函數(shù)展開成冪級數(shù)

函數(shù)展開成冪級數(shù)第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日一、泰勒(Taylor)級數(shù)其中(

在

x

與x0

之間)稱為拉格朗日余項

.則在復(fù)習(xí):

f(x)的n

階泰勒公式若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù),該鄰域內(nèi)有:第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日為f(x)

的泰勒級數(shù).則稱當(dāng)x0=0

時,泰勒級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù)

.1)對此級數(shù),它的收斂域是什么？2)在收斂域上,和函數(shù)是否為f(x)?待解決的問題:若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日定理1.各階導(dǎo)數(shù),則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充要條件是f(x)的泰勒公式余項滿足:證明:令設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)具有第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日定理2.若f(x)能展成x

的冪級數(shù),則這種展開式是唯一的,且與它的麥克勞林級數(shù)相同.證:設(shè)f(x)所展成的冪級數(shù)為則顯然結(jié)論成立.第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日二、函數(shù)展開成冪級數(shù)

1.直接展開法由泰勒級數(shù)理論可知,第一步求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0處的值;第二步寫出麥克勞林級數(shù),并求出其收斂半徑R;第三步判別在收斂區(qū)間(－R,R)內(nèi)是否為0.驟如下:展開方法直接展開法—利用泰勒公式間接展開法—利用已知其級數(shù)展開式的函數(shù)展開第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日例1.將函數(shù)展開成x

的冪級數(shù).解:

其收斂半徑為對任何有限數(shù)

x,其余項滿足故(

在0與x之間)故得級數(shù)第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日例2.將展開成x

的冪級數(shù).解:

得級數(shù):其收斂半徑為對任何有限數(shù)

x,其余項滿足第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日對上式兩邊求導(dǎo)可推出:第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日例3.將函數(shù)展開成x

的冪級數(shù),其中m為任意常數(shù).解:

易求出于是得級數(shù)由于級數(shù)在開區(qū)間(－1,1)內(nèi)收斂.因此對任意常數(shù)m,第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日推導(dǎo)推導(dǎo)則為避免研究余項,設(shè)此級數(shù)的和函數(shù)為第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日稱為二項展開式

.說明：(1)在x＝±1

處的收斂性與m

有關(guān).(2)當(dāng)m為正整數(shù)時,級數(shù)為x

的m

次多項式,上式就是代數(shù)學(xué)中的二項式定理.由此得第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日對應(yīng)的二項展開式分別為第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日例3附注第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日2.間接展開法利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運算性質(zhì),例4.

將函數(shù)展開成x

的冪級數(shù).解:

因為把x

換成,得將所給函數(shù)展開成冪級數(shù).第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日例5.將函數(shù)展開成x

的冪級數(shù).解:從0到x

積分,得定義且連續(xù),域為利用此題可得上式右端的冪級數(shù)在x

＝1

收斂,所以展開式對x

＝1也是成立的,于是收斂第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日例6.將展成解:

的冪級數(shù).第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日例7.將展成x－1的冪級數(shù).解:

第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的冪級數(shù)展開法(1)直接展開法—利用泰勒公式;(2)間接展開法—利用冪級數(shù)的性質(zhì)及已知展開2.常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式式的函數(shù).第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日當(dāng)m=–1時第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日思考與練習(xí)1.函數(shù)處“有泰勒級數(shù)”與“能展成泰勒級數(shù)”有何不同?提示:

后者必需證明前者無此要求.2.如何求的冪級數(shù)?提示:第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日思考題1.將下列函數(shù)展開成x

的冪級數(shù)解:x1時,此級數(shù)條件收斂,因此第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日2.

將在x=0處展為冪級數(shù).解:因此第二十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)，并求其收斂域

(9分)

.(2014級期末考試題)3.

將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)，并求其收斂域

(10分)

.(2015級期末考試題)4.

第二十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日