高數(shù)經(jīng)管類-第七章二元微分學-7.1二元函數(shù)

第七章二元函數(shù)微分學7.1二元函數(shù)及其偏導數(shù)

7.1.1二元函數(shù)概念定義7.1.1設有三個變量．如果當變量在它們的變化范圍內(nèi)任意取定一組數(shù)值時，按照某一確定的對應法則，變量都有唯一確定的數(shù)值與之對應，則稱變量為變量的二元函數(shù)，記為其中稱為自變量，的變化范圍稱為二元函數(shù)的定義域．變量稱為因變量．二元函數(shù)的定義域就是平面上的許許多多的點構成的一個點的集合，通常稱為平面區(qū)域，簡稱區(qū)域．圍成區(qū)域的曲線稱為邊界．包含邊界上的所有點的區(qū)域，稱為閉區(qū)域；不包含邊界上的所有點的區(qū)域稱為開區(qū)域；包含邊界上部分點的區(qū)域稱為半開半閉區(qū)域。例1

求下列函數(shù)的定義域．

（1）（2）（3）解（1）因為真數(shù)必須大于零，所以，即如圖所示，這是一個無界的開區(qū)域．

（2）因為負數(shù)沒有平方根，所以，即如圖所示，這是由平面上以原點為圓心，2為半徑的圓周內(nèi)以及圓周上的點組成的閉區(qū)域．

（3）因為分式的分母不能為零，所以，即如圖所示，這是一個不包含原點的平面區(qū)域．

7.1.2偏導數(shù)定義7.1.2

設二元函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義．若極限存在，則稱此極限值為二元函數(shù)在點對自變量的偏導數(shù)，記為，或即類似地，可以定義函數(shù)在點對自變量的偏導數(shù)為由此可見，所謂二元函數(shù)的偏導數(shù)，實質(zhì)上就是將其中一個自變量暫時固定為常數(shù)，將二元函數(shù)看成是另外一個自變量的函數(shù)的導數(shù)，這就相當于對一個一元函數(shù)求導數(shù)．

如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的每一點都有對的偏導數(shù)時，那么這個偏導數(shù)仍然是自變量的二元函數(shù)，稱為對的偏導函數(shù)，簡稱偏導數(shù)，記作

，或．

類似地，函數(shù)對的偏導函數(shù)，簡稱偏導數(shù)，記作

，

或

．例2

求二元函數(shù)在點的兩個偏導數(shù)和．

解因為

=所以=又所以例3

求二元函數(shù)的偏導數(shù)和．解把看成常量時，函數(shù)就是冪函數(shù)，所以

把看成常量時，函數(shù)就是指數(shù)函數(shù)，所以例4

求二元函數(shù)的偏導數(shù)和．

解因為把看成是常量時，也是常量，所以同理，把看成是常量時，也是常量，所以7.1.3高階偏導數(shù)二元函數(shù)的偏導數(shù)仍然是自變量的二元函數(shù)，如果這兩個偏導數(shù)也存在導數(shù)，那么對這兩個偏導數(shù)繼續(xù)求偏導數(shù)就得到了二階偏導數(shù)．二元函數(shù)的二階偏導數(shù)一共有四個，分別是（1），記作，或．

（1），記作，或．

（3），記作，或．

（4），記作，或．

其中，與稱為混合偏導數(shù)．當與在其定義域內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)時，有

==或例5

求二元函數(shù)