中考數(shù)學(xué)必考知識(shí)點(diǎn)匯總

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最新初中數(shù)學(xué)必考知識(shí)點(diǎn)匯總

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第一章：實(shí)數(shù)

重要復(fù)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)：

一、實(shí)數(shù)的分類:

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‘正整數(shù)'

整數(shù)零

有理數(shù)［負(fù)整數(shù)有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)〃數(shù)

實(shí)數(shù)正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)

‘正無(wú)理數(shù)

無(wú)理數(shù)<無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

.負(fù)無(wú)理數(shù)

1、有理數(shù)：任何一個(gè)有理數(shù)總可以寫成"的形式，其

q

中p、q是互質(zhì)的整數(shù)，這是有理數(shù)的重要特征。

2、無(wú)理數(shù)：初中遇到的無(wú)理數(shù)有三種：開(kāi)不盡的方根，

如及、V4;特定結(jié)構(gòu)的不限環(huán)無(wú)限小數(shù)，如

1.101001000100001……;特定意義的數(shù)，如II、

sin45。等。

3、判斷一個(gè)實(shí)數(shù)的數(shù)性不能僅憑表面上的感覺(jué)，往往

要經(jīng)過(guò)整理化簡(jiǎn)后才下結(jié)論。

二、實(shí)數(shù)中的幾個(gè)概念

1、相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)。

(1)實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a;(2)a和b互為相反數(shù)

<=>a+b=0

2、倒數(shù):

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(1)實(shí)數(shù)a(awO)的倒數(shù)是L;(2)a和b互為倒

a

數(shù)=質(zhì)=1;(3)注意0沒(méi)有倒數(shù)

3、絕對(duì)值:

(1)一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值有以下三種情況：

Q,QA0

\a\=<0,a=0

一a,。Y0

(2)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是一個(gè)非負(fù)數(shù)，從數(shù)軸上看，一個(gè)

實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距

離。

(3)去掉絕對(duì)值符號(hào)(化簡(jiǎn))必須要對(duì)絕對(duì)值符號(hào)里

面的實(shí)數(shù)進(jìn)行數(shù)性(正、負(fù))確認(rèn)，再去掉絕對(duì)值符號(hào)。

4、n次方根

(1)平方根，算術(shù)平方根：設(shè)，稱士右叫a的平

方根，右叫a的算術(shù)平方根。

(2)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；0的平

方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。

(3)立方根：叫實(shí)數(shù)a的立方根。

(4)一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；0的立方根是0；

一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根。

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三、實(shí)數(shù)與數(shù)軸

1、數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線稱為

數(shù)軸。原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素。

2、數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)

都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，而每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的唯一

的點(diǎn)來(lái)表示。實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

四、實(shí)數(shù)大小的比較

L在數(shù)軸上表示兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

2、正數(shù)大于0;負(fù)數(shù)小于0；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩

個(gè)負(fù)數(shù)絕對(duì)值大的反而小。

五、實(shí)數(shù)的運(yùn)算

1、加法：

(1)同號(hào)兩數(shù)相加，取原來(lái)的符號(hào),并把它們的絕對(duì)

值相加；

(2)異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值大的加數(shù)的符號(hào)，并用

較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值?？墒褂眉臃ń粨Q律、

結(jié)合律。

2、減法:

減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

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3、乘法:

(1)兩數(shù)相乘，同號(hào)取正，異號(hào)取負(fù)，并把絕對(duì)值相

乘。

(2)n個(gè)實(shí)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0,積就為0;若n

個(gè)非0的實(shí)數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，

當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；當(dāng)負(fù)因數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，

積為負(fù)。

(3)乘法可使用乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配

律。

4、除法：

(1)兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相

除。

(2)除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

(3)0除以任何數(shù)都等于0,0不能做被除數(shù)。

5、乘方與開(kāi)方：乘方與開(kāi)方互為逆運(yùn)算。

6、實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序：乘方、開(kāi)方為三級(jí)運(yùn)算，乘、除

為二級(jí)運(yùn)算，力口、減是一級(jí)運(yùn)算，如果沒(méi)有括號(hào)，在同

一級(jí)運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算，不同級(jí)的運(yùn)算，先算

高級(jí)的運(yùn)算再算低級(jí)的運(yùn)算，有括號(hào)的先算括號(hào)里的運(yùn)

算。無(wú)論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算。

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六、有效數(shù)字和科學(xué)記數(shù)法

1、科學(xué)記數(shù)法：設(shè)N>0,則N=axio"（其中l(wèi)wa

<10,n為整數(shù)）。

2、有效數(shù)字：一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù),

到精確到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字，叫做這個(gè)數(shù)的有效

數(shù)字。精確度的形式有兩種：（1）精確到那一位；

（2）保留幾個(gè)有效數(shù)字。

例題：

例1、已知實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所

ZF,且時(shí)>回。

化簡(jiǎn):時(shí)-卜+4一|萬(wàn)一&

分析：從數(shù)軸上a、b兩點(diǎn)的位置可以看到：a<0,b

>0且同A網(wǎng)

所以可得：

解：原式=一。+。+8一匕+a

例2、若“=（-：廠3,人=-0）3,c=g）-3,比較a、b、

c的大小。

分析：a=一g）3y—1/b=一下一1且匕Y0；C>0；所以

容易得出：

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a<b<co

解：略

例3、若加2|哪+2|互為相反數(shù),求a+b的值

分析：由絕對(duì)值非負(fù)特性，可知|而2|知，|+1之0,

又由題意可知：卜-2|+性+2|=0

所以只能是：a-2=0,b+2=0,即a=2,b=-2,所

以a+b=0

解：略

例4、已知a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，m

的絕對(duì)值是1,求生吆-〃+/的值。

m

解：原式=0-1+1=0

例5、計(jì)算：（1）8,X0.12/（2）

/］、2（j\2

e+—e——

_ee

22~

\7\7

解：（1）原式

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第二章：代數(shù)式

基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：

一、代數(shù)式

1、代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)

而成的式子，叫代數(shù)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母也是

代數(shù)式。

2、代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)里的字母，計(jì)算

后得到的結(jié)果叫做代數(shù)式的值。

3、代數(shù)式的分類:

Lj單項(xiàng)式

士整式二一

有理式［多I項(xiàng)式

代數(shù)式J

分式

無(wú)理式

二、整式的有關(guān)概念及運(yùn)算

1、概念

(1)單項(xiàng)式:像X、7、2卷,這種數(shù)與字母的積

叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。

單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)叫

做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。

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單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫單項(xiàng)式的系

數(shù)。

（2）多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。

多項(xiàng)式的項(xiàng)：多項(xiàng)式中每一個(gè)單項(xiàng)式都叫多項(xiàng)式的

項(xiàng)。一個(gè)多項(xiàng)式含有幾項(xiàng)，就叫幾項(xiàng)式。

多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，

就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。不含字母的項(xiàng)叫常數(shù)項(xiàng)。

升（降）鬲排列：把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指

數(shù)從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┑腎II頁(yè)序排列起來(lái)，叫做把多項(xiàng)

式按這個(gè)字母升（降）幕排列。

（3）同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指

數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。

2、運(yùn)算

（1）整式的加減：

合并同類項(xiàng)：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為

系數(shù)，字母及字母的指數(shù)不變。

去括號(hào)法則：括號(hào)前面是號(hào)，把括號(hào)和它前面

的"+"號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都不變；括號(hào)前面是"

號(hào)，把括號(hào)和它前面的"號(hào)去掉，括號(hào)里的各項(xiàng)都

變號(hào)。

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添括號(hào)法則：括號(hào)前面是"+"號(hào)，括到括號(hào)里的各

項(xiàng)都不變；括號(hào)前面是"-"號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都

變號(hào)。

整式的加減實(shí)際上就是合并同類項(xiàng)，在運(yùn)算時(shí)，如

果遇到括號(hào)，先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)。

(2)整式的乘除：

幕的運(yùn)算法則：其中m、n都是正整數(shù)

同底數(shù)鬲相乘：""々"=4"；同底數(shù)鬲相除：

a"1^an=an-n；鬲的乘方：("")"=4r積的乘方：

(ab)n=anb\

單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式：用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù)，

對(duì)于相同的字母，用它們的指數(shù)的和作為這個(gè)字母的指

數(shù)；對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指

數(shù)作為積的一個(gè)因式。

單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每

一項(xiàng)，再把所得的積相加。

多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以

另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

單項(xiàng)除單項(xiàng)式：把系數(shù)，同底數(shù)幕分別相除，作為

商的因式，對(duì)于只在被除式里含有字母，則連同它的指

數(shù)作為商的一個(gè)因式。

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多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這

個(gè)單項(xiàng)，再把所得的商相加。

乘法公式：

平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；

完全平方公式：(。+。)2=/+2。。+〃，

(a—b)2=a2—2ab+b2

三、因式分解

1、因式分解概念：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積

的形式，叫因式分解。

2、常用的因式分解方法：

(1)提取公因式法：ma+mb-\-mc=m(a+b+c)

(2)運(yùn)用公式法：

平方差公式：a2-b2^(a+b)(a-b)；完全平方公式：

a2±2ab+b?=(a±b)2

(3)十字相乘法：x1+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

(4)分組分解法：將多項(xiàng)式的項(xiàng)適當(dāng)分組后能提

公因式或運(yùn)用公式分解。

(5)運(yùn)用求根公式法：若小+"+,=0(”0)的兩

個(gè)根是七、則有：

X2,

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2

ax+bx+c=a(x-項(xiàng))(x-x2)

3、因式分解的一般步驟：

(1)如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因

式；

(2)提出公因式或無(wú)公因式可提，再考慮可否運(yùn)

用公式或十字相乘法；

(3)對(duì)二次三項(xiàng)式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解,

不行的再用求根公式法。

(4)最后考慮用分組分解法。

四、分式

1、分式定義：形如J的式子叫分式，其中A、B是

D

整式，且B中含有字母。

(1)分式無(wú)意義：B=0時(shí)，分式無(wú)意義；BWO時(shí),

分式有意義。

(2)分式的值為0:A=0,B/0時(shí)，分式的值等于

0o

(3)分式的約分：把一個(gè)分式的分子與分母的公因

式約去叫做分式的約分。方法是把分子、分母因式分解,

再約去公因式。

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(4)最簡(jiǎn)分式：一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有公因式

時(shí)，叫做最簡(jiǎn)分式。分式運(yùn)算的最終結(jié)果若是分式，一

定要化為最簡(jiǎn)分式。

(5)通分：把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)分

式相等的同分母分式的過(guò)程，叫做分式的通分。

(6)最簡(jiǎn)公分母：各分式的分母所有因式的最高次

幕的積。

(7)有理式:整式和分式統(tǒng)稱有理式。

2、分式的基本性質(zhì):

(1)4=生絲(M是工0的整式)；(2)

BBM

4="”是的整式

BB+M

(3)分式的變號(hào)法則：分式的分子，分母與分式本

身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變。

3、分式的運(yùn)算：

(1)力口、減：同分母的分式相加減，分母不變，分

子相加減；異分母的分式相加減，先把它們通分成同分

母的分式再相加減。

(2)乘：先對(duì)各分式的分子、分母因式分解，約分

后再分子乘以分子，分母乘以分母。

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(3)除：除以一個(gè)分式等于乘上它的倒數(shù)式。

(4)乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。

五、二次根式

1、二次根式的概念：式子右(a20)叫做二次根式。

(1)最簡(jiǎn)二次根式：被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式

是整式，被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因式的二次根式

叫最簡(jiǎn)二次根式。

(2)同類二次根式：化為最簡(jiǎn)二次根式之后，被開(kāi)

方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二次根式。

(3)分母有理化：把分母中的根號(hào)化去叫做分母有

理化。

(4)有理化因式：把兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相

乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代

數(shù)式互為有理化因式(常用的有理化因式有：石與布;

ay[h4-c4d與a4b—cy[d)

2、二次根式的性質(zhì)：

(1)(向2=。(心0)；(2)必=和?(心？；

[一〃(。<0)

(3)4ab=y[a-4b(S>0zb>0)；(4)

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3、運(yùn)算:

(1)二次根式的加減：將各二次根式化為最簡(jiǎn)二次

根式后，合并同類二次根式。

二次根式的乘法：而血=而

(2)(a>0,b>0)o

(3)二次根式的除法：^=^(a>Q,b>Q)

二次根式運(yùn)算的最終結(jié)果如果是根式，要化成最簡(jiǎn)

二次根式。

例題：

一、因式分解：

1、提公因式法：

例1、24a2(x-^)+6b2(y—x)

分析：先提公因式，后用平方差公式

解：略

［規(guī)律總結(jié)］因式分解本著先提取，后公式等，但應(yīng)

把第一個(gè)因式都分解到不能再分解為止，往往需要對(duì)分

解后的每一個(gè)因式進(jìn)行最后的審查，如果還能分解，應(yīng)

繼續(xù)分解。

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2、十字相乘法：

例2、(1)X4-5X2-36；(2)

(x+y)2_4(x+y)T2

分析：可看成是，和(x+y)的二次三項(xiàng)式，先用十

字相乘法，初步分解。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］應(yīng)用十字相乘法時(shí)，注意某一項(xiàng)可是單

項(xiàng)的一字母，也可是某個(gè)多項(xiàng)式或整式，有時(shí)還需要連

續(xù)用十字相乘法。

3、分組分解法：

例3、X3+2X2-X-2

分析：先分組，第一項(xiàng)和第二項(xiàng)一組，第三、第四

項(xiàng)一組，后提取，再公式。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］對(duì)多項(xiàng)式適當(dāng)分組轉(zhuǎn)化成基本方法因式

分組，分組的目的是為了用提公因式，十字相乘法或公

式法解題。

4、求根公式法：

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例4、x2+5x+5

解：略

二、式的運(yùn)算

巧用公式

例5、計(jì)算：（1一々）2_（1+4）2

a-ba-b

分析：運(yùn)用平方差公式因式分解，使分式運(yùn)算簡(jiǎn)單

化。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］抓住三個(gè)乘法公式的特征，靈活運(yùn)用，

特別要掌握公式的幾種變形，公式的逆用，掌握運(yùn)用公

式的技巧，使運(yùn)算簡(jiǎn)便準(zhǔn)確。

2、化簡(jiǎn)求值：

例6、先化簡(jiǎn)，再求值：-（3/+5號(hào)+（4/+7巧.）,

其中x=-1y=1-V2

解：略

［規(guī)律總結(jié)］一定要先化到最簡(jiǎn)再代入求值，注意去

括號(hào)的法則。

3、分式的計(jì)算:

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例7、化簡(jiǎn)三十（」4--3）

2a-6a-3

分析：-3可看成-V

a-3

解：略

［規(guī)律總結(jié)］分式計(jì)算過(guò)程中：（1）除法轉(zhuǎn)化為乘

法時(shí)，要倒轉(zhuǎn)分子、分母；（2）注意負(fù)號(hào)

4、根式計(jì)算

例8、已知最簡(jiǎn)二次根式跖T和目是同類二

次根式，求b的值。

分析：根據(jù)同類二次根式定義可得：2b+l=7-bo

解：略

［規(guī)律總結(jié)］二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算是中考必考內(nèi)容,

特別是二次根式的化簡(jiǎn)、求值及性質(zhì)的運(yùn)用是中考的主

要考查內(nèi)容。

第三章：方程和方程組

基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：

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一、方程有關(guān)概念

1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的

值叫方程的解，含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做方程

的根。

3、解方程：求方程的解或方判斷方程無(wú)解的過(guò)程叫

做解方程。

4、方程的增根：在方程變形時(shí)，產(chǎn)生的不適合原方

程的根叫做原方程的增根。

二、一元方程

L一元一次方程

(1)一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b=O(其中x

是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，awO)

(2)一玩一次方程的最簡(jiǎn)形式：ax=b(其中x是

未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，awO)

(3)解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)和系數(shù)化為lo

(4)一元一次方程有唯一的一個(gè)解。

2、一元二次方程

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(1)一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(其

中X是未知數(shù)，a、b、c是已知數(shù),awo)

(2)一元二次方程的解法：直接開(kāi)平方法、配方

法、公式法、因式分解法

(3)一元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一

般，如果沒(méi)有要求，一般不用配方法。

(4)一元二次方程的根的判別式：A=匕2-4相

當(dāng)△>0時(shí)0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△=()時(shí)o方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)4<0時(shí)=方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，無(wú)解；

當(dāng)A20時(shí)o方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

(5)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：

若芭,看是一元二次方程ax2+>x+c=0的兩個(gè)根，那么：

bc

…2=-1y

(6)以兩個(gè)數(shù)和七為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系

2

數(shù)為1)是：X一(玉+x2)x+x1x2=0

三、分式方程

(1)定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

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(2)分式方程的解法：

一般解法：去分母法，方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母。

特殊方法：換元法。

(3)檢驗(yàn)方法：一般把求得的未知數(shù)的值代入最簡(jiǎn)

公分母，使最簡(jiǎn)公分母不為0的就是原方程的根；使

得最簡(jiǎn)公分母為0的就是原方程的增根，增根必須舍

去，也可以把求得的未知數(shù)的值代入原方程檢驗(yàn)。

四、方程組

1、方程組的解：方程組中各方程的公共解叫做方程

組的解。

2、解方程組：求方程組的解或判斷方程組無(wú)解的過(guò)

程叫做解方程組

3、一次方程組：

(1)二元一次方程組：

一般形式：仇不全為0)

a2x+b2y=c2

解法：代入消遠(yuǎn)法和加減消元法

解的個(gè)數(shù)：有唯一的解，或無(wú)解，當(dāng)兩個(gè)方程相同

時(shí)有無(wú)數(shù)的解。

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(2)三元一次方程組：

解法：代入消元法和加減消元法

4、二元二次方程組：

(1)定義：由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方

程組成的方程組以及由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組

叫做二元二次方程組。

(2)解法：消元，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程，或者降

次，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組。

考點(diǎn)與命題趨向分析

例題：

一、一元二次方程的解法

例L解下列方程：

(1)g(x+3)2=2；(2)2x2+3x^1；(3)

4(X+3)2=25(X-2)2

分析：(1)用直接開(kāi)方法解；(2)用公式法；(3)

用因式分解法

解：略

［規(guī)律總結(jié)］如果一元二次方程形如(X+㈤2=n(n>0),就

可以用直接開(kāi)方法來(lái)解；利用公式法可以解任何一個(gè)有

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解的一元二次方程，運(yùn)用公式法解一元二次方程時(shí)，一

定要把方程化成一般形式。

例2、解下列方程：

（1）%2_々（3%_2。+初=00為未知麴；（2）

X2+2ax-8/=0

分析：（1）先化為一般形式，再用公式法解；（2）

直接可以十字相乘法因式分解后可求解。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］對(duì)于帶字母系數(shù)的方程解法和一般的方程沒(méi)

有什么區(qū)別，在用公式法時(shí)要注意判斷△的正負(fù)。

二、分式方程的解法：

例3、解下列方程：

（2）3=-L—I;（2）=+4=5

l-x-x+lx+2

分析：（1）用去分母的方法；（2）用換元法

解：略

［規(guī)律總結(jié)］一般的分式方程用去分母法來(lái)解，一些具有

特殊關(guān)系如：有平方關(guān)系，倒數(shù)關(guān)系等的分式方程，可

采用換元法來(lái)解。

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三、根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系

例4、已知關(guān)于X的方程：(p-1)—+2px+p+3=0有兩

個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求P的值。

分析：由題意可得△=0，把各系數(shù)代入小=0中就可求

出P，但要先化為一般形式。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］對(duì)于根的判別式的三種情況要很熟練，還有

要特別留意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0

例5、已知a、b是方程，一四%_1=0的兩個(gè)根，求下

列各式的值：

22

(1)?+/?；(2)-+1

ab

分析：先算出a+b和ab的值，再代入把(1)(2)

變形后的式子就可求出解。

［規(guī)律總結(jié)］此類題目都是先算出兩根之和和兩根之積，

再把要求的式子變形成含有兩根之和和兩根之積的形式,

再代入計(jì)算。但要注意檢驗(yàn)一下方程是否有解。

例6、求作一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別比方

程/_X_5=0的兩個(gè)根小3

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分析：先出求原方程的兩根之和七+9和兩根之積平2

再代入求出（X］-3）+（%-2）和（X］-3）（%2-3）的值，所求的

方程也就容易寫出來(lái)。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］此類題目可以先解出第一方程的兩個(gè)解，但

有時(shí)這樣又太復(fù)雜，用根與系數(shù)的關(guān)系就比較簡(jiǎn)單。

三、方程組

例7、解下列方程組：

y-2z=1

產(chǎn)+3y=3（2）z=5

IT-［x+y+3z=4

分析：（1）用加減消元法消x較簡(jiǎn)單；（2）應(yīng)該先

用加減消元法消去y,變成二元一次方程組，較易求解。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］加減消元法是最常用的消元方法，消元時(shí)那

個(gè)未知數(shù)的系數(shù)最簡(jiǎn)單就先消那個(gè)未知數(shù)。

例8、解下列方程組:

（】）te73x2-xy—4y2-3x+4y=0

(2)

x2+y2=25

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分析：（1）可用代入消遠(yuǎn)法，也可用根與系數(shù)的關(guān)系

來(lái)求解；（2）要先把第一個(gè)方程因式分解化成兩個(gè)二

元一次方程，再與第二個(gè)方程分別組成兩個(gè)方程組來(lái)解。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］對(duì)于一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程

組成的方程組一般用代入消元法，對(duì)于兩個(gè)二元二次方

程組成的方程組，一定要先把其中一個(gè)方程因式分解化

為兩個(gè)一次方程再和第二個(gè)方程組成兩個(gè)方程組來(lái)求解。

第四章：列方程（組）解應(yīng)用題

知識(shí)點(diǎn)：

一、列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟

1、審題：

2、設(shè)未知數(shù)；

3、找出相等關(guān)系，列方程（組）；

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4、解方程(組)；

5、檢驗(yàn)，作答；

二、列方程(組)解應(yīng)用題常見(jiàn)類型題及其等量關(guān)

系；

1、工程問(wèn)題

(1)基本工作量的關(guān)系：工作量=工作效率x工作

時(shí)間

(2)常見(jiàn)的等量關(guān)系：甲的工作量+乙的工作量二

甲、乙合作的工作總量

(3)注意：工程問(wèn)題常把總工程看作"1",水池

注水問(wèn)題屬于工程問(wèn)題

2、行程問(wèn)題

(1)基本量之間的關(guān)系：路程;速度x時(shí)間

(2)常見(jiàn)等量關(guān)系：

相遇問(wèn)題：甲走的路程+乙走的路程二全路程

追及問(wèn)題(設(shè)甲速度快)：

同時(shí)不同地：甲的時(shí)間;乙的時(shí)間；甲走的路程-乙

走的路程二原來(lái)甲、乙相距路程

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同地不同時(shí)：甲的時(shí)間;乙的時(shí)間-時(shí)間差;甲的路

程二乙的路程

3、水中航行問(wèn)題：

順流速度;船在靜水中的速度+水流速度；

逆流速度;船在靜水中的速度-水流速度

4、增長(zhǎng)率問(wèn)題：

常見(jiàn)等量關(guān)系：增長(zhǎng)后的量;原來(lái)的量+增長(zhǎng)的量；

增長(zhǎng)的量;原來(lái)的量x（1+增長(zhǎng)率）;

5、數(shù)字問(wèn)題:

基本量之間的關(guān)系：三位數(shù)二個(gè)位上的數(shù)+十位上

的數(shù)X10+百位上的數(shù)X100

三、列方程解應(yīng)用題的常用方法

1、譯式法：就是將題目中的關(guān)鍵性語(yǔ)言或數(shù)量及

各數(shù)量間的關(guān)系譯成代數(shù)式，然后根據(jù)代數(shù)之間的內(nèi)在

聯(lián)系找出等量關(guān)系。

2、線示法：就是用同一直線上的線段表示應(yīng)用題

中的數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)線段長(zhǎng)度的內(nèi)在聯(lián)系，找出等

量關(guān)系。

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3、列表法：就是把已知條件和所求的未知量納入

表格，從而找出各種量之間的關(guān)系。

4、圖示法：就是利用圖表示題中的數(shù)量關(guān)系，它

可以使量與量之間的關(guān)系更為直觀，這種方法能幫助我

們更好地理解題意。

例題：

例1、甲、乙兩組工人合作完成一項(xiàng)工程，合

作5天后，甲組另有任務(wù)，由乙組再單獨(dú)工作1天就

可完成，若單獨(dú)完成這項(xiàng)工程乙組比甲組多用2天，

求甲、乙兩組單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需幾天？

分析：設(shè)工作總量為1,設(shè)甲組單獨(dú)完成工程需要

x天，則乙組完成工程需要(x+2)天，等量關(guān)系是甲組

5天的工作量+乙組6天的工作量=工作總量

解：略

例2、某部隊(duì)奉命派甲連跑步前往90千米外的A

地，1小時(shí)45分后，因任務(wù)需要，又增派乙連乘車前

往支援，已知乙連比甲連每小時(shí)快28千米，恰好在全

程的3處追上甲連。求乙連的行進(jìn)速度及追上甲連的時(shí)

間

分析：設(shè)乙連的速度為v千米/小時(shí)，追上甲連的

時(shí)間為t小時(shí)，則甲連的速度為(v-28)千米/小時(shí)，

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這時(shí)乙連行了。+3小時(shí)，其等量關(guān)系為：甲走的路程

4

二乙走的路程二30

解：略

例3、某工廠原計(jì)劃在規(guī)定期限內(nèi)生產(chǎn)通訊設(shè)備

60臺(tái)支援抗洪，由于改進(jìn)了操作技術(shù)；每天生產(chǎn)的臺(tái)

數(shù)比原計(jì)劃多50%，結(jié)果提前2天完成任務(wù),求改進(jìn)

操作技術(shù)后每天生產(chǎn)通訊設(shè)備多少臺(tái)？

分析：設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)通訊設(shè)備x臺(tái)，則改進(jìn)操

作技術(shù)后每天生產(chǎn)x(1+0.5)臺(tái)，等量關(guān)系為：原計(jì)

劃所用時(shí)間-改進(jìn)技術(shù)后所用時(shí)間=2天

解：略

例4、某商廈今年一月份銷售額為60萬(wàn)元，二月

份由于種種原因，經(jīng)營(yíng)不善，銷售額下降10%,以后

經(jīng)加強(qiáng)管理，又使月銷售額上升，到四月份銷售額增加

到96萬(wàn)元，求三、四月份平均每月增長(zhǎng)的百分率是多

少？

分析：設(shè)三、四月份平均每月增長(zhǎng)率為x%,二月

份的銷售額為60(1-10%)萬(wàn)元，三月份的銷售額為

二月份的(1+x)倍，四月份的銷售額又是三月份的

(1+x)倍，所以四月份的銷售額為二月份的(1+x)

2倍，等量關(guān)系為：四月份銷售額為=96萬(wàn)元。

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解：略

例5、一年期定期儲(chǔ)蓄年利率為2.25%,所得利息

要交納20%的利息稅，例如存入一年期100元，到期

儲(chǔ)戶納稅后所得到利息的計(jì)算公式為：

稅后利息二

IOOx2.25%-100x2.25%x20%=100x2.25%(1-20%)

已知某儲(chǔ)戶存下一筆一年期定期儲(chǔ)蓄到期納稅后得

到利息是450元，問(wèn)該儲(chǔ)戶存入了多少本金?

分析：設(shè)存入x元本金，則一年期定期儲(chǔ)蓄到期納

稅后利息為2.25%(l-20%)x元，方程容易得出。

例6、某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天售出20

件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，減少

庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕档统杀敬胧?jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),

如果每件襯衫每降價(jià)1元,商場(chǎng)平均每天可多售出2

件。若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)

多少元？

分析：設(shè)每件襯衫應(yīng)該降價(jià)x元，則每件襯衫的利

潤(rùn)為(40-x)元，平均每天的銷售量為(20+2x)件,

由關(guān)系式：

總利潤(rùn):每件的利潤(rùn)x售出商品的叫量,可列出方程

解：略

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第五章：不等式及不等式組

知識(shí)點(diǎn)：

一、不等式與不等式的性質(zhì)

L不等式：表示不等關(guān)系的式子。（表示不等關(guān)系

的常用符號(hào)：。，<,>）。

2、不等式的性質(zhì)：

（I）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)，不

等號(hào)方向不改變，如a>b,c為實(shí)數(shù)na+ob+c

（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，

不等號(hào)方向不變，如a>b,c>Onac>bco

（3）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，

不等號(hào)方向改變不口a>b,c<0=>ac<be.

注：在不等式的兩邊都乘以（或除以）一個(gè)實(shí)數(shù)時(shí),

一定要養(yǎng)成好的習(xí)慣、就是先確定該數(shù)的數(shù)性（正數(shù)，

零，負(fù)數(shù)）再確定不等號(hào)方向是否改變，不能像應(yīng)用等

式的性質(zhì)那樣隨便，以防出錯(cuò)。

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3、任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b的大小關(guān)系（三種）：

（1）a-b>Ooa>b

（2）a-b=O=a=b

（3）a-b<Ooa<b

4、（1）a>b>0^4a>4b

（2）a>b>Oo/<h2

二、不等式（組）的解、解集、解不等式

1、能使一^不等式（組）成立的未知數(shù)的一^^值叫

做這個(gè)不等式（組）的一個(gè)解。

不等式的所有解的集合，叫做這個(gè)不等式的解集。

不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分叫做不等

式組的解集。

2.求不等式（組）的解集的過(guò)程叫做解不等式

（組）。

三、不等式（組）的類型及解法

1、一元一次不等式：

（I）概念：含有一個(gè)未知數(shù)并且含未知數(shù)的項(xiàng)的次

數(shù)是一次的不等式，叫做一元一次不等式。

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(2)解法：與解一元一次方程類似，但要特別注意

當(dāng)不等式的兩邊同乘以(或除以)一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)

方向要改變。

2、一元一次不等式組：

(I)概念：含有相同未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式

所組成的不等式組，叫做一元一次不等式組。

(2)解法：先求出各不等式的解集，再確定解集的

公共部分。

注：求不等式組的解集一般借助數(shù)軸求解較方便。

例題：

方法1:利用不等式的基本性質(zhì)

1、判斷正誤：

(1)若a>b,c為實(shí)數(shù)，則/>兒2；

(2)若<，則a>b

分析：在(I)中，若c=0,則/=尻2;在(2)

中,因?yàn)?>",所以。C#0,否則應(yīng)有/=一

故a>b

解：略

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［規(guī)律總結(jié)］將不等式正確變形的關(guān)鍵是牢記不等

式的三條基本性質(zhì),不等式的兩邊都乘以或除以含有字

母的式子時(shí)，要對(duì)字母進(jìn)行討論。

方法2:特殊值法

例2、若a<b<0,那么下列各式成立的是()

A、-<-B、ab<0C、-<iD、->i

abbb

分析：使用直接解法解答常常費(fèi)時(shí)間，又因?yàn)榇鸢?/p>

在一般情況下成立，當(dāng)然特殊情況也成立，因此采用特

殊值法。

解：根據(jù)a<b<0的條件，可取a=-2,b=-1,代

入檢驗(yàn)，易知F〉1,所以選D

［規(guī)律總結(jié)］此種方法常用于解選擇題，學(xué)生知識(shí)有

限，不能直接解答時(shí)使用特殊值法，既快，又能找到符

合條件的答案。

方法3:類比法

例3、解下列一元一次不等式，并把解集在數(shù)軸上

表示出來(lái)。

(l)8-2(x+2)<4x-2;(2)

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分析：解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程

類似，主要步驟有去分母，去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),

把系數(shù)化成1,需要注意的是，不等式的兩邊同時(shí)乘以

或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)要改變方向。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］解一元一次不等式與解一元一次方程的

步驟類似，但要注意當(dāng)不等式的兩邊都乘以或除以同一

個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向必須改變，類比法解題，使學(xué)

生容易理解新知識(shí)和掌握新知識(shí)。

方法4:數(shù)形結(jié)合法

2(%+8)<10-4(%-3)

例4、求不等式組：］x+16x4-7的非負(fù)整數(shù)

-----------<1

I23

解

分析：要求一個(gè)不等式組的非負(fù)整數(shù)解，就應(yīng)先求

出不等式組的解集，再?gòu)慕饧姓页銎渲械姆秦?fù)整數(shù)解。

解：略

方法5:逆向思考法

例5、已知關(guān)于X的不等式(?-2)x>10-?的解集是X

>3,求a的值。

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分析：因?yàn)殛P(guān)于X的不等式的解集為x>3,與原不

等式的不等號(hào)同向，所以有a-2>0,即原不等式的

解集為尤>曾,空=3解此方程求出a的值。

解：略

［規(guī)律總結(jié)］此題先解字母不等式，后著眼已知的解集,

探求成立的條件，此種類型題都采用逆向思考法來(lái)解。

第六章：函數(shù)及其圖像

知識(shí)點(diǎn)：

一、平面直角坐標(biāo)系

1、平面內(nèi)有公共原點(diǎn)且互相垂直的兩條數(shù)軸，構(gòu)

成平面直角坐標(biāo)系。在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)和有序?qū)?/p>

數(shù)對(duì)之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

2、不同位置點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：

(1)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)有如下特征：

點(diǎn)P(x,y)在第一象限"x>0,y>0;

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點(diǎn)P(X,y)在第二象限OX<0,y>0;

點(diǎn)P(x,y)在第三象限ox<0,y<0;

點(diǎn)P(x,y)在第四象限"x>0,y<0o

(2)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)有如下特征：

點(diǎn)P(x,y)在x軸上Oy為0,x為任意實(shí)數(shù)。

點(diǎn)P(x,y)在y軸上=x為。，y為任意實(shí)數(shù)。

3.點(diǎn)P(x,y)坐標(biāo)的幾何意義：

(1)點(diǎn)P(x,y)至Ijx軸的距離是|y|;

(2)點(diǎn)P(x,y)至!Jy袖的距離是|x|;

(3)點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離是正壽

4.關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：

(1)點(diǎn)P(a,b)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是63,-")；

(2)點(diǎn)P(a,b)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是鳥(niǎo)(-/份;

(3)點(diǎn)P(a,b)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是6(-”,-加;

二、函數(shù)的概念

1、常量和變量：在某一變化過(guò)程中可以取不同數(shù)值

的量叫做變量；保持?jǐn)?shù)值不變的量叫做常量。

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2、函數(shù)：一般地，設(shè)在某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量

x和y,如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它

對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)。

(1)自變量取值范圍的確是：

①解析式是只含有一個(gè)自變量的整式的函數(shù)，自變

量取值范圍是全體實(shí)數(shù)。

②解析式是只含有一個(gè)自變量的分式的函數(shù)，自變

量取值范圍是使分母不為0的實(shí)數(shù)。

③解析式是只含有一個(gè)自變量的偶次根式的函數(shù)，

自變量取值范圍是使被開(kāi)方數(shù)非負(fù)的實(shí)數(shù)。

注意：在確定函數(shù)中自變量的取值范圍時(shí)，如果遇

到實(shí)際問(wèn)題，還必須使實(shí)際問(wèn)題有意義。

(2)函數(shù)值：給自變量在取值范圍內(nèi)的一個(gè)值所求

得的函數(shù)的對(duì)應(yīng)值。

(3)函數(shù)的表示方法：①解析法；②列表法；③圖

像法

(4)由函數(shù)的解析式作函數(shù)的圖像，一般步驟是：

①列表；②描點(diǎn)；③連線

三、幾種特殊的函數(shù)

1、一次函數(shù)

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自變量的

函數(shù)圖像

取值范圍性質(zhì)

正比例全體

函數(shù)實(shí)數(shù)

當(dāng)

時(shí)

①k>。y

隨

純

增

的

而

X大

大

增

時(shí)

②當(dāng)k<Oy

隨

X的增大而

減

一次全體

函數(shù)實(shí)數(shù)

直線位置與k,b的關(guān)系：

(1)k>0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的

夾角為銳角；

(2)k<0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的

夾角為鈍角；

(3)b>0直線與y軸交點(diǎn)在x軸的上方;

(4)b=0直線過(guò)原點(diǎn)；

(5)b<0直線與y軸交點(diǎn)在x軸的下方；

2、二次函數(shù)

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自變量的

函數(shù)解析式圖像(拋物線)

取值范圍

(1)一般對(duì):y=a^+bx+c

(a#0)

次

二(2)頂點(diǎn)式:y=a(x-m)2+n

全體

數(shù)

的頂點(diǎn)為(m,n)

實(shí)數(shù)

(3)兩根式：

y=a(x-xj)(x-x2)^

X軸兩交點(diǎn)：(X],O)(X2,O)

拋物線位置與a,b,c的關(guān)系:

a>0。開(kāi)口向上

(1)a決定拋物線的開(kāi)口方向

〃<0o開(kāi)口向下

(2)c決定拋物線與v軸交點(diǎn)的位置：

c>0=圖像與y軸交點(diǎn)在x軸上方；c=0=圖像過(guò)

原點(diǎn)；c<0o圖像與y軸交點(diǎn)在x軸下方；

(3)a,b決定拋物線對(duì)稱軸的位置：a,b同號(hào)，

對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；b=0,對(duì)稱軸是y軸；a,b異

號(hào)。對(duì)稱軸在V軸右側(cè)；

3、反比例函數(shù):

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函數(shù)解析式圖像(雙曲線)性質(zhì)

①k>0時(shí)，困像的兩個(gè)分

分別在一、三象限，在每

象限內(nèi)，X的增大而

反比x#0

小；

例y=T的

②k<0時(shí)，圖像的兩個(gè)分

函數(shù)(k#0)實(shí)數(shù)

分別在二、四象限，在每

象限內(nèi)，y隨x的增大而

大

k>0

4、正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的對(duì)照表：

函數(shù)正比例函數(shù)反比例函數(shù)

解析式y(tǒng)=kx(k*0)y=—(4#0)

X

圖像直線，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)雙曲線，與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)

自變量取值范圍全體實(shí)數(shù)彳聲0的一切實(shí)數(shù)

圖像的位置當(dāng)4>0時(shí)，在一、三象限；當(dāng)人>0時(shí)，在一、三象限；

當(dāng)A<0時(shí)，在二、四象限。當(dāng)A<0時(shí)，在二、四象限。

性質(zhì)當(dāng)A>0時(shí),y隨彳增大而增大；當(dāng)A>0時(shí),y隨力增大而減??；

當(dāng)A<0時(shí)，y隨工的增大而減小。當(dāng)人<0時(shí).隨力增大而增大。

例題：

例1、正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P

(m,4),已知點(diǎn)P到x軸的距離是到y(tǒng)軸的

距離2倍.

⑴求點(diǎn)P的坐標(biāo).;

⑵求正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式。

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分析：由點(diǎn)P到X軸的距離是到y(tǒng)軸的距離2倍可

知：21ml=4,易求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法

可求出這正、反比例函數(shù)的解析式。

解：略

例2、已知a,b是常數(shù)，且y+b與x+a成正比例.

求證：y是x的一次函數(shù).

分析：應(yīng)寫出y+b與x+a成正比例的表達(dá)式，然

后判斷所得結(jié)果是否符合一次函數(shù)定義.

證明：由已知，有y+b=k(x+a),其中k/0.

整理，得y=kx+(ka-b).①

因?yàn)閗wO且ka-b是常數(shù)，故y=kx+(ka-b)是x

的一次函數(shù)式.

例3、填空:如果直線方程ax+by+c=O中，a<0,

b<0且be<0,則此直線經(jīng)過(guò)第象限.

分析：先把a(bǔ)x+by+c=O化為.因?yàn)閍<0,

b<0,所以》o,-go，又bc<0,即”0,故-Q0.

bbbb

相當(dāng)于在一次函數(shù)y=kx+l中

hb

此直線與y軸的交點(diǎn)(0，-會(huì)在x軸上方.且此直線的

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向上方向與X軸正方向所成角是鈍角，所以此直線過(guò)第

一、二、四象限.

例4、把反比例函數(shù)y二七與二次函數(shù)y=kx2(kwo)畫

X

在同一個(gè)坐標(biāo)系里，正確的是().

答：選(D).這兩個(gè)函數(shù)式中的k的正、負(fù)號(hào)應(yīng)相同(圖

13-110).

例5、畫出二次函數(shù)y=x2-6x+7的圖象，根據(jù)圖

象回答下列問(wèn)題：

(1)當(dāng)x=-l,1,3時(shí)y的值是多少？

(2)當(dāng)y=2時(shí)，對(duì)應(yīng)的x值是多少？

(3)當(dāng)x>3時(shí)，隨x值的增大y的值怎樣變化？

(4)當(dāng)x的值由3增加1時(shí),對(duì)應(yīng)的y值增加多

少？

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分析：要畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象，首先用配方法

把y=x2-6x+7變形為y=(x-3)2-2,確定拋物線的開(kāi)

口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后列表、描點(diǎn)、畫圖.

解：圖象略.

例6、拖拉機(jī)開(kāi)始工作時(shí)，油箱有油45升,如果

每小時(shí)耗油6升.

(1)求油箱中的余油量Q(升)與工作時(shí)間t(時(shí))

之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)畫出函數(shù)的圖象.

答：(1)Q=45-6t.

(2)圖象略.注意：這是實(shí)際問(wèn)題，圖象只能由

自變量t的取值范圍0WG7.5決定是一條線段，而不

是直線.

第七章：統(tǒng)計(jì)初步

知識(shí)點(diǎn)：

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一、總體和樣本：

在統(tǒng)計(jì)時(shí)，我們把所要考察的對(duì)象的全體叫做總體，

其中每一考察對(duì)象叫做個(gè)體。從總體中抽取的一部分個(gè)

體叫做總體的一個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容

量。

二、反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的特征數(shù)

1、平均數(shù)

(1)x,x,x,---,x的平均數(shù)，X=1(X]+工2+…+工〃)

i2inn

(2)加權(quán)平均數(shù)：如果n個(gè)數(shù)據(jù)中，匹出現(xiàn)工次，

々出現(xiàn)人次，……，々出現(xiàn)4次(這里

fi+f+---+f=n)，貝！=+%2力+…+4力)

2kn

(3)平均數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算：

當(dāng)一組數(shù)據(jù)X],“29”3，，，，，X”中各數(shù)據(jù)的數(shù)值較大，并且

都與常數(shù)a接近時(shí)，設(shè)內(nèi)—a,x2—a,x3—a,---,xn—a的平均

數(shù)為，則：x=x'+ao

2、中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)接從小到大的順序排列，處

在最中間位置上的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果數(shù)

據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)中位數(shù)就是處在中間位置上兩個(gè)數(shù)據(jù)的

平均數(shù)。

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3、眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做

這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一個(gè)。

三、反映數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的特征數(shù)：

1、方差：

(I)xl,x2,x3,---,x?的方差，

52=&<)2+(/-.+...+(招-苗

n

2,2,12

(2)簡(jiǎn)化計(jì)算公式：s2—+、+…+居

n

(不和知…,Z為較小的整數(shù)時(shí)用這個(gè)公式要比較方便)

(3)記不與知…，居的方差為。，設(shè)a為常數(shù),

%]—a,x2—a,x3一〃,???,工〃一a的方差為S'?,則S2=S'2。

注：當(dāng)玉,私孫…，，各數(shù)據(jù)較大而常數(shù)a較接近時(shí),

用該法計(jì)算方差較簡(jiǎn)便。

2、標(biāo)準(zhǔn)差：方差(S2)的算術(shù)平方根叫做標(biāo)準(zhǔn)差

⑸。

注：通常由方差求標(biāo)準(zhǔn)差。

四、頻率分布

1、有關(guān)概念

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(1)分組：將一組數(shù)據(jù)按照統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)分成若干組

稱為分組，當(dāng)數(shù)據(jù)在100個(gè)以內(nèi)時(shí)，通常分成5-12

組。

(2)頻數(shù)：每個(gè)小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做該組的頻

數(shù)。各個(gè)小組的頻數(shù)之和等于數(shù)據(jù)總數(shù)

no

(3)頻率：每個(gè)小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)n的比值叫

做這一小組的頻率，各小組頻率之和為I。

(4)頻率分布表：將一組數(shù)據(jù)的分組及各組相應(yīng)的

頻數(shù)、頻率所列成的表格叫做頻率分布表。

(5)頻率分布直方圖：將頻率分布表中的結(jié)果，繪

制成的，以數(shù)據(jù)的各分點(diǎn)為橫坐標(biāo)，以頻率除以組距為

縱坐標(biāo)的直方圖，叫做頻率分布直方圖。

圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的高等于該組的頻率除以組距。

每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于該組的頻率。

所有小長(zhǎng)方形的面積之和等于各組頻率之和等于lo

樣本的頻率分布反映樣本中各數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)分別占樣

本容量n的比例的大小，總體分布反映總體中各組數(shù)

據(jù)的個(gè)數(shù)分別在總體中所占比例的大小，一般是用樣本

的頻率分布去估計(jì)總體的頻率分布。

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2、研究頻率分布的方法；得到一數(shù)據(jù)的頻率分布和

方法，通常是先整理數(shù)據(jù)，后畫出頻率分布直方圖，其

步驟是：

（1）計(jì)算最大值與最小值的差；（2）決定組距與

組數(shù)；（3）決定分點(diǎn)；（4）列領(lǐng)率分布表；（5）繪