典型數(shù)值分析模型

典型數(shù)值分析模型第一頁，共九十四頁，2022年，8月28日第一節(jié)插值法在生產(chǎn)和科學(xué)研究中,經(jīng)常出現(xiàn)這樣的問題:由實(shí)驗(yàn)或測量得到的某一函數(shù)在一系列點(diǎn)處的值,需要構(gòu)造一個(gè)簡單函數(shù)作為函數(shù)的近似表達(dá)式:,使得

這類問題稱為插值問題.稱為被插值函數(shù),稱為插值函數(shù)稱為插值節(jié)點(diǎn);式(6-1)稱為插值條件.常用的插值函數(shù)是多項(xiàng)式與樣條函數(shù).第二頁，共九十四頁，2022年，8月28日拉格朗日(lagrange)插值取n次多項(xiàng)式pn(x)作為插值函數(shù)

pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

利用插值條件有：其系數(shù)行列式為n+1階范德蒙行列式，因插值節(jié)點(diǎn)互不相同，所以方程組的解存在且唯一。第三頁，共九十四頁，2022年，8月28日

其系數(shù)行列式為范德蒙(Vandermonde)行列式:由于插值節(jié)點(diǎn)互不相同,所以上述行列式不等于0,故由克萊姆(Cramer)法則知,方程組(6-3)的解存在而且是唯一的.實(shí)際上比較簡單的方法不是解方程組(6-3),而是構(gòu)造一組插值基函數(shù).為此,首先求滿足條件第四頁，共九十四頁，2022年，8月28日

的n次多項(xiàng)式因?yàn)槭剑?-4）表明，除點(diǎn)以外，其他所有的節(jié)點(diǎn)都是n次多項(xiàng)式的零點(diǎn)，故設(shè)

其中A為待定常數(shù)。由可得所以第五頁，共九十四頁，2022年，8月28日

稱之為拉格朗日插值基函數(shù)。利用插值基函數(shù)（6-5），可以構(gòu)造多項(xiàng)式就是滿足插值條件的拉格郎日插值問題的解，稱式（6-6）為拉格朗日插值多項(xiàng)式。特別地，當(dāng)n=1時(shí)稱為線性插值，其插值多項(xiàng)式為：滿足從幾何上看,為過兩點(diǎn)的直線。第六頁，共九十四頁，2022年，8月28日當(dāng)n=2時(shí)，稱為拋物線插值，其插值多項(xiàng)式為：滿足從幾何上看為過點(diǎn)和的一條拋物線。第七頁，共九十四頁，2022年，8月28日埃爾米特插值許多插值問題不但要求在節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相等，而且還要求對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要求高階導(dǎo)數(shù)也相等，滿足這種要求的插值多項(xiàng)式被稱為埃爾米特（Hermite）插值多項(xiàng)式設(shè)在節(jié)點(diǎn)上，要求插值多項(xiàng)式，滿足條件由于（6-7）式給出了2n+2個(gè)條件，因此可以唯一確定一個(gè)次數(shù)不超過2n+1的多項(xiàng)式，其形式為根據(jù)（6-7）式來確定顯然非常復(fù)雜。第八頁，共九十四頁，2022年，8月28日仿照拉格朗日插值多項(xiàng)式的基函數(shù)方法，可先求插值基函數(shù)，及共用2n+2個(gè)，每一個(gè)基函數(shù)都是2n-1次多項(xiàng)式，且滿足條件于是滿足條件（6-7）的插值多項(xiàng)式可寫成由條件（6-8）式顯然有第九頁，共九十四頁，2022年，8月28日

利用拉格朗日插值基函數(shù)令其中為（6-5）式所表示的基函數(shù)。由條件（6-8）式可得整理得:

解出對兩邊取對數(shù)求導(dǎo)可得于是第十頁，共九十四頁，2022年，8月28日

同理仿照拉格朗日插值余項(xiàng)的證明方法，若在內(nèi)的2n+2階導(dǎo)數(shù)存在，則其插值余項(xiàng)為其中第十一頁，共九十四頁，2022年，8月28日三次樣條插值分段線性插值，具有良好的穩(wěn)定性和收斂性，但光滑性較差。在數(shù)學(xué)上若函數(shù)（曲線）的k階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有k階光滑性。易見，分段線性插值不光滑，這影響了它在某些工程技術(shù)實(shí)際問題中的應(yīng)用。例如：在船體、飛機(jī)等外形曲線的設(shè)計(jì)中，不僅要求曲線連續(xù)而且還要求曲線的曲率連續(xù)，這就要求插值函數(shù)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。為解決這一類問題，就產(chǎn)生了三次樣條插值。所謂樣條（Spline），本來是指一種繪圖工具，它是一種富有彈性的細(xì)長木條，在飛機(jī)或輪船制造過程中，被用于描繪光滑的外形曲線。使用時(shí)，用壓鐵將其固定在一些給定的節(jié)點(diǎn)上，在其他地方任其自然彎曲，然后依樣畫下的光滑曲線，就稱為樣條曲線。它實(shí)際上是由分段三次曲線拼接而成，在連續(xù)點(diǎn)即節(jié)點(diǎn)上，不僅函數(shù)自身是連續(xù)的，而且它的一階和二階導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的。從數(shù)學(xué)上加以概括，可得到樣條函數(shù)的定義如下：第十二頁，共九十四頁，2022年，8月28日三次樣條函數(shù)記作S（x），a≤x≤b，滿足：①在每個(gè)小區(qū)間[xi，xi+1]（i=0,1,…,n-1）是三次多項(xiàng)式②在每個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)xi（i=1,2,…,n-1）上具有二次連續(xù)導(dǎo)數(shù)③S（xi）=yi，i=0,1,2,…,n由三次樣條函數(shù)中的條件①知，S（x）有4n個(gè)待定系數(shù)。由條件②知，S（x）在n-1個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，即滿足條件：第十三頁，共九十四頁，2022年，8月28日

共有3（n-1）個(gè)條件。由條件③，知S（xi）=yi（i=0,1,2,…,n），共有n+1個(gè)條件。因此，要確定一個(gè)三次樣條，還需要外加4n-3（n-1）-（n+1）=2個(gè)條件，最常用的三次樣條函數(shù)S（x）的邊界條件有兩類：第一類邊界條件：第二類邊界條件：特別地，,稱為自然邊界條件第三類邊界條件：

稱為周期邊界條件。

三次樣條插值不僅光滑性好，而且穩(wěn)定性和收斂性都有保證，具有良好的逼近性質(zhì)。樣條插值函數(shù)的建立第十四頁，共九十四頁，2022年，8月28日構(gòu)造滿足條件的三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式可以有多種方法。下面我們利用的二階導(dǎo)數(shù)值表達(dá)，由于在區(qū)間上是三次多項(xiàng)式，故在上是線性函數(shù)，可表示為其中對積分兩次并利用及，可定出積分常數(shù)，于是得三次樣條表達(dá)式第十五頁，共九十四頁，2022年，8月28日上式中是未知的，為確定對求導(dǎo)得

由此可得類似地可求出在區(qū)間上的表達(dá)式，從而得利用可得第十六頁，共九十四頁，2022年，8月28日

其中對第一類邊界條件，可導(dǎo)出兩個(gè)方程第十七頁，共九十四頁，2022年，8月28日

如果令則式（6-14）及其（6-16）可寫出矩陣通過求解上述三對角矩陣可求得對于第二類邊界條件，直接得端點(diǎn)方程第十八頁，共九十四頁，2022年，8月28日

如果令，則式（6-14）及式（6-18）也可以寫成矩陣（6-17）的形式對于第三類邊界條件，可得其中則式（6-14）及式（6-19）可以寫成矩陣形式求解上述矩陣可得第十九頁，共九十四頁，2022年，8月28日曲線擬合通過實(shí)驗(yàn)等方法觀測到反映某個(gè)函數(shù)y=f(x)的數(shù)據(jù)(xi，yi)（i=1,2,…,n），要求利用這些數(shù)據(jù)構(gòu)造出y=f（x）的近似表達(dá)式y(tǒng)=P（x），上面介紹的插值法就是尋求近似函數(shù)的方法之一。但由于實(shí)驗(yàn)觀測數(shù)據(jù)不可避免地帶有誤差，甚至是較大的誤差，所以使用插值法是不合適的，它會保留數(shù)據(jù)的誤差。因此，不必要求近似函數(shù)y=P（x）滿足

P（xi）=yi（i=1,…,n），而只要求偏差按某種標(biāo)準(zhǔn)最小，以反映所給數(shù)據(jù)的總體趨勢，消除局部波動的影響，這就是曲線擬合問題。這樣的函數(shù)P（x）稱為擬合函數(shù)。擬合的準(zhǔn)則：衡量一個(gè)函數(shù)P（x）同所給數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1,…,n）的偏差

的大小，常用的準(zhǔn)則有如下三種：第二十頁，共九十四頁，2022年，8月28日(1)最小二乘準(zhǔn)則：使偏差的平方和最小，即(2)最小一乘準(zhǔn)則：使偏差的絕對值之和為最小，即

(3)極小極大準(zhǔn)則：使偏差的最大絕對值最小，即第二十一頁，共九十四頁，2022年，8月28日計(jì)算的方法(1)最小二乘準(zhǔn)則下的計(jì)算方法

設(shè)為m個(gè)線性無關(guān)的函數(shù)，對給定的數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1,2,…,n），求

使

最小。利用極值的必要條件得到關(guān)于的線性方程組

第二十二頁，共九十四頁，2022年，8月28日

則方程組可表示為，其中

由于線性無關(guān)，所以G是列滿秩，GTG是可逆矩陣，方程組的解存在且唯一，并且常用的擬合曲線:第二十三頁，共九十四頁，2022年，8月28日(a)取，得直線擬合(b)取，得多項(xiàng)式擬合

(c)取，得多元線性擬合(d)取，則得曲線擬合

第二十四頁，共九十四頁，2022年，8月28日還有許多非線性擬合，例如，S曲線

可通過變量代換，令，，化為對

a1，a2的線性函數(shù)。一般地，已知一組數(shù)據(jù)，先畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，在直觀判斷的基礎(chǔ)上，選幾種曲線分別作擬合，選擇偏差平方和Q最小的曲線。

第二十五頁，共九十四頁，2022年，8月28日(2)最小一乘準(zhǔn)則下的計(jì)算方法

設(shè)為m個(gè)線性無關(guān)的函數(shù)，對給定的數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1,2,…,n），求

使

達(dá)到最小。

易見式中目標(biāo)函數(shù)含有絕對值，為了去掉上式中的絕對值，令

第二十六頁，共九十四頁，2022年，8月28日

則Ui≥0，Vi≥0，且此時(shí)（6-20）式可改寫為

相應(yīng)地（6-21）式可改寫為綜合以上幾個(gè)式子，求得的問題可歸結(jié)為如下線性規(guī)劃問題：為任意常數(shù)第二十七頁，共九十四頁，2022年，8月28日(3)極小極大準(zhǔn)則下的計(jì)算方法

設(shè)為m個(gè)線性無關(guān)的函數(shù)，對給定的數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1,2,…,n），求

使

達(dá)到最小。上式可改寫為第二十八頁，共九十四頁，2022年，8月28日記，則求解的問題可歸結(jié)為如下線性規(guī)劃問題：為任意常數(shù)第二十九頁，共九十四頁，2022年，8月28日第二節(jié)非線性方程求根

本節(jié)主要討論單變量非線性方程的求根問題，這里。在科學(xué)與工程計(jì)算中有大量方程求根問題，其中一類特殊的問題是多項(xiàng)式方程其中系數(shù)為實(shí)數(shù)。方程的根，又稱為函數(shù)的零點(diǎn)，它使，若可分解為其中為正整數(shù)，且。當(dāng)時(shí)，則稱單根，若稱為重根，或?yàn)榈闹亓泓c(diǎn)。若是的重零點(diǎn)，且充分光滑，則第三十頁，共九十四頁，2022年，8月28日當(dāng)為代數(shù)多項(xiàng)式（6-25）時(shí)，根據(jù)代數(shù)基本定理可知，n次方程在復(fù)數(shù)域中有且只有n個(gè)根（含復(fù)根，m重根為m個(gè)根），n=1，2時(shí)方程的根是大家熟悉的，n=3，4時(shí)雖有求根公式但比較復(fù)雜，可在數(shù)學(xué)手冊中查到，但已不適合于數(shù)值計(jì)算，而時(shí)就不能用公式表示方程的根。因此，通常對的多項(xiàng)式方程求根與一般連續(xù)函數(shù)方程（6-20）一樣都可采用迭代法求根。迭代發(fā)要求先給出根的一個(gè)近似，若且，根據(jù)連續(xù)函數(shù)性質(zhì)可知在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，這時(shí)稱為方程（6-20）的有根區(qū)間。通?？赏ㄟ^逐次搜索法求得方程的有根區(qū)間。第三十一頁，共九十四頁，2022年，8月28日例1.求方程的有根區(qū)間。解：f(0)<0,f(1)<0,f(2)>0,f(3)>0,f(4)<0,f(5)<0,f(6)>0;由此可知，方程的有根區(qū)間為[1,2],[3,4],[5,6];練習(xí):求方程的有根區(qū)間。第三十二頁，共九十四頁，2022年，8月28日

1．不動點(diǎn)迭代法將方程（6-24）改寫成等價(jià)的形式若要求滿足，則；反之亦然，稱為函數(shù)的一個(gè)不動點(diǎn)。求的零點(diǎn)就等價(jià)于求的不動點(diǎn)，選擇一個(gè)初始近似值，將它代入（6-26）右端，即可求得可以如此反復(fù)迭代計(jì)算

稱為迭代函數(shù)。如果對任何，由（6-27）得到的序列有極限則稱迭代方程（6-27）收斂，且為的不動點(diǎn)，故稱（6-27）為不動點(diǎn)迭代法。第三十三頁，共九十四頁，2022年，8月28日上述迭代是一種逐次逼近法，其基本思想是將隱式方程（6-26）歸結(jié)為一組顯式的計(jì)算公式（6-27），就是說，迭代過程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)逐步顯式化的過程。方程的求根問題在xy平面上就是在確定曲線與直線y=x交點(diǎn)，對于的某個(gè)近似值，在曲線上可確定一點(diǎn),它以為橫坐標(biāo)，而縱坐標(biāo)則等于。過引平行x軸的直線，設(shè)此直線交直線y=x于點(diǎn)，然后過再作平行于y軸的直線，它與曲線的交點(diǎn)記作，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)則等于，在曲線上得到點(diǎn)列，其橫坐標(biāo)分別為依公式求得的迭代值。如果點(diǎn)列趨向于點(diǎn)，則相應(yīng)的迭代值收斂到所求的根。第三十四頁，共九十四頁，2022年，8月28日

2．不動點(diǎn)的存在性與迭代法的收斂性首先考察在上不動點(diǎn)的存在唯一性。定理1設(shè)滿足以下兩個(gè)條件：（1）對任意的有。（2）存在正常，使對任意都有則在上存在唯一的不動點(diǎn)。在的不動點(diǎn)存在唯一的情況下，可得到迭代法（6-27）收斂的一個(gè)充分條件。定理2設(shè)滿足定理1中的兩個(gè)條件，則對任意，由（6-27）得到的迭代序列收斂到的不動點(diǎn)，并有誤差估計(jì)第三十五頁，共九十四頁，2022年，8月28日迭代過程是個(gè)極限過程。在用迭代法進(jìn)行實(shí)際計(jì)算時(shí)，必須按精度要求控制迭代次數(shù)。誤差估計(jì)式（6-29）原則上可用于確定迭代次數(shù)，但它由于含有信息L而不便于實(shí)際應(yīng)用。根據(jù)式(6-30)，對任意的正整數(shù)p有在上式中令知由此可見，只要相鄰兩次計(jì)算結(jié)果的偏差足夠小即可保證近似值具有足夠的精度。第三十六頁，共九十四頁，2022年，8月28日對定理1和定理2中的條件（2），在使用時(shí)如果且對任意有則由中值定理可知對有它表明定理中的條件（2）可用（6-30）代替。

3．局部收斂性與收斂階上面給出了迭代序列在區(qū)間上的收斂性，通常稱為全局收斂性。有時(shí)不易檢驗(yàn)定理的條件，實(shí)際應(yīng)用時(shí)通常只在不動點(diǎn)的鄰近考察其收斂性，即局部收斂性。 第三十七頁，共九十四頁，2022年，8月28日定義1設(shè)有不動點(diǎn)，如果存在的某個(gè)鄰域，對任意，迭代（6-26）產(chǎn)生的序列。且收斂到，則稱迭代法（6-26）局部收斂。定理3設(shè)為的不動點(diǎn)，在的某個(gè)鄰域連續(xù)，且，則迭代法（6-26）局部收斂。為衡量迭代法收斂速度的快慢，我們給出下列定義。定義2設(shè)迭代過程收斂于方程的根，如果迭代誤差當(dāng)時(shí)成立下列漸進(jìn)關(guān)系式第三十八頁，共九十四頁，2022年，8月28日

則稱該迭代過程是P階收斂的，特別地，P=1時(shí)稱線性收斂，P>1時(shí)稱超線性收斂，P=2時(shí)稱平方收斂。定理4對于迭代過程，如果在所求根的鄰近連續(xù)，并且則該迭代過程在點(diǎn)鄰近是p階收斂的。上述定理告訴我們，迭代過程的收斂速度依賴于迭代函數(shù)的選取，如果當(dāng)時(shí)，則該迭代過程只可能是線性收斂。第三十九頁，共九十四頁，2022年，8月28日第三節(jié)牛頓法及其收斂性

1.牛頓法對于方程如果是線性函數(shù)，則它的求根是容易的，牛頓法實(shí)質(zhì)上是一種線性化方法，其基本思想是將非線性方程逐步歸結(jié)為某種線性方程來求解。設(shè)已知方程有近似根（假定），將函數(shù)在點(diǎn)展開，有于是方程可近似地表示為第四十頁，共九十四頁，2022年，8月28日

這是個(gè)線性方程，記其根為，則的計(jì)算公式為這就是牛頓（Newton）法。牛頓法有明顯的幾何解釋，方程的根可解釋為曲線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，設(shè)是根的某個(gè)近似值，過曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)引切線，并將該切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為的新的近似值。注意到切線方程為這樣求得的值必滿足（6-32）從而就是牛頓公式（6-33）的計(jì)算結(jié)果。由于這種幾何背景，牛頓法亦稱切線法。第四十一頁，共九十四頁，2022年，8月28日關(guān)于牛頓法（6-33）的收斂性，可直接由定理4得到，對（6-33）其迭代函數(shù)為由于假定是的一個(gè)單根，即，則由上式知，于是依據(jù)定理4可以斷定，牛頓法在根的鄰近是平方收斂的。又因，可得第四十二頁，共九十四頁，2022年，8月28日

2.簡化牛頓法與牛頓下山法牛頓法的優(yōu)點(diǎn)是收斂快，缺點(diǎn)是每步迭代要計(jì)算及，計(jì)算量較大且有時(shí)計(jì)算較困難，二是初始近似只在根附近才能保證收斂，如給的不合適可能不收斂。為克服這兩個(gè)缺點(diǎn)，通常可用下述方法。

(1)簡化牛頓法，也稱平行弦法，其迭代公式為迭代函數(shù)若，即取。在根附近成立，則迭代法（6-35）局部收斂。第四十三頁，共九十四頁，2022年，8月28日在（6-35）中取，則稱為簡化牛頓法，這類方法計(jì)算量省，但只有線性收斂，其幾何意義是用平行弦與x軸交點(diǎn)作為的近似。（2）牛頓下山法。牛頓法收斂性依賴初值的選取。如果偏離所求根較遠(yuǎn)，則牛頓法可能發(fā)散。例如，用牛頓法求解方程此方程在附近的一個(gè)根。設(shè)取迭代初值，用牛頓法公式第四十四頁，共九十四頁，2022年，8月28日

計(jì)算得迭代三次得到的結(jié)果有六位有效數(shù)字。但是，如果改用作為迭代初值，則依牛頓法公式（6-37）迭代一次得這個(gè)結(jié)果反而比更偏離了所求的根為了防止迭代發(fā)散，我們對迭代過程再附加一項(xiàng)要求，即具有單調(diào)性：滿足這項(xiàng)要求的算法稱為下山法。第四十五頁，共九十四頁，2022年，8月28日我們將牛頓法和下山法結(jié)合起來使用，即在下山法保證函數(shù)值穩(wěn)定下降的前提下，用牛頓法加快收斂速度。為此，我們將牛頓法的計(jì)算結(jié)果與前一步的近似值適當(dāng)加權(quán)平均作為新的改進(jìn)值其中稱為下山因子，（6-39）即為

第四十六頁，共九十四頁，2022年，8月28日稱為牛頓下山法。選擇下山因子時(shí)從開始，逐次將減半進(jìn)行試算，直到能使下降條件（6-38）成立為止。若用此法解方程（6-36），當(dāng)時(shí)由（6-37）求得，它不滿足條件（6-38），通過逐次取半進(jìn)行試算，當(dāng)時(shí)可求得。此時(shí)有而，顯然。由計(jì)算時(shí)，均能使條件（6-33）成立。計(jì)算結(jié)果如下：第四十七頁，共九十四頁，2022年，8月28日

即為的近似。一般情況只要能使條件（6-38）成立，則可得到，從而使收斂。第四十八頁，共九十四頁，2022年，8月28日第四節(jié)弦截法與拋物線法

用牛頓法求方程（6-24）的根，每步除計(jì)算外還要算，當(dāng)函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，計(jì)算往往較困難，為此可以利用已求函數(shù)值來回避導(dǎo)數(shù)值的計(jì)算的計(jì)算，這類方法是建立插值原理基礎(chǔ)上的，下面介紹兩種常用方法。

1．弦截法設(shè)是的近似根，我們利用構(gòu)造一次插值多項(xiàng)式，并用的根作為的新的近似根。由于第四十九頁，共九十四頁，2022年，8月28日

因此有這樣導(dǎo)出的迭代公式（6-42）雙點(diǎn)弦截法可以看作牛頓公式中的導(dǎo)數(shù)用差商取代的結(jié)果。現(xiàn)在解釋這種迭代過程的幾何意義。如圖6-4，曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)分別記為，則弦線的斜率等于差商值第五十頁，共九十四頁，2022年，8月28日

其方程是因此，按（6-42）式求得的實(shí)際上是弦線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。這種算法因此而稱為弦截法。弦截法與切線法（牛頓法）都是線性化方法，但兩者有本質(zhì)的區(qū)別。切線法在計(jì)算時(shí)只用到前一步的值，而弦截法（6-42），在求時(shí)要用到前面兩步的結(jié)果，因此使用這種方法必須先給出兩個(gè)初始值。第五十一頁，共九十四頁，2022年，8月28日

2．拋物線法設(shè)已知方程的三個(gè)近似根，我們以這三點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造二次插值多項(xiàng)式。并適當(dāng)選取的一個(gè)零點(diǎn)作為新的近似根，這樣確定的迭代過程稱拋物線法。亦稱密勒（Müller）法。在幾何圖形上，這種方法的基本思想是用拋物線與x軸交點(diǎn)作為所求根的近似位置（圖6-5）?，F(xiàn)在推導(dǎo)拋物線法的計(jì)算公式。插值多項(xiàng)式第五十二頁，共九十四頁，2022年，8月28日

有兩個(gè)零點(diǎn)式中為了從（6-43）中定出一個(gè)值，我們需要討論根式前正負(fù)號的取舍問題。在三個(gè)近似根中，自然假定更接近所求的根，這時(shí)，為了保證精度，我們選式（6-43）中較接近的值作為新的近似根。為此，只要取根式前的符號與的符號相同。第五十三頁，共九十四頁，2022年，8月28日第五節(jié)

孩子成長和學(xué)生考試成績問題ti（從11歲起年齡）00.81.42.02.43.24.0增長高度hi（cm）00.742.255.258.2515.0021.38ti（從11歲起年齡）4.85.46.07.08.010.0增長高度hi（cm）26.2528.8830.6032.253335孩子成長問題一個(gè)男孩在11歲長到21歲過程中，身高的變化如表5-1所示，試找一個(gè)最佳的函數(shù)曲線來表示這個(gè)男孩的成長過程。

表5-1第五十四頁，共九十四頁，2022年，8月28日智商（Iq）105110120116122130114102復(fù)習(xí)時(shí)間（t）10126131682015考試成績（g）7579688591799876學(xué)生考試成績問題：對8個(gè)學(xué)生測量其智商Iq和課后復(fù)習(xí)某門課時(shí)間t

及該門課考試成績g，得表5-2，試研究該門課考試成績與智商和課后復(fù)習(xí)時(shí)間之間的關(guān)系。

表5-2

第五十五頁，共九十四頁，2022年，8月28日Mathematica和MATLAB求解

（1）Mathematica命令

利用Mathematica可計(jì)算曲線擬合，命令輸入格式為

例如，可以利用Mathematica中的Fit命令計(jì)算本節(jié)中的實(shí)際問題。

孩子成長問題的計(jì)算：首先利用表5—2中的離散數(shù)據(jù)，畫出散點(diǎn)圖。

第五十六頁，共九十四頁，2022年，8月28日孩子成長問題ch531

文件名：ch531.ma

d1={{0,0},{0.8,0.74},{1.4,2.25},{2.0,5.25},{2.4,8.25},{3.2,15.00},{4.0,21.38},{4.8,26.25},{5.4,28.88},{6.0,30.60},{7.0,32.25},{8.0,33},{10.0,35}};

gp=ListPlot[d1,PlotStyle->{PointSize[0.01]}]

第五十七頁，共九十四頁，2022年，8月28日第五十八頁，共九十四頁，2022年，8月28日從圖5—3可見，取正弦級數(shù)為擬合曲線較為合適，為此令

用Mathematica計(jì)算

中的參數(shù)a1,a2,a3。

輸入命令：

f=Fit[d1,{Sin[Pi*t/20],Sin[3*Pi*t/20],Sin[5*Pi*t/20]},t]

fp=Plot[f,{t,0,10}]

Show[gp,fp]

運(yùn)行后顯示

第五十九頁，共九十四頁，2022年，8月28日第六十頁，共九十四頁，2022年，8月28日學(xué)生考試成績問題的計(jì)算：最小二乘準(zhǔn)則

利用表5-2中的離散數(shù)據(jù)，在Mathematica中輸入：文件名：ch532

d1={{105,10,75},{110,12,79},{120,6,68},{116,13,85},{122,16,91},{130,8,79},{114,20,98},{102,15,76}};

g=Fit[d1,{1,iq,t},{iq,t}]

執(zhí)行后輸出

0.736555+0.473084iq+2.10344t

第六十一頁，共九十四頁，2022年，8月28日

最小一乘準(zhǔn)則

取則線性規(guī)劃問題為

第六十二頁，共九十四頁，2022年，8月28日在Mathematica中輸入：

學(xué)生成績問題ch533

文件名：ch533.ma

c=u1+v1+u2+v2+u3+v3+u4+v4+u5+v5+u6+v6+u7+v7+u8+v8;

m={a1+105*a2+10*a3-u1+v1==75,

a1+110*a2+12*a3-u2+v2==79,

a1+120*a2+6*a3-u3+v3==68,

a1+116*a2+13*a3-u4+v4==85,

a1+122*a2+16*a3-u5+v5==91,

a1+130*a2+8*a3-u6+v6==79,

a1+114*a2+20*a3-u7+v7==98,

a1+102*a2+15*a3-u8+v8==76};

第六十三頁，共九十四頁，2022年，8月28日ConstrainedMin[c,m,{u1,v1,u2,v2,u3,v3,u4,v4,u5,v5,u6,v6,u7,v7,u8,v8,a1,a2,a3}]//N

執(zhí)行后輸出

{13.9318,{u1->0,v1->2.47727,u2->0,v2->0,u3->2.36364,

v3->0,u4->0,v4->1.25,u5->1.81818,v5->0,u6->0,

v6->0,u7->0,v7->0,u8->6.02273,v8->0,a1->5.59091,

a2->0.431818,a3->2.15909}}

從輸出結(jié)果易見

g=5.59091+0.431818iq+2.15909t

第六十四頁，共九十四頁，2022年，8月28日極小極大準(zhǔn)則

取則線性規(guī)劃問題為：

第六十五頁，共九十四頁，2022年，8月28日在Mathematica中輸入：

學(xué)生成績問題ch534

文件名：ch534.ma

c=R;

m={a1+105*a2+10*a3-u1+v1==75,

a1+110*a2+12*a3-u2+v2==79,

a1+120*a2+6*a3-u3+v3==68,

a1+116*a2+13*a3-u4+v4==85,

a1+122*a2+16*a3-u5+v5==91,

a1+130*a2+8*a3-u6+v6==79,

a1+114*a2+20*a3-u7+v7==98,

a1+102*a2+15*a3-u8+v8==76,R-u1-v1>=0,R-u2-v2>=0,

R-u3-v3>=0,R-u4-v4>=0,

R-u5-v5>=0,R-u6-v6>=0,

R-u7-v7>=0,R-u8-v8>=0};第六十六頁，共九十四頁，2022年，8月28日ConstrainedMin[c,m,{u1,v1,u2,v2,u3,v3,u4,v4,u5,v5,u6,v6,u7,v7,u8,v8,a1,a2,a3,R}]//N

執(zhí)行后輸出

{3.42529,{u1->0,v1->3.42529,u2->1.07854,v2->2.34674,u3->3.42529,v3->0,u4->0.469349,v4->2.95594,

u5->1.72222,v5->1.70307,u6->2.22031,v6->1.20498,

u7->0,v7->3.42529,u8->3.42529,v8->0,a1->1.86207,a2->0.48659,a3->1.86207,R->3.42529}}

從輸出結(jié)果易見

g=1.86207+0.48659iq+1.86207t

第六十七頁，共九十四頁，2022年，8月28日以上三種準(zhǔn)則的計(jì)算誤差可列表如下：

準(zhǔn)則誤差平方和誤差絕對值之和最大誤差最小二乘47.6616.274.54最小一乘52.8413.946.02極小極大57.9018.493.43第六十八頁，共九十四頁，2022年，8月28日

第六節(jié)估計(jì)水塔的水流量

某居民區(qū)的民用自來水是由一個(gè)圓柱形的水塔提供，一般可以通過測量其水位來估計(jì)水的流量。但問題是，當(dāng)水塔水位下降到設(shè)定的最低水位時(shí)水泵自動啟動向水塔供水，到設(shè)定的最高水位時(shí)停止供水，在水泵自動加水期間無法測量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水兩次，每次約兩小時(shí)。水塔是一個(gè)高12.2米，直徑17.4米的正圓柱，當(dāng)水塔的水位降至最低水位，約8.2米時(shí)，水泵自動啟動供水當(dāng)水塔的水位升高到一個(gè)最高水位，約10.8米時(shí)，水泵停止工作。表5-4是某一天的水位測量記錄數(shù)據(jù)，測量了28個(gè)時(shí)刻，但是由于其中有4個(gè)時(shí)刻遇到水泵正在向水塔供水，而無水位記錄，表5-4中用符號∥表示。試估計(jì)任何時(shí)刻（包括水泵正供水時(shí)）的用水率，及一天的總用水量。第六十九頁，共九十四頁，2022年，8月28日

第七十頁，共九十四頁，2022年，8月28日

模型假設(shè)及符號說明模型假設(shè)假設(shè)水塔中流出的水流量只受社區(qū)的日常生活需要的影響，水的消耗每天大致差不多。由Torricelli定律知，從水塔流出的最大流速正比于水位高度的平方根，題目中給出水塔的最高和最低水位分別為10.82米和8.22米，所以對于這兩種高度，最大水流速度的比約為

這表明我們可以假設(shè)水塔中水位對水流速度影響忽略不計(jì)。第七十一頁，共九十四頁，2022年，8月28日水泵工作時(shí)單位時(shí)間的供水量大致為常數(shù)，這個(gè)常數(shù)大于單位時(shí)間內(nèi)從水塔中流出的水流的最大流速，這是因?yàn)榫用駞^(qū)內(nèi)一直需要用水，不允許水塔中的水用光。水塔中水流量是時(shí)間的連續(xù)光滑函數(shù)，與水泵工作與否無關(guān)。這是因?yàn)殡m然就個(gè)別用戶而言可能用水量有較大的變化，但由于個(gè)人的用水量與整個(gè)居民區(qū)用水量相比是非常小的，從統(tǒng)計(jì)意義上來講，不太可能同時(shí)整個(gè)社區(qū)的用水量增長或減少。水泵工作與否完全取決于水塔內(nèi)水位的高度，且每次加水的工作時(shí)間為2小時(shí)，根據(jù)表6-1中的數(shù)據(jù)可知，水泵第一次供水時(shí)間段為[8.967,10.954]，第七十二頁，共九十四頁，2022年，8月28日第二次供水時(shí)間段為[20.839,23.880]符號說明

t：測量的時(shí)刻；

h：水位的高度；

v：水塔中水的體積；

f（t）：水塔中水流速度，即流量；

yi（i=1~3）：第i時(shí)段用水量，即沒有供水時(shí)間段用水量；

y12：第1和第2供水時(shí)間段用水量之和；

y：一天中總用水量。

第七十三頁，共九十四頁，2022年，8月28日問題分析

問題要求任意時(shí)刻的用水率，即求單位時(shí)間流出的水的體積，一般稱為水流速度或流量。由于水塔是一個(gè)圓柱體，體積可以很容易地通過水位高度h計(jì)算出來，這樣在水泵不工作的時(shí)間段，水流速度就可以從體積對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)計(jì)算出來，由于沒有水的體積關(guān)于時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式，而只能利用問題中給定的原始數(shù)據(jù)表6-1，通過公式，計(jì)算出離散的在測量時(shí)刻的

體積V，因此可以考慮用差商代替微商，也就是用離散代替連續(xù)的思想。第七十四頁，共九十四頁，2022年，8月28日為提高計(jì)算精度，采用二階差商，即由于所有數(shù)據(jù)被水泵兩次供水分割成三組數(shù)據(jù)對每組數(shù)據(jù)的中間數(shù)據(jù)采用中心差商，前后兩個(gè)數(shù)據(jù)不能采用中心差商，改用向前差商、向后差商或用中點(diǎn)公式進(jìn)行差商。中心差商公式：向前差商公式：第七十五頁，共九十四頁，2022年，8月28日向后差商公式：中點(diǎn)公式：以上分析了水泵不工作的時(shí)段，用水率的計(jì)算。對于水泵供水時(shí)段的用水率，計(jì)算難度較大，我們只好用供水時(shí)間段前后的用水率進(jìn)行插值或擬合而得到。有了任何時(shí)刻的用水率，可以采用數(shù)值積分計(jì)算一天的總用水量。

第七十六頁，共九十四頁，2022年，8月28日

模型建立及求解通過以上對問題的分析，現(xiàn)在的問題已轉(zhuǎn)化為根據(jù)某一天已測量的時(shí)刻水塔中水的流速，產(chǎn)生在整個(gè)區(qū)間（24小時(shí)）上的函數(shù)或函數(shù)值，一般來說插值和擬合是兩種最常用的方法。（1）計(jì)算水流速度并畫出散點(diǎn)圖

MATLAB程序如下：

%估計(jì)水塔流量ch541

%計(jì)算流速，并畫流速散點(diǎn)圖

%文件名：ch541.m

t=[0,0.921,1.843,2.949,3.871,4.978,5.900,7.006,7.928,8.967,...

10.954,12.032,12.954,13.875,14.982,15.903,16.826,17.931,...

19.037,19.959,20.839,23.880,24.986,25.908];

第七十七頁，共九十四頁，2022年，8月28日h=[9.677,9.479,9.308,9.125,8.982,8.814,8.686,8.525,8.388,...8.220,10.820,10.500,10.210,9.936,9.653,9.409,9.180,...

8.921,8.662,8.433,8.220,10.591,10.354,10.180];

%計(jì)算水塔中水的體積

v=(pi*17.4^2/4)*h;

%對每組數(shù)據(jù)的中間數(shù)據(jù)計(jì)算中心差商

%對每組數(shù)據(jù)不能計(jì)算中心差商的計(jì)算向前或向后差商

fori=1:2

f(i)=-(-v(i+2)+4*v(i+1)-3*v(i))/(2*(t(i+1)-t(i)));%計(jì)算向前差商

end

第七十八頁，共九十四頁，2022年，8月28日fori=3:8

f(i)=-(-v(i+2)+8*v(i+1)-8*v(i-1)+v(i-2))/(12*(t(i+1)-t(i)));%計(jì)算中心差商

end

fori=9:10

f(i)=-(3*v(i)-4*v(i-1)+v(i-2))/(2*(t(i)-t(i-1)));%計(jì)算向后差商

end

fori=11:12f(i)=-(-v(i+2)+4*v(i+1)-3*v(i))/(2*(t(i+1)-t(i)));%計(jì)算向前差商

end

fori=13:19f(i)=-(-v(i+2)+8*v(i+1)-8*v(i-1)+v(i-2))/(12*(t(i+1)-t(i)));%計(jì)算中心差商

end

第七十九頁，共九十四頁，2022年，8月28日fori=20:21

f(i)=-(3*v(i)-4*v(i-1)+v(i-2))/(2*(t(i)-t(i-1)));%計(jì)算向后差商

end

i=22;f(i)=-(-v(i+2)+4*v(i+1)-3*v(i))/(2*(t(i+1)-t(i)));%計(jì)算向前差商

i=23;f(i)=-(v(i+1)-v(i-1))/((t(i+1)-t(i-1)));%用中點(diǎn)方法計(jì)算差商

i=24;f(i)=-(3*v(i)-4*v(i-1)+v(i-2))/(2*(t(i)-t(i-1)));%計(jì)算向后差商

disp(‘水塔流速’)

f

plot(t,f,‘b*’)

title(‘流速散點(diǎn)圖’);xlabel(‘時(shí)間（小時(shí)）’);ylabel(‘流速（立方米/小時(shí)）’);

文件ch541.m執(zhí)行后，可得水塔中水的流速（經(jīng)整理成表6—5）以及流速散點(diǎn)圖6—8。

第八十頁，共九十四頁，2022年，8月28日表6-5第八十一頁，共九十四頁，2022年，8月28日圖6-8

第八十二頁，共九十四頁，2022年，8月28日（2）模型及計(jì)算

通過對不同插值方法的比較，結(jié)合假設(shè)，考慮到流速應(yīng)該是時(shí)間的連續(xù)光滑函數(shù)，所以采用三次樣條插值模型計(jì)算用水率函數(shù)

f（x）。

①計(jì)算用水率

首先用三次樣條插值計(jì)算用水率函數(shù)f（x），MATLAB程序如下：

估計(jì)水塔流量ch542

%文件名：ch542.m

%用三次樣條插值計(jì)算用水率函數(shù)f(t)，并畫出流速圖

yt=0:1/3600:24;

ys=interp1(t,f,yt,‘spline’);%計(jì)算樣條插值

plot(yt,ys)

title(‘樣條插值下的流速圖’);xlabel(‘時(shí)間（小時(shí)）’);ylabel(‘流速（立方米/小時(shí)）’);

執(zhí)行文件ch542.m后，可得樣條插值下的流速圖5—6。

第八十三頁，共九十四頁，2022年，8月28日②計(jì)算一天的總用水量

用三次樣條插值模型得到的函數(shù)f（x）在時(shí)間區(qū)間[0，24]上做數(shù)值積分可得一天的總用水量。

%用數(shù)值積分計(jì)算一天總用水量

quat=trapz(ys)*(1/3600);

disp(‘一天的總用水量’)

quat