概率論與數(shù)理統(tǒng)計多媒體課件(方茹)第二章1條件概率與獨立性

條件概率與獨立性第二章第一講條件概率、乘法公式

在解決許多概率問題時，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.一、條件概率1.條件概率的概念如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A|B).一般P(A|B)≠P(A)

P(A)=1/6，例如，擲一顆均勻骰子，A={擲出2點}，

B={擲出偶數(shù)點}，P(A|B)=？擲骰子已知事件B發(fā)生，此時試驗所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B，于是P(A|B)=1/3.B中共有3個元素，它們的出現(xiàn)是等可能的，其中只有1個在集A中，容易看到P(A|B)P(A)=3/10，又如，10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.現(xiàn)從這10件中任取一件，記

B={取到正品}A={取到一等品}，P(A|B)P(A)=3/10，

B={取到正品}P(A|B)=3/7本例中，計算P(A)時，依據(jù)的前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比例.A={取到一等品}，計算P(A|B)時，這個前提條件未變，只是加上“事件B已發(fā)生”這個新的條件.這好象給了我們一個“情報”，使我們得以在某個縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題.若事件B已發(fā)生,則為使A也發(fā)生,試驗結(jié)果必須是既在B中又在A中的樣本點,即此點必屬于AB.由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生,故B變成了新的樣本空間,于是

有(1).設(shè)A、B是兩個事件，且P(B)>0,則稱

(1)2.條件概率的定義為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的條件概率.同理可證：其中Ｐ(A)>0為在事件A發(fā)生的條件下，事件B的條件概率。3.條件概率的性質(zhì)(自行驗證)設(shè)B是一事件，且P(B)>0,則1.對任一事件A，0≤P(A|B)≤1;2.P(S|B)=1；3.設(shè)A1,…,An…互不相容，則P[(A1+…+An

…)|B]=P(A1|B)+…+P(An|B)…而且，前面對概率所證明的一些重要性質(zhì)都適用于條件概率.請自行寫出.

2)從加入條件后改變了的情況去算

4.條件概率的計算1)用定義計算:P(B)>0擲骰子例：A={擲出2點}，

B={擲出偶數(shù)點}P(A|B）=B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點總數(shù)在縮減樣本空間中A所含樣本點個數(shù)例1擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點,問“擲出點數(shù)之和不小于10”的概率是多少?解法1:解法2:設(shè)A={擲出點數(shù)之和不小于10}B={第一顆擲出6點}應(yīng)用定義在B發(fā)生后的縮減樣本空間中計算解：

由條件概率的定義：即若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而P(AB)=P(BA)二、乘法公式若已知P(B),P(A|B)時,可以反求P(AB).將A、B的位置對調(diào)，有故P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若

P(A)>0,則P(BA)=P(A)P(B|A)

(2)和(3)式都稱為乘法公式,利用它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率當(dāng)P(A1A2…An-1)>0時，有P(A1A2…An）=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)推廣到多個事件的乘法公式:注意P(AB)與P(A|B)的區(qū)別！請看下面的例子例2甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個零件，其中300件是乙廠生產(chǎn)的.而在這300個零件中，有189個是標(biāo)準(zhǔn)件，現(xiàn)從這1000個零件中任取一個，問這個零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少？所求為P(AB).甲、乙共生產(chǎn)1000個189個是標(biāo)準(zhǔn)件300個乙廠生產(chǎn)300個乙廠生產(chǎn)設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)}A={是標(biāo)準(zhǔn)件}解：

所求為P(AB).設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)}A={是標(biāo)準(zhǔn)件}若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的,問它是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少?”求的是P(A|B).B發(fā)生,在P(AB)中作為結(jié)果;在P(A|B)中作為條件.甲、乙共生產(chǎn)1000個189個是標(biāo)準(zhǔn)件300個乙廠生產(chǎn)例3設(shè)某種動物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4.問現(xiàn)年20歲的這種動物，它能活到25歲以上的概率是多少？設(shè)A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依題意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求為P(B|A).解：

條件概率P(A|B)與P(A)的區(qū)別

每一個隨機(jī)試驗都是在一定條件下進(jìn)行的，設(shè)A是隨機(jī)試驗的一個事件，則P(A)是在該試驗條件下事件A發(fā)生的可能性大小.P(A)與P(A|B)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是兩個不同的概念,在數(shù)值上一般也不同.

而條件概率P(A|B)是在原條件下又添加“B發(fā)生”這個條件時A發(fā)生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.乘法公式應(yīng)用舉例一個罐子中包含b個白球和r個紅球.隨機(jī)地抽取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個與所抽出的球具有相同顏色的球.這種手續(xù)進(jìn)行四次，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率.

（波里亞罐子模型）b個白球,r個紅球于是W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個球，第一、第二個是白球，第三、四個是紅球.”

b個白球,r個紅球隨機(jī)取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個與所抽出的球具有相同顏色的球.設(shè)Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是紅球}，j=1,2,3,4

解:

用乘法公式容易求出當(dāng)c>0時，由于每次取出球后會增加下一次也取到同色球的概率.這是一個傳染病模型.每次發(fā)現(xiàn)一個傳染病患者，都會增加再傳染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)例4：一批產(chǎn)品共100個，其中有10個次品，每次從中任取一個，取出不放回，求第三次才取到正品的概率。設(shè)A=第三次才取到正品，Ai=第i次取到次品,i=1,2,3解：

例5．反導(dǎo)彈對敵方導(dǎo)彈最多可進(jìn)行3次攔截，每次攔截的成功率為0.9，求3次攔截的總成功率。設(shè)A=攔截成功，Ai=第i次攔截成功，i=1,2,3則

解：

第二講全概率公式

例1有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅3白球，3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率.記

Ai={球取自i號箱},

i=1,2,3;

B={取得紅球}即B=A1B+A2B+A3B，

且A1B、A2B、A3B兩兩互斥B發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3之一同時發(fā)生，P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)運(yùn)用加法公式得123解：

將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的全概率公式.對求和中的每一項運(yùn)用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入數(shù)據(jù)計算得：P(B)=8/15全概率公式:

設(shè)A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n,另有一事件B,它總是與A1,A2,…,An之一同時發(fā)生，或(A1＋A2＋…＋An)B則

設(shè)S為隨機(jī)試驗的樣本空間，A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且有P(Ai)>0，i=1,2,…,n,全概率公式:稱滿足上述條件的A1,A2,…,An為完備事件組.則對任一事件B，有在一些教科書中，常將全概率公式敘述為：在較復(fù)雜情況下直接計算P(B)不易,但B總是伴隨著某個Ai出現(xiàn)，適當(dāng)?shù)厝?gòu)造這一組Ai往往可以簡化計算.全概率公式的來由,不難由上式看出:“全”部概率P(B)被分解成了許多部分之和.它的理論和實用意義在于:某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，則B發(fā)生的概率是每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式.我們還可以從另一個角度去理解由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”，每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān).全概率公式表達(dá)了它們之間的關(guān)系.A1A2A3A4A5A6A7A8B諸Ai是原因B是結(jié)果

例2甲、乙、丙三人同時對飛機(jī)進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7.飛機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中,飛機(jī)必定被擊落,求飛機(jī)被擊落的概率.設(shè)B={飛機(jī)被擊落}

Ai={飛機(jī)被i人擊中},i=1,2,3由全概率公式

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)則B=A1B+A2B+A3B解:依題意，P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,

P(B|A3)=1可求得:為求P(Ai),

設(shè)Hi={飛機(jī)被第i人擊中},i=1,2,3將數(shù)據(jù)代入計算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.于是

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+

P(A3)P(B|A3)=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飛機(jī)被擊落的概率為0.458.該球取自哪號箱的可能性最大?實際中還有下面一類問題，是“已知結(jié)果求原因”這一類問題在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小.某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號箱的概率.1231紅4白或者問:第三講貝葉斯公式

有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅球3白球，3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號箱的概率

.1231紅4白?某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號箱的概率.記Ai={球取自i號箱},i=1,2,3;

B={取得紅球}求P(A1|B)運(yùn)用全概率公式計算P(B)將這里得到的公式一般化，就得到貝葉斯公式1231紅4白?該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個原因的概率.貝葉斯公式：

設(shè)A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n,另有一事件B，它總是與A1,A2,…,An之一同時發(fā)生，且P(B)>0,則貝葉斯公式在實際中有很多應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件B）發(fā)生的最可能原因.

例3某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大?則表示“抽查的人不患癌癥”.已知

P(C)=0.005,P()=0.995,

P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04解:設(shè)C={抽查的人患有癌癥}，

A={試驗結(jié)果是陽性}，求P(C|A).現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義.由貝葉斯公式，可得代入數(shù)據(jù)計算得:

P(C｜A)=0.10662.檢出陽性是否一定患有癌癥?

1.這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有無意義？如果不做試驗,抽查一人,他是患者的概率

P(C)=0.005

患者陽性反應(yīng)的概率是0.95，若試驗后得陽性反應(yīng)，則根據(jù)試驗得來的信息，此人是患者的概率為P(C｜A)=0.1066說明這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有意義.從0.005增加到0.1066,將近增加約21倍.1.這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有無意義？2.檢出陽性是否一定患有癌癥?

試驗結(jié)果為陽性,此人確患癌癥的概率為

P(C｜A)=0.1066即使你檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有10.66%(平均來說，1000個人中大