分段插值與最小二乘法

分段插值與最小二乘法第一頁，共七十八頁，2022年，8月28日龍格現(xiàn)象第二頁，共七十八頁，2022年，8月28日第三頁，共七十八頁，2022年，8月28日分段插值第四頁，共七十八頁，2022年，8月28日分段線性插值第五頁，共七十八頁，2022年，8月28日分段基函數(shù)與圖像第六頁，共七十八頁，2022年，8月28日

第七頁，共七十八頁，2022年，8月28日

第八頁，共七十八頁，2022年，8月28日分段線性插值第九頁，共七十八頁，2022年，8月28日分段線性插值第十頁，共七十八頁，2022年，8月28日

缺點(diǎn)：I(x)連續(xù)，但不光滑，精度較低,僅在第十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日分段三次Hermite插值上述分段線性插值曲線是折線，光滑性差，如果交通工具用這樣的外形，則勢(shì)必加大摩擦系數(shù)，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。第十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日分段三次Hermite插值第十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日分段三次Hermite插值第十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日分段三次Hermite插值第十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日分段三次Hermite插值第十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日分段三次Hermite插值第十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日分段三次Hermite插值算法第十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日例題第十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日例題第二十頁，共七十八頁，2022年，8月28日三次樣條插值第二十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日三次樣條插值第二十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日三次樣條插值第二十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日三次樣條插值第二十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日三次樣條插值第二十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日三次樣條插值第二十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日三次樣條插值第二十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日三次樣條插值第二十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日第二十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日三次樣條插值第三十頁，共七十八頁，2022年，8月28日三次樣條插值第三十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日三次樣條插值第三十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日三次樣條插值第三十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日例題例4.4.1已知函數(shù)y=f(x)的數(shù)表如下表所示。

求滿足邊界條件x00.150.300.450.60f(x)10.978000.917430.831600.73529第三十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日

解做差商表(P111),由于是等距離節(jié)點(diǎn),第三十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日

由第二類邊界條件得第三十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日

解方程得將Mi代入式4.4.14)得第三十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日

由于故

第三十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日4．5曲線擬和的最小二乘法插值法是用多項(xiàng)式近似的表示函數(shù),并要求在他們的某些點(diǎn)處的值相擬合.同樣也可以用級(jí)數(shù)的部分和作為函數(shù)的近似表達(dá)式.無論用那種近似表達(dá)式,在實(shí)際應(yīng)用中都要考慮精度,所以我們給出最佳逼近的討論.第三十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日4.5.1最佳平方逼近定義4.5.1設(shè)稱為函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的內(nèi)積.

其中為區(qū)間[a,b]上的權(quán)函數(shù),且滿足下面兩個(gè)條件:第四十頁，共七十八頁，2022年，8月28日容易驗(yàn)證,上述定義的函數(shù)內(nèi)積滿足一般內(nèi)積概念中四條基本性質(zhì).第四十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日內(nèi)積的性質(zhì)第四十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日函數(shù)的歐幾里得范數(shù)定義4.5.2設(shè)稱為函數(shù)f(x)的歐幾里得范數(shù),或2范數(shù).第四十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日函數(shù)的歐幾里得范數(shù)性質(zhì)第四十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日線性相關(guān)的函數(shù)系定義4.5.3設(shè)函數(shù),如果存在一組不全為零的數(shù)使成立,則稱函數(shù)系是線性相關(guān)的,否則稱是線性無關(guān)的.第四十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日線性相關(guān)的函數(shù)系的判定定理4.5.1函數(shù)在區(qū)間[a,b]上線性相關(guān)的充分必要條件是Gramer行列式第四十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日

不難證明在R上線性無關(guān).定理的等價(jià)說法是:函數(shù)系線性無關(guān)的充分必要條件是Gramer行列式.第四十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日最佳平方逼近定義4.5.4設(shè)函數(shù)及函數(shù)系且線性無關(guān).記為連續(xù)函數(shù)空C[a,b]的子空間,如果存在元素滿足第四十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日

則稱為f(x)在上的最佳平方逼近函數(shù).且其中是法方程唯一的一組解.第四十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日

令則誤差為第五十頁，共七十八頁，2022年，8月28日特例取則法方程為其中第五十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日例題例4.5.1設(shè)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式.解設(shè)由于第五十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日

故法方程為解得第五十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日

平方誤差為第五十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日4.5.2對(duì)離散數(shù)據(jù)的曲線擬合最小二乘法曲線擬合問題對(duì)于f(x)插值問題,要想提高精度,就要增加節(jié)點(diǎn),因此多項(xiàng)式的次數(shù)也就太高,計(jì)算量過大,而節(jié)點(diǎn)少,多項(xiàng)式的次數(shù)低,但誤差精度不能保證,為了消除誤差干擾,取多一些節(jié)點(diǎn)利用最小二乘法確定低次多項(xiàng)式近似表示f(x),這就是曲線擬合問題.第五十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日

在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中,得到函數(shù)y=f(x)的一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù):,求曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差在某種度量意義下最小.第五十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日

設(shè)是[a,b]上一組線性無關(guān)的連續(xù)函數(shù)系,令記誤差.為尋求我們常以誤差加權(quán)平方和最小為度量標(biāo)準(zhǔn),即第五十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日

達(dá)到極小值,這里是[a,b]上的權(quán)函數(shù).類似前述最佳平方逼近方法,有多元函數(shù)極值必要條件有第五十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日

用向量?jī)?nèi)積形式表示,上式可記上式為求的法方程組,其矩陣的形式為第五十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日

其中由于向量組是線性無關(guān),故式(4.5.14)的系數(shù)行列式第六十頁，共七十八頁，2022年，8月28日

故式(4.5.14)存在唯一解,于是得到函數(shù)f(x)的最小二乘解其平方誤差為第六十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日特例第六十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日例題例4.5.2設(shè)函數(shù)y=f(x)的離散數(shù)據(jù)如下表所示試用二次多項(xiàng)式擬和上述數(shù)據(jù),并求平方誤差.01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.2262.718第六十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日

解由式(4.5.16)可得解方程組得所以擬合二次函數(shù)為第六十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日

平方誤差為第六十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日

例4.5.3地球溫室效應(yīng)問題下表統(tǒng)計(jì)了近100年內(nèi)地球大氣氣溫上升的數(shù)據(jù).試根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立一數(shù)學(xué)模型即擬和曲線,并根據(jù)這一模型,預(yù)報(bào)地球氣溫何年會(huì)比1860年的平均溫度高第六十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日

年份N1860年后地球氣溫增加值年份N1860年后地球氣溫增加值18800.0119400.1018900.0219500.1319000.0319600.1819100.0419700.2419200.0619800.3219300.08第六十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日

解為簡(jiǎn)化數(shù)據(jù),從1880年起年份記N,其變換n=(N-1870)/10.將地球氣溫增加值改記為t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是將原氣溫增加值擴(kuò)大100倍,根據(jù)新數(shù)據(jù)繪制圖4.5.1(P119)第六十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日

從圖4.5.1可以看出,氣溫t與變換n大致服從指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)過程,因此,可以假設(shè)t與n滿足指數(shù)函數(shù)關(guān)系為決定參數(shù)α,β將上式改寫成第六十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日

記則有這是已知數(shù)據(jù)相應(yīng)地變?yōu)槿缦卤硭緉1234567891011ln1ln2ln3ln4ln6ln8ln10ln13ln19ln24ln32第七十頁，共七十八頁，2022年，8月28日

由式(4.5.16),取n=1,m=10,并將上表已知數(shù)據(jù)帶入得解方程組得:第七十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日

相應(yīng)的t與n的指數(shù)型擬合曲線關(guān)系為就是所求地球溫室效應(yīng)的指數(shù)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型,以此進(jìn)行預(yù)報(bào),即已知t值求第七十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日

以地球氣溫比1860年上升為例,即以t=700代入上式可得:N(7)=2078(年)第七十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日4.5.3矛盾方程組的最小二乘解設(shè)矛盾方程組這里m>n,記第七十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日

則上式可簡(jiǎn)記為Ax=b.矛盾方程組的最小二乘解x*是指滿足第七十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日

引理設(shè)則B為半正定對(duì)稱方陣,當(dāng)R(A)=n,則B是正定對(duì)稱方陣.若A的各列線性無關(guān),則是非奇異方陣.第七十