數(shù)字濾波器的原理和設(shè)計方法詳解演示文稿

數(shù)字濾波器的原理和設(shè)計方法詳解演示文稿當(dāng)前1頁，總共132頁。（優(yōu)選）數(shù)字濾波器的原理和設(shè)計方法當(dāng)前2頁，總共132頁。濾波器在許多技術(shù)領(lǐng)域中都被廣泛應(yīng)用。

模擬濾波器主要處理連續(xù)時間信號；數(shù)字濾波器處理離散時間信號和數(shù)字信號。數(shù)字信號處理的優(yōu)點：

精度和穩(wěn)定性高；改變系統(tǒng)函數(shù)比較容易，比較靈活；不存在阻抗匹配問題；便于大規(guī)模集成；可以實現(xiàn)多維濾波。當(dāng)前3頁，總共132頁。數(shù)字濾波器的分類

1.從功能上分：低通、帶通、高通、帶阻。

2.從實現(xiàn)方法上分：FIR、IIR

3.從設(shè)計方法上來分：Chebyshev(切比雪夫）,Butterworth（巴特沃斯），…

4.從處理信號來分：經(jīng)典濾波器、現(xiàn)代濾波器等。當(dāng)前4頁，總共132頁。數(shù)字濾波器的理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性當(dāng)前5頁，總共132頁。1.經(jīng)典濾波器一般的濾波器，特點是輸入信號中有用頻率成分和希望濾除的頻率成分各占有不同的頻帶，通過一個合適的選頻濾波器達到濾波的目的。wc|H(ejw)||X(ejw)|wwc有用無用|Y(ejw)|wwc但是，如果信號的干擾和頻帶互相重疊，則不能完成對干擾的有效濾除。當(dāng)前6頁，總共132頁。2.現(xiàn)代濾波器

這一類濾波器可按照隨機信號內(nèi)部的一些統(tǒng)計分布規(guī)律，從干擾中最佳地提取信號。現(xiàn)代濾波器理論源于維納在40年代及其以后的工作，這一類濾波器的代表為：維納濾波器，此外，還有卡爾曼濾波器、線性預(yù)測器、自適應(yīng)濾波器。當(dāng)前7頁，總共132頁。自適應(yīng)濾波器原理框圖當(dāng)前8頁，總共132頁。聲學(xué)回聲路徑當(dāng)前9頁，總共132頁。聲學(xué)回聲抵消器(AEC)原理圖當(dāng)前10頁，總共132頁。AEC系統(tǒng)的自適應(yīng)回聲抵消效果

當(dāng)前11頁，總共132頁。當(dāng)前12頁，總共132頁。研究DF實現(xiàn)結(jié)構(gòu)意義1.濾波器的基本特性（如有限沖激響應(yīng)FIR與無限沖激響應(yīng)IIR）決定了結(jié)構(gòu)上有不同的特點。2.不同結(jié)構(gòu)所需的存儲單元及乘法次數(shù)不同，前者影響復(fù)雜性，后者影響運算速度。3.有限精度實現(xiàn)情況下，不同運算結(jié)構(gòu)的誤差及穩(wěn)定性不同。4.好的濾波器結(jié)構(gòu)應(yīng)該易于控制濾波器性能，適合于模塊化實現(xiàn)，便于時分復(fù)用。當(dāng)前13頁，總共132頁。數(shù)字濾波器一般可用兩種方法實現(xiàn)：根據(jù)描述數(shù)字濾波器的數(shù)學(xué)模型或信號流程圖，用數(shù)字硬件構(gòu)成專用的數(shù)字信號處理機。編寫濾波器運算程序，在計算機上運行。當(dāng)前14頁，總共132頁。4.1概述數(shù)字濾波器可以用差分方程表示由上述兩個方程就可以得到若干數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為當(dāng)前15頁，總共132頁。

實現(xiàn)數(shù)字濾波器時，必須把輸入－輸出關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)榭蓪崿F(xiàn)的算法。需要３種基本運算單元：

加法器、單位延遲器和常數(shù)乘法器。方框圖表示流程圖表示這些單元有方框圖法和流程圖法兩種表示法。當(dāng)前16頁，總共132頁。

所以數(shù)字濾波器也有兩種表示法。例如，一個二階的IIR數(shù)字濾波器用差分方程表示為其方框圖和信號流程圖如下圖所示當(dāng)前17頁，總共132頁。

數(shù)字濾波器有無限沖激響應(yīng)（IIR）和有限沖激響應(yīng)（FIR）兩種。

一般從以下幾方面區(qū)分兩類系統(tǒng)：

1、IIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)有極點有FIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為所有系統(tǒng)只有零點當(dāng)前18頁，總共132頁。

2、IIR系統(tǒng)的差分方程為FIR系統(tǒng)的差分方程為

除了與當(dāng)前和過去的激勵有關(guān)，還與過去的輸出有關(guān)；

只與當(dāng)前和過去的激勵有關(guān)，與過去的輸出無關(guān)；當(dāng)前19頁，總共132頁。

3、IIR系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為無窮多項；FIR系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)只有有限項；

4、IIR系統(tǒng)因為與過去的輸出有關(guān)，所以網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有反饋之路，也稱為遞歸結(jié)構(gòu)；FIR系統(tǒng)只與激勵有關(guān)，因此沒有反饋之路，也稱為非遞歸結(jié)構(gòu)。當(dāng)前20頁，總共132頁。4.２無限沖激響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)運算結(jié)構(gòu)的不同會影響系統(tǒng)運算的精度、誤差、速度和經(jīng)濟性等指標(biāo)。對于同一個系統(tǒng)函數(shù)，可以有多種不同的結(jié)構(gòu)。一般情況下，都要求使用盡可能少的常數(shù)乘法器和延遲器來實現(xiàn)系統(tǒng)，并要求運算誤差盡可能小。這些要求有時是相互矛盾的。例如，為了獲得具有較小運算誤差的結(jié)構(gòu)，使用的乘法器和延遲器的數(shù)目往往不是最少的。當(dāng)前21頁，總共132頁。IIRDF基本結(jié)構(gòu)IIRDF類型直接型級聯(lián)型并聯(lián)型直接I型直接II型當(dāng)前22頁，總共132頁。1.直接I型由差分方程或系統(tǒng)函數(shù)直接畫出IIRDF的方框圖和流程圖當(dāng)前23頁，總共132頁。N階IIR系統(tǒng)的直接I型方框圖N階IIR系統(tǒng)的直接I型流程圖

第一個網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)的是系統(tǒng)函數(shù)的各零點；第二個網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)的是各極點。直接I型結(jié)構(gòu)需要２N個延遲器和２N個乘法器。當(dāng)前24頁，總共132頁。2.直接II型直接I型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)可看作兩個獨立的系統(tǒng)函數(shù)的乘積，即對應(yīng)的差分方程對應(yīng)的差分方程當(dāng)前25頁，總共132頁。假設(shè)IIRDF是線性非移變系統(tǒng)，那么交換和的次序不會影響系統(tǒng)的傳輸效果，即則直接I型結(jié)構(gòu)圖可畫成下圖所示形式：兩條延遲鏈都是對中間變量進行延遲，因此可以進行合并。當(dāng)前26頁，總共132頁。IIR系統(tǒng)的直接II型流程圖與直接I型相比，直接II型的不同之處：首先實現(xiàn)系統(tǒng)的各極點，然后實現(xiàn)各零點；僅需要N個延遲單元。則：硬件實現(xiàn)時，直接II型少用寄存器；軟件實現(xiàn)時，直接II型少占用存儲單元。

通常IIR的直接形式是指直接II型，也稱最少延遲網(wǎng)絡(luò)、典范形式、正準(zhǔn)型。當(dāng)前27頁，總共132頁。３.級聯(lián)型如果將N階IIR系統(tǒng)函數(shù)分解成二階因式連乘積，則可得到級聯(lián)結(jié)構(gòu)，即這樣，整個系統(tǒng)將由M個二階系統(tǒng)級聯(lián)構(gòu)成，如下圖所示當(dāng)前28頁，總共132頁。

具體地，將系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式都按照零、極點進行因式分解，得到由于的系數(shù)都為實數(shù)，所以的零點和極點是實數(shù)或是共軛復(fù)數(shù)。當(dāng)前29頁，總共132頁。將上式中每對共軛復(fù)數(shù)因子合并起來構(gòu)成一個實系數(shù)因子，則寫成如果把實數(shù)因子看作是二階實數(shù)因子的特例，即看作二次項系數(shù)和等于零的二階因子，那么可被看成全部由實系數(shù)二階因子連乘來構(gòu)成，即當(dāng)前30頁，總共132頁。其中稱為濾波器的二階基本節(jié)。每個二階節(jié)都用直接II型結(jié)構(gòu)的級聯(lián)形式

如果每個二階基本節(jié)都采用直接II型結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)，那么整個濾波器的級聯(lián)結(jié)構(gòu)如下圖所示。每一級都可以單獨調(diào)整零極點的位置而不影響其它零極點。同時可以靈活調(diào)整二階基本節(jié)的次序。這是級聯(lián)結(jié)構(gòu)的常用形式。當(dāng)前31頁，總共132頁。如果將系統(tǒng)函數(shù)化成部分分式之和，則可得到IIRDF的并聯(lián)結(jié)構(gòu)，即上式表明，濾波器可由P個一階網(wǎng)絡(luò)、Q個二階網(wǎng)絡(luò)和一個常數(shù)支路并聯(lián)構(gòu)成。4.并聯(lián)型當(dāng)前32頁，總共132頁。其結(jié)構(gòu)如圖：IIR系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)當(dāng)前33頁，總共132頁。網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)置定理：將原網(wǎng)絡(luò)中所有支路的方向加以反轉(zhuǎn)，并將輸入和輸出相互交換，則網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)不會改變。利用網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)置定理，可以將以上討論的各種結(jié)構(gòu)進行轉(zhuǎn)置處理，從而得到各種新的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。當(dāng)前34頁，總共132頁。IIR系統(tǒng)的直接II型流程圖當(dāng)前35頁，總共132頁?？梢栽俑臑檩斎朐谧螅敵鲈谟业牧?xí)慣形式，如下圖。將圖4.10畫成輸入在左、輸出在右的習(xí)慣形式設(shè)計方法當(dāng)前36頁，總共132頁。4.3有限沖激響應(yīng)（FIR）數(shù)字濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

FIR數(shù)字濾波器是一種非遞歸系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)是有限長序列，其系統(tǒng)函數(shù)的一般形式為其特點是系統(tǒng)函數(shù)無極點，它的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)沒有反饋支路。當(dāng)前37頁，總共132頁。1.直接型FIR數(shù)字濾波器的差分方程為下圖為FIRDF的方框圖和流程圖。公式中表示的輸入和輸出信號之間的線性卷積關(guān)系，所以直接性結(jié)構(gòu)也稱為卷積型結(jié)構(gòu)，或橫向濾波器結(jié)構(gòu)。當(dāng)前38頁，總共132頁。2.級聯(lián)型若將分解成二階因子的乘積，則得到FIR系統(tǒng)的級聯(lián)結(jié)構(gòu)為：對應(yīng)上式的流程圖如下圖中每一基本節(jié)控制一對零點。容易控制系統(tǒng)傳輸零點。級聯(lián)型所用的系數(shù)乘法次數(shù)較多，運算時間較長。當(dāng)前39頁，總共132頁。3.快速卷積型前面已經(jīng)知道，兩個長度為N的序列的線性卷積，可以用2N-1點的循環(huán)卷積來代替。公式表示FIR濾波器的輸出是輸入和沖激響應(yīng)的線性卷積。因此，可以通過增添零取樣值方法將序列和延長，然后計算它們的循環(huán)卷積，從而得到FIR系統(tǒng)的輸出。循環(huán)卷積的計算可以使用FFT，于是得到快速卷積型結(jié)構(gòu)。當(dāng)前40頁，總共132頁。FIR系統(tǒng)的快速卷積結(jié)構(gòu)圖中輸出為當(dāng)前41頁，總共132頁。4.線性相位型結(jié)構(gòu)

FIRDF最吸引人的特點之一就是將其設(shè)計成具有線性相位。右圖表示的是線性相位FIR系統(tǒng)的典型沖激響應(yīng)。

具有線性相位的因果FIRDF的沖激響應(yīng)具有偶對稱特性，即當(dāng)前42頁，總共132頁。先分析具有這樣的沖激響應(yīng)的FIR系統(tǒng)的幅度和相位特點。將FIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)重寫為當(dāng)前43頁，總共132頁。（1）當(dāng)N為偶數(shù)時，利用公式得下面分兩種情況討論：當(dāng)前44頁，總共132頁。幅度響應(yīng)令，得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)經(jīng)推導(dǎo)，得到頻率響應(yīng)當(dāng)前45頁，總共132頁。結(jié)論：當(dāng)時，；對呈奇對稱。相位特性是嚴(yán)格線性的。于是系統(tǒng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)分別為當(dāng)前46頁，總共132頁。（2）當(dāng)N為奇數(shù)時，利用公式得經(jīng)推導(dǎo)，得到頻率響應(yīng)當(dāng)前47頁，總共132頁。結(jié)論：對各點是偶對稱的。相位特性是嚴(yán)格線性的。于是系統(tǒng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)分別為:當(dāng)前48頁，總共132頁。h(n)為偶對稱的線性相位FIRDF的特性(a)(b)當(dāng)前49頁，總共132頁。分別畫出N為偶數(shù)和奇數(shù)，線性相位FIR濾波器的結(jié)構(gòu)流程圖：具有線性相位的偶數(shù)N的FIR系統(tǒng)的直接結(jié)構(gòu)具有線性相位的奇數(shù)N的FIR系統(tǒng)的直接結(jié)構(gòu)

線性相位N階FIR濾波器只需要N/2次（N為偶數(shù)）或（N+1）／2次（N為奇數(shù)）乘法。當(dāng)前50頁，總共132頁。用上面的方法同樣可以證明，當(dāng)FIR系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)為奇對稱，即時，系統(tǒng)同樣具有線性相位特性。偶對稱奇對稱為偶數(shù)為奇數(shù)小結(jié)：共有4種組合，則有4類線性相位FIR濾波器。當(dāng)前51頁，總共132頁。由于線性相位FIR濾波器的沖激響應(yīng)必須滿足對稱條件，因此它的零點位置受到嚴(yán)格的限制。上式表明，和除相差（N-1)個樣本間隔外，沒有不同。

根據(jù)對稱條件，有

因此，是的零點，也是的零點。當(dāng)前52頁，總共132頁。這就是說，線性相位FIR濾波器的零點必互為倒數(shù)出現(xiàn)，在為實數(shù)情況下，的零點必然互為共軛出現(xiàn)。因此，線性相位FIR濾波器的零點必須是互為倒數(shù)的共軛對。1、零點不在實軸上，也不在單位圓上；2、零點在單位圓上；3、零點在實軸上，4、零點既在單位圓上，又在實軸上。線性相位FIR濾波器的零點分布圖當(dāng)前53頁，總共132頁。5.頻率取樣型

頻率域等間隔采樣，相應(yīng)的時域信號會以采樣點數(shù)為周期進行周期性延拓，如果在頻率域采樣點數(shù)N大于等于原序列的長度M，則不會引起信號失真。此時原序列的z變換與頻域采樣值滿足下面關(guān)系式：一個有限時寬的序列，其Z變換可以用單位圓上的N個等間隔取樣表示。當(dāng)前54頁，總共132頁。上式為實現(xiàn)FIR系統(tǒng)提供了另一種結(jié)構(gòu)，是由兩個網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)構(gòu)成的。其中當(dāng)前55頁，總共132頁。第一個網(wǎng)絡(luò)是由N節(jié)延遲線組成的梳狀濾波器。的零點和呈梳狀特性的頻率響應(yīng)：當(dāng)前56頁，總共132頁。其中，每個一階網(wǎng)絡(luò)在單位圓上各有一個極點，這些極點為：這些極點正好與梳狀濾波器的零點相抵消，從而使在這些頻率上的響應(yīng)等于。

（4.24）第二個網(wǎng)絡(luò)是一組并聯(lián)的一階網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)前57頁，總共132頁。下圖所示的是FIR濾波器的頻率取樣型結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)是由一個簡單的FIR系統(tǒng)和一個IIR系統(tǒng)級聯(lián)組成。優(yōu)點：并聯(lián)諧振網(wǎng)絡(luò)的系數(shù)是FIR濾波器在處的響應(yīng)，因而可以直接控制濾波器的響應(yīng)。缺點：1、所有系數(shù)都是復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)乘法運算比較麻煩。2、所有諧振網(wǎng)絡(luò)的極點都在單位圓上，容易出現(xiàn)誤差，系統(tǒng)不容易穩(wěn)定。當(dāng)前58頁，總共132頁?？朔陨先秉c的方法有：1、使諧振網(wǎng)絡(luò)的極點從單位圓上向內(nèi)收縮到半徑為r的圓上，這里r略小于1。2、用實系數(shù)的二階網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)復(fù)系數(shù)的一階網(wǎng)絡(luò)，從而使系數(shù)的復(fù)數(shù)乘法運算變成實數(shù)乘法運算。設(shè)計方法當(dāng)前59頁，總共132頁。

4.4IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法數(shù)字濾波器的一般設(shè)計步驟：1、根據(jù)任務(wù)，確定濾波器性能指標(biāo)（幅度特性、截止頻率等）；2、用一個穩(wěn)定的因果系統(tǒng)逼近這些指標(biāo)，具體的說是由這些指標(biāo)計算系統(tǒng)函數(shù)；3、用有限精度運算實現(xiàn)數(shù)字濾波器（選擇運算結(jié)構(gòu)、進行誤差分析和選擇存儲單元的字長等）。4、用適當(dāng)?shù)能浻布崿F(xiàn)。當(dāng)前60頁，總共132頁。數(shù)字濾波器的技術(shù)要求通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)用下式表示：式中，稱為幅頻特性，稱為相頻特性。幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分衰減情況；相頻特性反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況。當(dāng)前61頁，總共132頁。因此，即使兩個濾波器幅頻特性相同，而相頻特性不一樣，對相同的輸入，濾波器輸出的信號波形是不一樣的。一般選頻濾波器的技術(shù)要求由幅頻特性給出，相頻特性一般不作要求。但如果對輸出波形有要求，則需要考慮相頻特性的技術(shù)指標(biāo)，例如，語音合成、波形傳輸、圖像信號處理等。當(dāng)前62頁，總共132頁。性能指標(biāo)

在進行濾波器設(shè)計時，需要確定其性能指標(biāo)。因為理想濾波器物理不可實現(xiàn)的。（由于從一個頻帶到另一個頻帶之間的突變）wc|H(ejw)|要物理可實現(xiàn)：應(yīng)從一個帶到另一個帶之間設(shè)置一個過渡帶且在通帶和止帶內(nèi)也不應(yīng)該嚴(yán)格為1或零。應(yīng)給以較小容限。必須設(shè)計一個因果可實現(xiàn)的濾波器去實現(xiàn)。當(dāng)前63頁，總共132頁。一個濾波器的技術(shù)指標(biāo)，除了通帶和阻帶外，過渡帶是必不可少的。左圖中的曲線表示滿足預(yù)定技術(shù)指標(biāo)的頻率響應(yīng)，通帶內(nèi)的幅度必須以誤差逼近于1，即阻帶內(nèi)幅度以誤差逼近于零，即和分別為通帶截止頻率和阻帶截止頻率。當(dāng)前64頁，總共132頁。為了按照這種誤差要求逼近理想低通濾波器，必須有一個寬度不為零的過渡帶。過渡帶內(nèi)幅度響應(yīng)從通帶平滑地下降到阻帶。得到技術(shù)指標(biāo)之后，下一步就是尋找一個頻率響應(yīng)符合允許指標(biāo)的離散時間線性系統(tǒng)。對于IIR系統(tǒng)，可以用有理函數(shù)逼近希望的頻率響應(yīng)；對于FIR系統(tǒng)，可以用多項式逼近希望的頻率響應(yīng)。當(dāng)前65頁，總共132頁。

利用模擬濾波器的設(shè)計理論來設(shè)計IIR數(shù)字濾波器就是首先根據(jù)實際要求設(shè)計一個模擬濾波器，然后再將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。

轉(zhuǎn)換設(shè)計方法又可分為沖激響應(yīng)不變法雙線性變換法由于模擬網(wǎng)絡(luò)綜合理論已經(jīng)發(fā)展得很成熟，設(shè)計非常方便，所以應(yīng)用廣泛。有若干典型的模擬濾波器供我們選擇：巴特沃斯濾波器—具有單調(diào)下降的幅頻特性；切比雪夫濾波器—在通帶或阻帶有波動，可選擇；貝塞爾濾波器在通帶內(nèi)有較好的線性相位特性；橢圓濾波器的選擇性相對前三種是最好的。當(dāng)前66頁，總共132頁。4.4.1沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變法遵循的準(zhǔn)則是：使數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)與所參照的模擬濾波器的沖激響應(yīng)的取樣值完全一樣，即實際上，由模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，就是要建立模擬系統(tǒng)函數(shù)與數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)之間的關(guān)系。其中，T為取樣周期。當(dāng)前67頁，總共132頁。若滿足要求的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)已知，它通常是有理函數(shù)形式，并且分母的階次高于分子的階次，僅含單極點，則可以表示成部分分式形式：拉氏反變換z變換于是完成了數(shù)字濾波器設(shè)計。當(dāng)前68頁，總共132頁。

具體的說，從s平面到z平面的映射不是簡單的代數(shù)映射，而是s平面上每一條寬為的橫帶重復(fù)地映射成整個z平面。當(dāng)前69頁，總共132頁。S平面Z平面模擬系統(tǒng)因果穩(wěn)定，其系統(tǒng)函數(shù)的所有極點位于s平面的左半平面，這些極點全部映射到z平面單位圓內(nèi)，因此，數(shù)字濾波器也因果穩(wěn)定。

當(dāng)前70頁，總共132頁。沖激響應(yīng)不變法的頻譜混疊失真示意圖混疊問題：由數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)和模擬濾波器頻率響應(yīng)間的關(guān)系知：周期延拓當(dāng)前71頁，總共132頁。那么數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)能夠重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)。如果模擬濾波器的頻率響應(yīng)帶寬被限制在折疊頻率內(nèi)，即由于一般實際模擬濾波器都不是帶限的，所以混疊是必然的。即產(chǎn)生了失真。不適合設(shè)計高通和帶阻濾波器。這是沖激響應(yīng)不變法的最大優(yōu)點！這是沖激響應(yīng)不變法的最大缺點！當(dāng)前72頁，總共132頁。例4.1已知一模擬濾波器的傳遞函數(shù)為使用沖激響應(yīng)不變法求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。解：將展開成部分分式得于是極點，。直接使用式設(shè)T＝0.1667s，則得當(dāng)前73頁，總共132頁。因此，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為(b)所示的是相應(yīng)的數(shù)字濾波器的幅度響應(yīng)。圖中可以看出，DF的幅度響應(yīng)在高頻段有較大的失真，而在低頻段很接近模擬濾波器的幅度響應(yīng)。左圖中(a)是模擬濾波器的頻率響應(yīng)當(dāng)前74頁，總共132頁。4.4.2雙線性變換法得到由s平面到z平面的映射，定義為T常取1為了克服沖激響應(yīng)不變法的混疊，采用非線形頻率壓縮方法，將整個頻率軸壓縮到之間，再用轉(zhuǎn)換到Z平面上，就能得到s平面到z平面。當(dāng)前75頁，總共132頁。雙線性變換法與沖激響應(yīng)不變法不同的是：它是一種從s平面到z平面的單值可逆映射。

因此當(dāng)前76頁，總共132頁。將和代入式得由此看出，數(shù)字域頻率與模擬域頻率之間呈現(xiàn)非線性關(guān)系，如下圖。當(dāng)從0變到時，從0變到。這意味著模擬濾波器的全部頻率特性，被壓縮成數(shù)字濾波器在頻率范圍內(nèi)的特性。或這種非線性在高頻段較為嚴(yán)重，而在低頻段接近于線性，因此數(shù)字濾波器的頻率特性能夠逼近模擬濾波器的頻率特性。當(dāng)前77頁，總共132頁。

設(shè)數(shù)字濾波器的通帶和阻帶的截止頻率分別為和，對應(yīng)的模擬濾波器的截止頻率為和。雙線性變換頻率非線性畸變的補償方法：預(yù)畸變利用給定的數(shù)字濾波器的截止頻率和及上式計算出和當(dāng)前78頁，總共132頁。再根據(jù)此設(shè)計出模擬濾波器。最后把模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。這時雙線性變換得到的數(shù)字濾波器具有所希望的截止頻率特性。當(dāng)前79頁，總共132頁。由公式可以得到將代入上式得從上式可以看出，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；這說明s平面的軸映射成z平面的單位圓周，左半平面映射成單位圓內(nèi)部，右半平面映射成單位圓外部。當(dāng)前80頁，總共132頁。這種映射是簡單的代數(shù)映射，因此變換后的數(shù)字濾波器的幅度響應(yīng)沒有混疊失真。因此，如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，即的所有極點都在s平面的左半平面內(nèi)，那么經(jīng)雙線性變換映射后的極點都在z平面的單位圓內(nèi)，因此數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。當(dāng)前81頁，總共132頁。雙線性變換導(dǎo)致頻率間的非線性關(guān)系是它的主要缺點，限制了它的應(yīng)用范圍。頻率響應(yīng)不平坦（起伏較大）的系統(tǒng)不宜采用該方法。希望具有嚴(yán)格線性相位的數(shù)字濾波器，也不能用雙線性變換設(shè)計方法。說明：當(dāng)前82頁，總共132頁。4.4.3數(shù)字巴特沃斯濾波器

巴特沃斯濾波器的幅度響應(yīng)在通帶內(nèi)具有最平坦的特性，且在通帶和阻帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)變化的。為角頻率，在處幅度響應(yīng)的平方為0.5，N為濾波器的階數(shù)。當(dāng)時幅度響應(yīng)為1。模擬巴特沃斯濾波器的幅度平方函數(shù)為當(dāng)前83頁，總共132頁。上圖可以看出，隨著N的增大，幅度響應(yīng)曲線在截止頻率附近變得越來越陡峭，即在通帶內(nèi)有更大部分的幅度接近于1，在阻帶內(nèi)以更快的速度下降至零。當(dāng)前84頁，總共132頁。個極點等間隔分布在半徑為的圓周上。是關(guān)于虛軸對稱的，虛軸上沒有極點。當(dāng)為奇數(shù)時，實軸上有兩個極點。當(dāng)為偶數(shù)時，實軸上無極點。各極點間的角度距為。模擬巴特沃斯濾波器極點的分布特點：由此可得極點當(dāng)前85頁，總共132頁。因此，可將極點重新分配上式中是s平面左半平面的極點，是右半平面的極點。因為巴特沃斯濾波器有2N個極點，且對稱于虛軸，所以可將左平面的極點分配給，以便得到一個穩(wěn)定的系統(tǒng)。把右半平面的極點分給，可以作不再考慮。經(jīng)過推導(dǎo)，可以得到巴特沃斯濾波器的設(shè)計方法。當(dāng)前86頁，總共132頁。根據(jù)實際需要規(guī)定濾波器在數(shù)字截止頻率和處的衰減；由數(shù)字截止頻率和處的衰減計算模擬巴特沃斯濾波器的階數(shù)N和頻率；設(shè)計數(shù)字巴特沃斯濾波器的步驟如下：當(dāng)前87頁，總共132頁。求模擬巴特沃斯濾波器的極點，并由s平面左半平面的極點構(gòu)成傳遞函數(shù)。左半平面極點：

傳遞函數(shù)：N為偶數(shù)N為奇數(shù)使用沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法將轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。當(dāng)前88頁，總共132頁。4.4.4數(shù)字切比雪夫濾波器切比雪夫濾波器的幅度平方函數(shù)為式中，稱為紋波參數(shù)，它與通帶內(nèi)幅度響應(yīng)的紋波有關(guān)；為有效通帶截止頻率，N是濾波器的階數(shù)。

切比雪夫濾波器在通帶內(nèi)的幅度響應(yīng)是等波紋的，而在阻帶內(nèi)是單調(diào)下降的；或者在通帶內(nèi)是單調(diào)下降的，而在阻帶內(nèi)是等波紋的。切比雪夫濾波器是由、和N共3個參數(shù)確定。當(dāng)前89頁，總共132頁?？梢钥闯?，切比雪夫濾波器的幅度響應(yīng)在之間起伏變換，而在阻帶內(nèi)是單調(diào)下降的；當(dāng)N為奇數(shù)時，濾波器在處的幅度響應(yīng)為1。當(dāng)N為偶數(shù)時，濾波器在處的幅度響應(yīng)為。當(dāng)前90頁，總共132頁。參量、和N的確定：（1）、確定由允許的通帶波紋確定。如果在處允許的通帶衰減為，可以這樣確定不同的所對應(yīng)的值如下：因此當(dāng)前91頁，總共132頁。（2）、的確定是切比雪夫有效通帶截止頻率，在有效通帶內(nèi)濾波器的幅度被限制在兩常數(shù)之間波動，常常是給定的。（3）、濾波器階數(shù)N的確定切比雪夫濾波器的階數(shù)N是由阻帶允許的衰減確定的。設(shè)在阻帶截止頻率處的允許衰減為，即由此得到計算濾波器階數(shù)N的公式

當(dāng)前92頁，總共132頁。數(shù)字切比雪夫濾波器的設(shè)計步驟（1）根據(jù)濾波器的指標(biāo)確定參數(shù)、和N。（2）計算常量、和，并求出極點。（3）由s平面左半平面的極點構(gòu)成傳遞函數(shù)。（4）利用沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法將轉(zhuǎn)換成。當(dāng)前93頁，總共132頁。4.4.5IIR數(shù)字濾波器的頻率變換

方法1的缺點是，由于產(chǎn)生混疊失真，因此不能用沖激不變法來變換成高通、帶通或帶阻濾波器。高通、帶通、和帶阻濾波器的常用的兩種設(shè)計方法：當(dāng)前94頁，總共132頁。頻帶變換原理設(shè)是數(shù)字原型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，是所求的濾波器系統(tǒng)函數(shù)。從平面到平面的映射定義為其中為變換函數(shù)。如果是穩(wěn)定的因果低通濾波器的有理系統(tǒng)函數(shù)，經(jīng)變換后的也應(yīng)是穩(wěn)定因果的數(shù)字濾波器的有理函數(shù)。因此，所求的系統(tǒng)函數(shù)為當(dāng)前95頁，總共132頁。為此，該變換應(yīng)滿足：

①必須是的有理函數(shù)；②平面的單位圓內(nèi)部映射到平面單位圓內(nèi)部；

③變換后的數(shù)字濾波器頻帶應(yīng)滿足要求。當(dāng)前96頁，總共132頁。從低通濾波器得到高通、帶通或帶阻濾波器的其它形式:當(dāng)前97頁，總共132頁。當(dāng)前98頁，總共132頁。4.6FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法利用了模擬濾波器的研究成果，設(shè)計方法簡單有效，能得到較好的幅度特性，特別是雙線性變換方法沒有頻譜混疊，很受歡迎。但是，由于IIR數(shù)字濾波器的相位特性是非線性的，因而相位特性不好控制。當(dāng)前99頁，總共132頁。FIR數(shù)字濾波器的獨特優(yōu)點是容易得到的嚴(yán)格的線性相位，此外，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的極點都位于原點，所以FIR濾波器總是穩(wěn)定的。FIR數(shù)字濾波器還可以用FFT來計算。FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法主要有窗函數(shù)法、頻率取樣法等。當(dāng)前100頁，總共132頁?？梢娝且粺o限長、非因果的系統(tǒng)。可以證明不是絕對可和的，因而理想地濾波器是不穩(wěn)定的。4.6.1窗函數(shù)法理想濾波器的頻率響應(yīng)對應(yīng)的沖激響應(yīng)當(dāng)前101頁，總共132頁?？梢詫o限長沖激響應(yīng)序列截斷，得到一個有限長序列，并用它逼近理想低通濾波器。設(shè)一理想低通濾波器的截止頻率為，時延為，即對應(yīng)的沖激響應(yīng)為

——這是利用窗函數(shù)設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的基本原理。當(dāng)前102頁，總共132頁。顯然，是以為中心的無限長非因果序列，如下圖(a)所示。尋找一有限長因果序列來逼近理想沖激響應(yīng)，即

和

應(yīng)滿足FIR基本條件，即它是偶對稱或奇對稱的，以滿足線性相位的要求，還應(yīng)當(dāng)是因果的。當(dāng)前103頁，總共132頁?？砂芽醋魇桥c一矩形序列相乘的結(jié)果，窗函數(shù)不一定是矩形窗函數(shù)，也可以是其它窗函數(shù)，因此一般可表示為其中即當(dāng)前104頁，總共132頁。根據(jù)卷積的性質(zhì)，的頻譜函數(shù)可表示為采用不同的窗函數(shù)，對應(yīng)的有不同的形狀。矩形窗的頻譜為即FIR窗函數(shù)的頻譜函數(shù)是理想低通濾波器的頻譜函數(shù)與窗函數(shù)的卷積。其中當(dāng)前105頁，總共132頁。從到之間的稱為窗函數(shù)頻譜的主瓣，主瓣兩側(cè)呈衰減振蕩的部分稱為旁瓣。主瓣旁瓣旁瓣矩形窗的頻譜如圖所示當(dāng)前106頁，總共132頁。代入公式(4.79)，F(xiàn)IRDF的頻率響應(yīng)為理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可表示為其幅度響應(yīng)為因此，F(xiàn)IRDF的幅度響應(yīng)為當(dāng)前107頁，總共132頁。上式表明，由理想低通濾波器的沖激響應(yīng)加窗得到的FIR濾波器，它的幅度響應(yīng)等于理想低通濾波器的幅度響應(yīng)與窗函數(shù)頻譜的幅度響應(yīng)的周期卷積。當(dāng)前108頁，總共132頁。時，等于上圖中(a)和(b)兩個函數(shù)乘積的積分，即在到這一段的面積。時，正好與的一半重疊，卷積值正好是零頻響應(yīng)的一半。在通帶截止頻率以內(nèi)，的整個主瓣都在的通帶內(nèi)。因此卷積結(jié)果有最大值，頻率響應(yīng)出現(xiàn)正肩峰。當(dāng)前109頁，總共132頁。的主瓣全部在的通帶外，在通帶內(nèi)旁瓣負(fù)的面積大于正的面積，因此卷積值達到最大負(fù)值，在這里出現(xiàn)負(fù)肩峰。當(dāng)進一步增大時，卷積值也將隨著的旁瓣在通帶內(nèi)的面積的變化而變化，這樣就造成以零值為中心的上下起伏波動。整個卷積結(jié)果如圖(f)所示。當(dāng)前110頁，總共132頁。從以上分析看出，理想低通濾波器經(jīng)加窗處理后，主要受到兩方面的影響。一、濾波器的頻率響應(yīng)在不連續(xù)點處出現(xiàn)過渡帶，它主要是由窗函數(shù)頻譜的主瓣引起的，過渡帶的寬度取決于窗函數(shù)主瓣的寬度。矩形窗對應(yīng)的過渡帶的寬度。一般來說，過渡帶的寬度與N成反比。當(dāng)前111頁，總共132頁。二、濾波器在通帶和阻帶內(nèi)產(chǎn)生波紋，這種現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象，主要是由窗函數(shù)的頻譜的旁瓣造成的。當(dāng)前112頁，總共132頁。不同的窗函數(shù)的頻譜的主瓣和旁瓣的形狀是不同的。這兩個要求是互相矛盾的，不可能同時滿足。具體的說，降低旁瓣高度必然會使主瓣變寬；反之，壓窄主瓣寬度，不可避免地會使旁瓣變高。一般情況下，對窗函數(shù)的要求是：

旁瓣高度盡可能小，即盡可能讓能量集中于主瓣，以減少通帶和阻帶中的波紋；

主瓣寬度盡量窄，以獲得極可能陡的過渡帶。為了減小波紋幅度，一方面可以加大窗的長度N，另一方面可采用不同的窗函數(shù)來改善不均勻收斂性。當(dāng)前113頁，總共132頁。幾種常用的窗函數(shù)：當(dāng)前114頁，總共132頁。1.矩形窗2.巴特利特窗（三角形窗）當(dāng)前115頁，總共132頁。3.漢寧窗（升余弦窗）或當(dāng)時，上式可近似為當(dāng)前116頁，總共132頁。可見漢寧窗的頻譜是由3部分相加組成，這樣使旁瓣大大抵消，從而使能量有效地集中在主瓣內(nèi)，代價是使主瓣的寬度加大了一倍。當(dāng)前117頁，總共132頁。4.漢明(Hamming)窗5.布萊克曼(Blackman)窗當(dāng)前118頁，總共132頁。(a)矩形窗(b)巴特利特窗(c)漢寧窗(d)漢明窗(e)布萊克曼窗這5種窗函數(shù)的主瓣寬度依次加寬，旁瓣衰減依次增大。當(dāng)前119頁，總共132頁。(a)矩形窗(b)巴特利特窗(c)漢寧窗(d)漢明窗(e)布萊克曼窗矩形窗設(shè)計的濾波器的過渡帶最窄，但阻帶衰減最差，約－21dB。而用布萊克曼窗函數(shù)設(shè)計的阻帶衰減最好，但過渡帶最寬,約－74dB。用不同窗函數(shù)設(shè)計的FIRDF

當(dāng)前120頁，總共132頁。6.凱澤(Kaiser)窗其中，是第一類修正零階貝塞爾函數(shù)。凱澤窗是一族窗函數(shù)。是可調(diào)參數(shù)，調(diào)節(jié)值可以改變主瓣的寬度和旁瓣的幅度，的典型值在范圍內(nèi)。當(dāng)前121頁，總共132頁。這6種窗的主要特性參數(shù)如下表：當(dāng)前122頁，總共132