制圖形觀察其所包含的成分

時間序列的成分

(例題分析)(a)人均GDP序列(b)轎車產(chǎn)量序列(c)機床產(chǎn)量序列(d)棉花產(chǎn)量序列時間序列的分解模型

把時間序列及其影響因素的關系用一定的數(shù)學關系式表示出來，就構(gòu)成了時間序列的分解模型。若設Y代表時間序列的各項數(shù)值，則上述因素對時間序列的影響可用乘法模型、加法模型來表示：

1、乘法模型：Y＝T·S·C·I2、加法模型：Y＝T＋S＋C＋I

其中最常用的是乘法模型。1.4時間序列常用分析方法

1、時間序列的指標分析法

時間序列的指標分析法是指通過計算一系列時間序列分析指標，包括發(fā)展水平、平均發(fā)展水平、增長量、平均增長量；發(fā)展速度、平均發(fā)展速度、增長速度、平均增長速度等來揭示現(xiàn)象的發(fā)展狀況和發(fā)展變化程度。

1.4時間序列常用分析方法

2、時間序列的構(gòu)成因素分析法

時間序列的構(gòu)成因素分析法是將時間序列看作是由長期趨勢、季節(jié)變動、循環(huán)變動和不規(guī)則變動幾種因素所構(gòu)成，將各影響因素分別從時間序列中分離出去并加以測定、對未來發(fā)展做出預測的過程。時間序列的這兩種基本分析方法，各有不同的特點和作用，各揭示不同的問題和狀況，分析問題時應視研究的目的和任務，分別采用或綜合應用。2.1發(fā)展水平

2.2平均發(fā)展水平

2.3增長量和平均增長量

2

時間序列的水平指標分析2.1發(fā)展水平

用t表示所觀察的時間，Y表示觀察值，則Yi（i=1,2,…,n）為時間ti上的觀察值。Yi也稱為現(xiàn)象在時間上的發(fā)展水平，簡稱水平，它表示現(xiàn)象在某一時間上所達到的數(shù)量狀態(tài)。若觀察值的時間范圍為t1，t2,，…，tn，相應的觀察值表示為Y1，Y2，…，Yn，其中Y1稱為最初發(fā)展水平，Yn稱為最末發(fā)展水平。若將整個觀察時期內(nèi)的各觀察值Y1，Y2，…，Yn與某個特定時期t0相應的觀察值Y0作比較時，其中Y0稱為基期水平，Y1，Y2，…，Yn稱為報告期水平。

平均發(fā)展水平是現(xiàn)象在時間ti（i=1,2,…,n）上各期觀察值Yi的平均數(shù)，又稱為序時平均數(shù)或動態(tài)平均數(shù)。1.根據(jù)絕對數(shù)時間序列計算序時平均數(shù)。(1)根據(jù)時期數(shù)列計算序時平均數(shù)。

(2)根據(jù)時點序列計算序時平均數(shù)。2.根據(jù)相對數(shù)或平均數(shù)時間序列計算序時平均數(shù)。

2.2平均發(fā)展水平2.2.1

根據(jù)時期數(shù)列計算序時平均數(shù)

時期序列中的各觀察值可以相加，形成一段時期內(nèi)的累計總量，所以時期序列的序時平均數(shù)可直接用各時期的觀察值之和除以時期項數(shù)來計算。其計算公式為：

式中，為序時平均數(shù)；n為觀察值的個數(shù)（時期項數(shù)）

（1）

例1：對表1中的國內(nèi)生產(chǎn)總值序列，計算年度平均國內(nèi)生產(chǎn)總值。

解：

要精確計算時點數(shù)列序時平均數(shù)就應該有每一瞬間都登記的資料，這在實際中幾乎是不可能的。在社會經(jīng)濟統(tǒng)計中一般是將一天看作一個時點，即以“一天”作為最小時間單位。這樣時點序列可認為有連續(xù)時點和間斷時點序列之分；而連續(xù)和間斷時點序列又有間隔相等與間隔不等之別。其序時平均數(shù)的計算方法略有不同。（1）間隔相等連續(xù)時點序時平均數(shù)的計算:

在統(tǒng)計中，以“天”為統(tǒng)計間隔的時點序列，視其為間隔相等的連續(xù)時點。其序時平均數(shù)可按式（1）計算。

2.2.2根據(jù)時點數(shù)列計算序時平均數(shù)2.2.2根據(jù)時點數(shù)列計算序時平均數(shù)

（2）間隔不相等連續(xù)時點序時平均數(shù)的計算:

如果數(shù)據(jù)資料登記的時間單位仍然是天，但實際上只在觀察值發(fā)生變動時才記錄一次。此時需采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的方法計算序時平均數(shù)，權(quán)數(shù)是每一觀察值的持續(xù)天數(shù)。計算公式如下：

（2）

[例2]某種商品5月份的庫存量記錄如表，計算5月份平均日庫存量。

表2某種商品庫存資料表日期1－45－108–2021－2627－31庫存量（臺）5055403530解：該商品5月份平均日庫存量為：2.2.2根據(jù)時點數(shù)列計算序時平均數(shù)

（3）間隔相等間斷時點序時平均數(shù)的計算:

實際工作中以月度、季度、年度為時間間隔單位進行統(tǒng)計的間斷時點（初/底/末），其序時平均數(shù)的計算時應先求出兩個相鄰觀察值的平均數(shù)，然后由此求出整個觀察期間的觀察值總量，最后再根據(jù)這一總量求得平均數(shù)。其基本計算公式為：

（3）上式表現(xiàn)為首末兩項觀察值折半，故稱為“首末折半法”。

[例3]根據(jù)表１中年末總?cè)丝跀?shù)序列，計算1991～2000年間的年平均人口數(shù)。

解：根據(jù)式（3）得

2.2.2根據(jù)時點數(shù)列計算序時平均數(shù)

（4）間隔不相等間斷時點序時平均數(shù)的計算:

（4）[例4]某企業(yè)某年庫存鋼材如表3所示，求該企業(yè)年平均鋼材庫存量。2.2.3

根據(jù)相對數(shù)或平均數(shù)時間序列計算序時平均數(shù)

相對數(shù)和平均數(shù)是兩個有聯(lián)系的相對數(shù)對比求得，用符號表示即。因此，由相對數(shù)或平均數(shù)序列計算序時平均數(shù)，不能直接根據(jù)該相對數(shù)或平均數(shù)序列中各項觀察值簡單平均計算（即不應當用的公式），而應當先分別計算構(gòu)成該相對數(shù)或平均數(shù)序列的分子序列和分母序列的序時平均數(shù)，再對比求得。用公式表示為：

（5）[例5]某企業(yè)上半年合同交貨情況如表４所示，計算上半年平均合同履約率。表4合同交貨情況月份123456合同定貨量（萬件合同交貨量（萬件）履約率（％）20199530279025251004038953029972020100解：根據(jù)式（5），得：[例6]某企業(yè)下半年勞動生產(chǎn)率資料如表5所示，計算平均月勞動生產(chǎn)率和下半年平均職工勞動生產(chǎn)率。表5某企業(yè)下半年勞動生產(chǎn)率資料6月7月8月9月10月11月12月a總產(chǎn)值（萬元）b月末職工人數(shù)（人）c勞動生產(chǎn)率（元/人）8746019489147019579448019799648020001024902103984802021914501957

解：從表5中可以看到，勞動生產(chǎn)率的分子總產(chǎn)值是時期指標，分母職工人數(shù)是時點指標。根據(jù)式（5）得：

平均月勞動生產(chǎn)率：下半年平均勞動生產(chǎn)率：或：平均月勞動生產(chǎn)率乘月份個數(shù)n，即2.3.1增長量

增長量是報告期水平與基期水平之差，用以說明現(xiàn)象在一定時期內(nèi)增減的絕對水平，也稱增長水平。由于所選擇基期的不同，增長量可分為逐期增長量和累積增長量。

逐期增長量是報告期水平與其前一期水平之差，說明本期較上期增減的絕對數(shù)量。

累積增長量是報告期水平與某一固定基期水平之差，說明報告期與某一固定時期相比增減的絕對數(shù)量。逐期增長量與累積增長量之間存在一定的關系：各逐期增長量的和等于相應時期的累積增長量；兩相鄰時期累積增長量之差等相應時期的逐期增長量。2.3.1增長量2.3.1增長量

設增長量為ΔYi，逐期增長量和累積增長量的一般形式可以寫為：

逐期增長量：

(i=1,2,…,n)

累積增長量：

(i=1,2,…n)

設時間數(shù)列中各期發(fā)展水平為：逐期增長量累計增長量二者的關系⒈⒉年距增長量本期發(fā)展水平與去年同期水平之差，目的是消除季節(jié)變動的影響年距増長量=報告期某月（季）發(fā)展水平－上年同月（季）發(fā)展水平2.3.2平均增長量

平均增長量是觀察期各逐期增長量的序時平均數(shù)，用于描述現(xiàn)象在觀察期內(nèi)平均每期增減的數(shù)量，也稱平均增長水平。它可以根據(jù)逐期增長量求得，也可以根據(jù)累積增長量求得。設平均增長量為，其計算公式為：

式中，n為逐期增長量個數(shù)，它等于觀察數(shù)據(jù)的個數(shù)減1。[例7]以表1資料，計算1991~2000年國內(nèi)生產(chǎn)總值年平均增長量。

解：（億元）

平均發(fā)展水平計算總結(jié)序時平均方法總量指標時期數(shù)列簡單算術(shù)平均時點數(shù)列連續(xù)時點間隔相等簡單算術(shù)平均間隔不等加權(quán)算術(shù)平均間斷時點間隔相等兩次簡單平均間隔不等先簡單后加權(quán)相對指標、平均指標視情況選用：先平均再相除、先加總再相除、加權(quán)算術(shù)平均、加權(quán)調(diào)和平均等3時間序列的速度指標分析3.1發(fā)展速度3.2增長速度3.3平均發(fā)展速度和平均增長速度3.4速度指標分析中應注意的問題3.1發(fā)展速度

發(fā)展速度是同一現(xiàn)象在兩個不同時期發(fā)展水平對比的結(jié)果，用于描述現(xiàn)象在觀察期內(nèi)的相對發(fā)展變化程度，說明報告期水平是基期水平的百分之幾或若干倍。當發(fā)展速度的計算結(jié)果大于100%，表明現(xiàn)象發(fā)展水平上升，反之，表明現(xiàn)象發(fā)展水平下降。

發(fā)展速度=報告期水平/基期水平×100%

3.1發(fā)展速度由于采用的基期不同，發(fā)展速度可以分為環(huán)比發(fā)展速度和定基發(fā)展速度。

環(huán)比發(fā)展速度是報告期水平與前一時期水平之比，說明現(xiàn)象逐期發(fā)展變化的程度。

定基發(fā)展速度是報告期水平與某一固定時期水平之比，說明現(xiàn)象在整個觀察期內(nèi)總的發(fā)展變化程度，有總速度之稱。

環(huán)比發(fā)展速度與定基發(fā)展速度之間存在著重要的數(shù)量關系：（1）觀察期內(nèi)各個環(huán)比發(fā)展速度的連乘積等于相應時期的定基發(fā)展速度；（2）兩個相鄰的定基發(fā)展速度，等于相應時期的環(huán)比發(fā)展速度。3.1發(fā)展速度

設發(fā)展速度為Xi，環(huán)比發(fā)展速度和定基發(fā)展速度的一般形式可以寫為：

環(huán)比發(fā)展速度：定基發(fā)展速度：兩者關系：年距發(fā)展速度3.2增長速度

增長速度也稱增長率，是增長量與基期水平之比，用于說明報告期水平較基期水平的相對增減程度。它可以根據(jù)增減量求得，也可以根據(jù)發(fā)展速度求得。其基本計算公式為：

增長速度等于發(fā)展速度減1。當發(fā)展速度大于1時，增長速度為正值，表示正增長；當發(fā)展速度小于1時，增長速度為負值，表示負增長。

增長速度由于采用的基期不同，增長速度也可分為環(huán)比增長速度和定基增長速度。前者是逐期增長量與前一時期水平之比，用于描述現(xiàn)象逐期增長的程度；后者是累積增長量與某一固定時期水平之比，用于描述現(xiàn)象在觀察期內(nèi)總的增長程度。3.2增長速度

設增長速度為ΔX，環(huán)比增長速度和定基增長速度的公式可寫為：環(huán)比增長速度：定基增長速度：

環(huán)比增長速度與定基增長速度之間沒有直接的換算關系。在由環(huán)比增長速度推算定基增長速度時，可先將各環(huán)比增長速度加1后連乘，再將結(jié)果減1，即得定基增長速度。增長1%的絕對值增長1%的絕對值它是逐期增長量除以環(huán)比增長速度，也可以表示為

增長1%的絕對值=

=基期水平(或前一期水平)×1%

[例8]我國1995~2002年郵電業(yè)務總量及其動態(tài)分析指標如表7所示。從表中可以看出所計算的發(fā)展速度和增長速度的關系。年份19951996199719981999200020012002郵電業(yè)務總量（億元）9891342177324313331474359337221發(fā)展速度（％）環(huán)比－135.7132.1137.1137.0142.4125.1121.7定基100135.7179.3245.8336.8479.6599.9730.1增長速度（％）環(huán)比－35.732.137.137.042.425.121.7定基－35.779.3145.8236.8379.6499.9630.1表7郵電業(yè)務總量及其速度分析指標計算表增長1%的絕對值（億元）9.8913.4217.7324.3133.3147.4359.33

3.3平均發(fā)展速度和平均增長速度

平均發(fā)展速度是現(xiàn)象各個時期環(huán)比發(fā)展速度的平均數(shù)，用于描述現(xiàn)象在整個觀察期內(nèi)平均發(fā)展變化的程度。

平均增長速度說明現(xiàn)象在整個觀察期內(nèi)平均增長變化的程度，也稱平均增長率。它通常用平均發(fā)展速度減1來求得。即：平均增長速度=平均發(fā)展速度－1

平均發(fā)展速度的計算通常采用水平法和累計法。

3.3.1水平法（幾何平均法）

根據(jù)各期的環(huán)比發(fā)展速度采用幾何平均法計算，計算公式為：式中，為平均發(fā)展速度；Xi為各期環(huán)比發(fā)展速度；n為環(huán)比發(fā)展速度的個數(shù)。平均發(fā)展速度的計算公式還可以表示為：3.3.1水平法（幾何平均法）

應用水平法計算平均發(fā)展速度的基本思想和原理是，從最初水平Y(jié)o

出發(fā)，每期按平均發(fā)展速度發(fā)展，經(jīng)過n期后將達到最末水平Y(jié)n

，即。因此，用水平法計算的平均發(fā)展速度推算出的最末期數(shù)值與最末期實際觀察值是一致的。按水平法計算的平均發(fā)展速度，實際上只與序列的最初觀察值

Yo和最末觀察值Yn有關，而與其它各觀察值無關，這一特點表明，水平法旨在考察現(xiàn)象在最末一期所應達到的發(fā)展水平。在實際應用中，如果我們所關心的是現(xiàn)象在最后一期應達到的水平，例如最末期所達到的工業(yè)生產(chǎn)能力等的增長，則采用水平法計算平均發(fā)展速度比較合適。

[例9]根據(jù)表7資料，計算我國1995~2002年郵電業(yè)務總量平均發(fā)展速度。

解：年份19951996199719981999200020012002郵電業(yè)務總量（億元）9891342177324313331474359337221發(fā)展速度（％）環(huán)比－135.7132.1137.1137.0142.4125.1121.7定基100135.7179.3245.8336.8479.6599.9730.1增長速度（％）環(huán)比－35.732.137.137.042.425.121.7定基10035.779.3145.8236.8379.6499.9630.1例：某地區(qū)2002年職工年平均工資為11100元,到了2007年時的職工平均工資為18742的平均發(fā)展速度及平均增長速度.

解：平均發(fā)展速度為：平均增長速度為：3.3.2累計法（方程法）若關心末期發(fā)展水平時，宜采用幾何平均法計算平均發(fā)展速度，例如產(chǎn)量、產(chǎn)值、人口數(shù)等流量指標；若關心各期累計水平時，宜采用累計法計算平均發(fā)展速度，例如基本建設投資、植樹造林面積等存量指標。3.3.2累計法（方程法）用解高次方程的正根來計算平均發(fā)展速度。采用這種計算方法，要求現(xiàn)象在期初水平基礎上，按某一平均發(fā)展速度達到的各期水平之和，與各期實際水平總和相一致，即：

（*）

解式（*）高次方程得到的正根，即為按累計法（方程法）求得的平均發(fā)展速度。3.3.2累計法（方程式法）由于解高次方程比較麻煩，在實際工作中有事先編好的《平均增長速度查對表》供查對。使用查對表時要先判定序列是遞增發(fā)展還是遞減發(fā)展。若的結(jié)果>100%，則所求結(jié)果為遞增速度，應在遞增速度部分查找的數(shù)值，與此對應的百分比即為所求的平均遞增速度；若結(jié)果<100%，即為遞減速度，查表中的遞減部分，方法相同。

表8五年期間的年平均增長速度查對簡表平均年增長(%)5年發(fā)展水平總和為基期的%平均年增長(%)5年發(fā)展水平總和為基期的(%)平均年增長(%)5年發(fā)展水平總和為基期的(%)12345678910515.2530.8546.8563.3580.2597.5615.3633.6652.3671.611121314151617181920691.3711.5732.3753.5775.4797.7820.7844.2868.3893.021222324252627282930918.3944.2970.8998.01025.91054.41083.71113.61144.21175.6

[例10]已知某地區(qū)公路建設投資為10億元，“十一五”計劃2006年至2010年5年累計公路建設總投資75億元，那么投資年平均增長百分之幾才能完成目標？

解：已知Yo=10，n=5,

則，

∵=750%÷5＞100%求增長速度，查《平均增長速度查對表》中的增長速度部分。根據(jù)n=5，找到750%這個數(shù)字介于732.3%~753.5%之間，其平均增長速度介于13%~14%之間?？捎貌逖a法確定平均增長速度的位置。首先，用753.5%-732.3%=21.2%，即每1%平均增長速度相當全期總水平對基期水平之比的增量21.2%，而750%減732.3%所得的增量為17.7%，所以：21.2%：1%=17.7%：x則平均增長速度=13%+0.83%=13.83%計算結(jié)果說明，該地區(qū)“十一五”期間公路建設投資年平均增長13.83%才能完成目標。

3.4速度指標分析中應注意的問題

對于大多數(shù)時間序列，特別是有關社會經(jīng)濟現(xiàn)象的時間序列，我們經(jīng)常利用速度指標來描述其發(fā)展的數(shù)量特征。盡管速度指標在計算與分析上都比較簡單，但實際應用中，有時也會出現(xiàn)誤用乃至濫用速度的現(xiàn)象。因此，在應用速度指標分析實際問題時，應注意以下幾方面的問題。1、當時間序列中的觀察值出現(xiàn)0或負數(shù)時，不宜計算速度指標。2、在有些情況下，不能單純就速度論速度，要注意速度與基期絕對水平的結(jié)合分析，通常是計算增長1％的絕對值來分析。時間數(shù)列的速度分析指標時間數(shù)列的水平分析指標發(fā)展水平增長量平均發(fā)展水平平均增長量增長速度發(fā)展速度平均增長速度平均發(fā)展速度動態(tài)平均指標動態(tài)比較指標

4長期趨勢的測定

4.1時距擴大法4.2移動平均法4.3趨勢方程法（趨勢線擬合法）

測定長期趨勢的意義

時間序列分析的一項重要內(nèi)容就是根據(jù)過去已有的數(shù)據(jù)來預測未來的結(jié)果。利用時間序列數(shù)據(jù)進行預測時，通常假定過去的變化趨勢會延續(xù)到未來，這樣就可以根據(jù)過去已有的形態(tài)或模式進行預測。此外，研究趨勢的目的之一，也是為了將其從時間序列中予以剔除，以便觀察和分析其他各影響因素。

把握現(xiàn)象隨時間演變的趨勢和規(guī)律；對事物的未來發(fā)展趨勢作出預測；便于更好地分解研究其他因素。4.1時距擴大法這是測定長期趨勢最原始最簡便的方法。將時間序列指標值所屬的時間單位予以擴大，然后對新單位內(nèi)的指標值進行合并，便得到一個擴大了時距的時間序列。其作用是消除較小時距單位內(nèi)偶然因素的影響，顯示現(xiàn)象變動的基本趨勢。我國1985~1996年的松脂產(chǎn)量及變動趨勢

單位：噸年份198519861987198819891990松脂產(chǎn)量343947416827522917461370486837435244年份199119921993199419951996松脂產(chǎn)量440431469331580780569270548133580819松脂產(chǎn)量變動趨勢1985~19871988~19901991~19931994`19961283691138345114905421698222應用時距擴大法需要注意的問題：這一方法只適用于時期序列，因為只有時期序列的發(fā)展水平才具有可加性。擴大的時距多大為宜取決于現(xiàn)象自身的特點。對于呈現(xiàn)周期波動的序列，擴大的時距應與波動周期相吻合；對于一般的時間序列，則要逐步擴大時距，以能夠顯示趨勢變動的方向為宜。時距擴大太多，將造成信息的損失。擴大后的時距要一致，相應的發(fā)展水平才具有可比性。4.2移動平均法

移動平均法，是通過對時間序列逐期遞移求得平均數(shù)作為趨勢值或預測值的一種平滑法，對時間數(shù)列的各項數(shù)值，按照一定的時間間隔進行逐期移動，計算出一系列序時平均數(shù)，形成一個新的時間數(shù)列。以此削弱不規(guī)則變動的影響，顯示出原數(shù)列的長期趨勢。

設移動間隔長度為K，則移動平均數(shù)序列可以寫為：，式中為移動平均趨勢值；K為大于1小于n的正整數(shù)。

4.2移動平均法移動平均法的步驟：⒈確定移動時距⒉計算各移動平均值，并將其編制成時間數(shù)列一般應選擇奇數(shù)項進行移動平均；若原數(shù)列呈周期變動，應選擇現(xiàn)象的變動周期作為移動的時距長度。奇數(shù)項移動平均:原數(shù)列移動平均新數(shù)列4.2移動平均法移動平均移正平均新數(shù)列偶數(shù)項移動平均:原數(shù)列4.2移動平均法原數(shù)列三項移動平均五項移動平均四項移動平均

[例12]根據(jù)我國1986~2000年居民消費價格指數(shù)序列，如表10所示。分別計算3年，5年的移動平均趨勢值，并進行比較。

表101986~2000年我國居民消費價格指數(shù)（單位：%）月份消費價格指數(shù)趨勢值（k=3）趨勢值（k=5）198619871988198919901991199219931994199519961997199819992000106.5107.3118.8118.0103.1103.4106.4114.7124.1117.1108.3102.899.298.6100.4－110.9114.7113.3108.2104.3108.2115.1118.6116.5109.4103.4100.299.4－－－110.7110.1109.9109.1110.3113.1114.1113.4110.3105.2101.9－－解：根據(jù)簡單移動平均公式，當k=3時，移動平均趨勢值Y1=110.9；k=5時，Y1=110.7，其余各期同理，結(jié)果見表10。分析表10中各列數(shù)據(jù)，移動間隔越長，所得趨勢值越少，個別觀察值的影響作用越弱，移動平均序列所表現(xiàn)的趨勢越明顯。通過移動平均所得到的移動平均數(shù)序列，要比原始數(shù)據(jù)序列勻滑，并且5項移動平均數(shù)序列又比3項移動平均數(shù)序列勻滑。

應用移動平均法應注意的問題(一)

1、確定合理的移動間隔長度（k）不同的移動間隔長度趨勢描述的準確性是不同的。可通過試驗分別計算不同k值條件下的均方誤差（即趨勢誤差平方和的平均數(shù)，MSE，），選擇一個使均方誤差達到最小的k。當序列包含季節(jié)變動時，移動間隔長度應與季節(jié)變動長度一致（如k=4、k=12）。才能消除其季節(jié)變動；當序列包含有一定的周期性，移動間隔長度應注意與周期長度相吻合，才能較好地消除循環(huán)波動。2、把移動平均后的趨勢值放在各移動項的中間位置若移動間隔長度k為奇數(shù)時，一次移動即得趨勢值；若k為偶數(shù)時，因移動平均值對應的中點是在兩個時期之間，故不能作為趨勢值，還必須需將第一次得到的移動平均值再作一次2項移動平均，才能得到最后的趨勢值。因此，該趨勢值也可以叫移正趨勢值。應用移動平均法應注意的問題(二)

3、移動平均法不能作為外推預測因為移動平均后，首尾都要損失若干信息量。移動間隔長度k為奇數(shù)時，所形成的趨勢值時間序列首尾各缺少（

k-1）/2個時期的趨勢值；移動間隔長度k為偶數(shù)時，所形成的趨勢值時間序列首尾各缺少k/2個時期的趨勢值。4.3趨勢線擬合法是通過數(shù)學方法對時間數(shù)列配合一條理想的趨勢方程,使其與原數(shù)列曲線達到最優(yōu)擬合。直線趨勢方程曲線趨勢方程……判斷趨勢類型計算待定參數(shù)利用方程預測定性分析趨勢線擬合法的基本程序判斷趨勢類型繪制散點圖分析數(shù)據(jù)特征當數(shù)據(jù)的一階差分趨近于一常數(shù)時，可以配合直線方程當數(shù)據(jù)的二階差分趨近于一常數(shù)時，可以配合二次曲線方程當數(shù)據(jù)的環(huán)比發(fā)展速度趨近于一常數(shù)時，可配合指數(shù)曲線方程趨勢線擬合法的基本程序

4.3.1直線趨勢

當現(xiàn)象的發(fā)展呈線性趨勢變化時，就可以配合一直線。直線趨勢方程的一般形式：（*2）式中，為時間序列的趨勢值；t為時間序號；a為趨勢線在Y軸上的截距，是當t=0時的數(shù)值；b為趨勢線的斜率，表示時間t變動一個單位時，趨勢值

的平均變動數(shù)量。對于（*2）方程中的參數(shù)a、b，按最小平方法的原理（*1）得：最小值，根據(jù)數(shù)學分析中的求極值原理，用偏微分法，可得到兩個標準方程。其運算過程如下：由，取Q分別關于a、b

的偏導數(shù)，并令它們等于零。即：

4.3.1直線趨勢

整理后可得參數(shù)和b的標準求解方程：

解得：

其中，n代表時間的項數(shù)，時間t為1、2、3、……、

n。

直線趨勢

為使計算更簡便些，用坐標移位方法將原點O移到時間序列的中間項，使∑t＝0。當項數(shù)n為奇數(shù)時，中間項為0，時間各項依次設成：……–3，–2，–1，0；1，2，3，……；當項數(shù)n為偶數(shù)時，中間的兩項分別設－1，1，t各項依次設成：……–5，–3，–1；1，3，5，……。這樣求解公式便可簡化為：

年份tGDP(y)tyt21993199419951996199719981999200020012002200320042005123456789101112137610.68491.39448.09832.210209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.07610.616982.628344.039328.851045.566886.289145.7115623.2146547.9179937.0216902.4257456.4300677.0149162536496481100121144169合計91182505.81516487.3819例已知某地GDP資料（單位：億元）如下，擬合直線趨勢方程，并預測2006年的水平。解預測[例14]某地區(qū)1991－2003年的社會商品零售額資料見表12，用最小平方法進行長期趨勢分析，并預測2005年該地區(qū)的社會商品零售額。

表12某地區(qū)1991－2003年的社會商品零售額年份時間t社會商品零售額y（萬元）逐期增長量（萬元）t21991199219931994199519961997199819992000200120022003－6－5－4－3－2－10123456291.4357.9400.5468.1442.7484.7450.8537.5661.1699.8764.3780.7817.0－66.542.667.5－25.442.0－33.986.7123.638.764.516.136.33625169410149162536－1748.4－1789.5－1602.0－1404.3－885.4－484.70537.51322.22099.43057.23903.54902.0289.81333.26376.71420.16463.60507.05550.50593.95637.40680.84724.29767.74811.19合計07156.5

－1827907.57156.5

解：先根據(jù)表12的時間序列各項發(fā)展水平，計算逐期增長量，并繪制趨勢圖（此略），由于在－33.9萬元至123.6萬元之間波動，趨勢圖上也呈現(xiàn)一條向上增長的直線。故應建立直線型趨勢方程式。采用簡捷法，求解參數(shù)a、b，運用公式：將a、b值代入直線方程（*2），得：

把代表各年份的t值代入上式，便求得相對應的趨勢值，見表12的右欄。從表中可看到，各年社會商品零售額實際值（）總和與趨勢值總和是相等的，即利用所求的直線趨勢方程，可以直接預測該地區(qū)2005年的社會商品零售額。代入t＝8，2005年的社會商品零售額預測值：

4.3.2指數(shù)曲線趨勢

指數(shù)曲線趨勢方程的形式為：

進行指數(shù)曲線趨勢線的擬合，必須先將指數(shù)曲線化為直線型的形式，再運用最小平方法。先對指數(shù)曲線方程兩邊取對數(shù)：設

指數(shù)曲線方程式化為：對于上式，可以用最小平方法求A、B值，再用反對數(shù)方法求得a、b值。從而建立指數(shù)曲線趨勢方程并進行預測。

4.3.3二次曲線趨勢

當現(xiàn)象發(fā)展趨勢呈現(xiàn)拋物線型時，可擬合二次曲線。其方程為：

曲線中的三個未知參數(shù)a,b,c,

仍可根據(jù)最小二乘法求得。其標準方程組為：

可以將時間序列中間時期設為原點，即有∑t=0，，則上式可簡化為：

可根據(jù)現(xiàn)象觀察值的發(fā)展變化規(guī)律及其散點圖的形態(tài)確定適當?shù)内厔菥€類型，這在一定程度上取決于研究者的個人經(jīng)驗及理論知識水平。還可根據(jù)所觀察時間序列的數(shù)據(jù)特征，按以下標準考慮選擇趨勢線：

(1)若觀察值的一次差（逐期增長量）大致相同，可考慮配合直線；

(2)若二次差（逐期增長量的逐期增長量）大致相同，可考慮配合二次曲線；

(3)若各觀察值的環(huán)比增長速度大致相同，可考慮配合指數(shù)曲線。如果對同一時間序列有幾種趨勢線可供選擇，以估計標準誤差最小者為宜。計算公式為：

式中，Sy估計標準誤差；m為趨勢方程中未知參數(shù)的個數(shù)。5季節(jié)變動、循環(huán)變動分析5.1季節(jié)變動分析5.2循環(huán)變動的測定5.1季節(jié)變動分析

季節(jié)變動是指現(xiàn)象受自然因素和社會習俗等因素影響而發(fā)生的有規(guī)律的周期性變動。季節(jié)變動往往會給社會生產(chǎn)和人們的經(jīng)濟生活帶來一定影響，如會影響某些商品的生產(chǎn)、銷售與庫存。飲料的生產(chǎn)量及銷售量在一年內(nèi)的變化用電量在一年之內(nèi)的增減蔬菜價格在一年內(nèi)的波動鮮花銷售每年的幾個旺季每年旅客運輸?shù)母叻迤凇竟?jié)變動分析

測定季節(jié)變動的目的，一是通過分析與測定過去的季節(jié)變動規(guī)律，為當前的決策提供依據(jù)；二是為了對未來現(xiàn)象季節(jié)變動作出預測，以便提前作出合理的安排；三是當時間序列被用來分析經(jīng)濟趨勢時，能夠剔除季節(jié)性變動因素對序列的影響。5.1季節(jié)變動分析

季節(jié)變動分析的基本原理：對一個時間序列計算出季節(jié)指數(shù)（季節(jié)比率），然后根據(jù)各季節(jié)指數(shù)與其平均數(shù)（100%）的偏差程度來測定季節(jié)變動的程度。

季節(jié)指數(shù)是各月（季）平均數(shù)與全年總月（季）平均數(shù)的比值。它以全期的總平均水平為基準（100%），用百分比形式來反映各月（季）平均水平相對于總平均水平的高低程度。季節(jié)指數(shù)高說明“旺”，反之說明“淡”。

注意：各月（或季）的指數(shù)之和應等于1200%（或400%）。5.1季節(jié)變動分析

測定季節(jié)變動的方法從是否考慮長期趨勢的影響看，可分為兩種：

一是，不排除長期趨勢的影響，直接根據(jù)原時間序列來測定；二是，依據(jù)剔除長期趨勢后的時間序列來測定。前者常用簡單平均法，后者常用移動平均趨勢剔除法。但是，不管采用哪種方法，都需具備連續(xù)多年的各月（季）資料，以保證所求的季節(jié)比率具有代表性，從而能比較客觀地描述現(xiàn)象的季節(jié)變動。

5.1.1簡單平均法

簡單平均法也稱按月（季）平均法，是直接根據(jù)原時間序列不剔除長期趨勢因素，通過簡單平均直接計算季節(jié)指數(shù)的方法。

基本思想是，計算出各年同月平均數(shù)，以消除隨機影響，作為該月（或季）的代表值；然后計算出全部月（或季）的總平均數(shù)，作為全年的代表值；再將同月（或同季）平均數(shù)與全部月（或季）的總平均數(shù)進行對比，即為季節(jié)指數(shù)。具體步驟如下：1）計算各年同月（季）的平均數(shù)，其目的是消除各年同一月份（季度）數(shù)據(jù)上的不規(guī)則變動；

2）計算若干年內(nèi)月（季）的總平均數(shù)；

3）計算季節(jié)指數(shù)，將若干年內(nèi)同月（季）的平均數(shù)與總的月（季）平均數(shù)相比，用百分數(shù)表示，即求得各月（季）的季節(jié)指數(shù)。公式為：

[例16]表14是一家啤酒生產(chǎn)企業(yè)1997~2002年各季度的啤酒銷售量數(shù)據(jù)。試按簡單平均法計算各季節(jié)指數(shù)。

表14某啤酒生產(chǎn)企業(yè)各季度的銷售量（單位：萬噸）

年份季度1234199719981999200020012002253029302931323839394243374250515554263035373841

解：某啤酒生產(chǎn)企業(yè)銷售量季節(jié)指數(shù)計算見表15

表15某啤酒生產(chǎn)企業(yè)銷售量季節(jié)指數(shù)計算表（單位：萬噸）季度年份季度全年合計1234199719981999200020012002253029302931323839394243374250515554263035373841120140153157164169同季合計174233289207903同季平均2938.8348.1734.5037.625季節(jié)指數(shù)%77.08103.20128.0291.69100.00由表15的資料可知，某啤酒生產(chǎn)企業(yè)銷售量季節(jié)指數(shù)以第3季度的128.02％為最高，而第1季度的77.08％為最低。5.1.1簡單平均法按月（季）平均法計算比較簡單，但應當注意，運用此法的基本假定是原時間序列沒有明顯的長期趨勢和循環(huán)變動，通過各年同期的數(shù)據(jù)的平均，可以消除不規(guī)則變動，而且當所平均的期間與循環(huán)周期基本一致時，也一定程度上消除了循環(huán)波動。但實際上，許多時間序列所包含的長期趨勢和循環(huán)波動，很少能夠通過平均予以消除。因此，當時間序列存在明顯的長期趨勢時，該方法的季節(jié)指數(shù)不夠準確。所以只有當序列的長期趨勢和循環(huán)變動不明顯時，運用此法才比較合適。

5.1.2趨勢剔除法

趨勢剔除法的基本思想是先將時間序列中的長期趨勢因素予以消除，然后再用平均的方法消除不規(guī)則變動，從而較準確地分解出季節(jié)變動的成分。其中，序列中的趨勢值可采用移動平均法求得，也可采用趨勢方程擬合法求得。假定包含季節(jié)變動的時間序列的各影響因素是以乘法模型形式組合,其結(jié)構(gòu)為。

測定季節(jié)變動的步驟（1）根據(jù)時間序列月份（或季度）數(shù)據(jù)，計算12個月（或4個季度）移動平均趨勢值T。通過移動平均，消除季節(jié)變動S和不規(guī)則變動I，所得移動平均的結(jié)果只包含趨勢變動T和循環(huán)變動C;

（2）將各實際觀察值Y除以相對應的移動平均趨勢值T，即：求得消除趨勢變動的序列：

測定季節(jié)變動的步驟

（3）將消除趨勢變動的序列（S×I），重新按月（季）排列，求得各年同月（或同季）平均數(shù)，以消除不規(guī)則變動I的影響；再將其分別除以總平均數(shù)，即得季節(jié)指數(shù)S（計算方法同簡單平均法）。

（4）把各月（季）的季節(jié)指數(shù)加起來，其總計數(shù)應等于1200％（季資料應等400%），如果不符，應求出校正系數(shù)，把校正系數(shù)分別乘上各月（季）的季節(jié)指數(shù)，即得剔除長期趨勢后的季節(jié)變動指數(shù)。

校正系數(shù)=[例17]根據(jù)表16的資料，運用移動平均趨勢剔除法測定啤酒企業(yè)銷售量的季節(jié)變動。

解：有關計算過程見表16和表17。

年份/季度時間序號t銷售量（Y）四項移動平均移正平均（T）剔除趨勢值（Y/T）1997/123412342532372630.0031.2532.7534.0035.0034.7535.0037.0038.2538.5038.5038.7539.2539.0039.7540.7541.0041.5041.7541.5042.25－－30.62532.000－－1.20820.81251998/123456783038423033.37534.50034.87534.8750.89891.10141.20430.86021999/123491011122939503536.00037.62538.37538.5000.80561.03651.30290.90912000/1234131415163039513738.62539.00039.12539.3750.77671.00001.30350.93972001/1234171819202942553840.25040.87541.25041.6250.72051.02751.33330.91292002/1234212223243143544141.62541.875－－0.74471.0269－－表16移動平均趨勢剔除計算表表17季節(jié)指數(shù)計算表季度年份季度1234199719981999200020012002－0.89890.80560.77670.72050.7447－1.10141.03651.00001.02751.02691.20821.2043