典型方程與定解條件

典型方程與定解條件第一頁，共五十五頁，2022年，8月28日參考書目梁昆淼.數(shù)學物理方法（第三版）.

高等教育出版社，1998。李元杰.數(shù)學物理方程與特殊函數(shù).高等教育出版社，2009。彭芳麟.數(shù)學物理方程的MATLAB解法與可視化.清華大學出版社，2005。石辛民.數(shù)學物理方程及其MATLAB解算.清華大學出版社，2011。王元明.數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)（第四版）.高等教育出版社，2012。第二頁，共五十五頁，2022年，8月28日課程內(nèi)容：研究數(shù)學物理方程的建立、求解方法和解的物理意義的分析。

第三頁，共五十五頁，2022年，8月28日第一章典型方程和定解條件的推導第四頁，共五十五頁，2022年，8月28日根據(jù)系統(tǒng)邊界所處的物理條件和初始狀態(tài)列出定解條件；主要內(nèi)容從不同的物理模型出發(fā)，建立三類典型方程；提出相應的定解問題。第一章典型方程和定解條件的推導第五頁，共五十五頁，2022年，8月28日§1.1基本方程的建立導出數(shù)學物理方程的一般方法：

確定所研究的物理量；建立適當?shù)淖鴺讼?；劃出研究單元，根?jù)物理定律和實驗資料寫出該單元與鄰近單元的相互作用，分析這種相互作用在一個短時間內(nèi)對所研究物理量的影響，表達為數(shù)學式；簡化整理，得到方程。第一章典型方程和定解條件的推導第六頁，共五十五頁，2022年，8月28日例1.弦的微小橫振動

設有一條拉緊的弦，長為l，平衡位置與x軸的正半軸重合，且一端與原點重合,確定當弦受垂直外力作用后的運動狀態(tài)。假設與結論：（1）橫振動坐標系oxu，位移u(x,t)

x1x2T(x1)

T(x2)ux

（2）微小振動第一章典型方程和定解條件的推導第七頁，共五十五頁，2022年，8月28日（3）弦柔軟、均勻.張力沿切線方向,密度為常數(shù)；第一章典型方程和定解條件的推導建立方程：取微元

，研究在水平方向和鉛垂方向在不受外力的情況下的運動情況。uxT(x)

Mxx+dx第八頁，共五十五頁，2022年，8月28日牛頓運動定律：F=m·a作用在弧段上的水平方向的力為

傾角很小，即

近似得

垂直方向的力為（1）第一章典型方程和定解條件的推導于是等式（1）變成由微積分知識可知，在時刻t有（2）等式（2）可以寫成uxT(x)

MM’xx+dx由于令，取極限得略去重力，可得方程其中。(3)弦振動方程（3）中只含有兩個自變量和，其中表示時間，表示位置。由于它們描述的是弦的振動或波動現(xiàn)象，因而又稱為一維波動方程。第九頁，共五十五頁，2022年，8月28日注1：如果弦上還受到一個與振動方向相同的外力，且外力密度為F(x,t)，外力可以是壓力、重力、阻力，則弦的強迫振動方程為F。第十頁，共五十五頁，2022年，8月28日例2.膜的振動研究平面柔軟均勻薄膜的微小振動。第一章典型方程和定解條件的推導待研究物理量:位移u(x,y,t),第十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日第一章典型方程和定解條件的推導第十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日

例3.聲學方程

第一章數(shù)學物理方程的導出和定解問題Lapalce算子三維波動方程第十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日

如果空間某物體內(nèi)各點處的溫度不同，則熱量就從溫度較高點處到溫度較低點處流動，這種現(xiàn)象叫熱傳導。

考慮物體G

內(nèi)的熱傳導問題。函數(shù)u(x,y,z,t)

表示物體G

在位置M(x,y,z)以及時刻t的溫度。通過對任意一個小的體積元V內(nèi)的熱平衡問題的研究，建立方程。假設：假定物體內(nèi)部沒有熱源，物體的熱傳導系數(shù)為常數(shù)，即是各向同性的，物體的密度以及比熱是常數(shù)。熱場

例4.熱傳導方程第一章典型方程和定解條件的推導第十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日熱場傅立葉實驗定律:物體在無窮小時段dt內(nèi)沿法線方向n流過一個無窮小面積dS的熱量dQ與時間dt,面積dS,物體溫度沿曲面dS法線方向的方向導數(shù)成正比.從時刻到時刻經(jīng)過曲面S流入?yún)^(qū)域V

的熱量為高斯公式第一章典型方程和定解條件的推導第十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日流入熱量使物體內(nèi)溫度變化，在時間間隔中物體溫度從變化到所需吸收熱量為比熱密度由于所考察的物體內(nèi)部沒有熱源,根據(jù)能量守恒定律可得第一章典型方程和定解條件的推導由于時間,和區(qū)域V

都是任意選取的,并且被積函數(shù)連續(xù),于是得(非均勻的各向同性體的熱傳導方程)對于均勻的各向同性物體，k為常數(shù)，記則得齊次熱傳導方程:三維熱傳導方程第十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日若物體內(nèi)部有熱源F(x,y,z,t),則熱傳導方程為其中第一章典型方程和定解條件的推導第十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日在上述熱傳導方程中,描述空間坐標的獨立變量為,所以它們又稱為三維熱傳導方程.當考察的物體是均勻細桿時,如果它的側面絕熱且在同一截面上的溫度分布相同,則可以得到一維熱傳導方程

類似,如果考慮一個薄片的熱傳導,并且薄片的側面絕熱,可以得到二維熱傳導方程第一章典型方程和定解條件的推導第十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日二維熱傳導方程―維熱傳導方程三維熱傳導方程第一章典型方程和定解條件的推導第十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日

當我們考察氣體的擴散,液體的滲透,半導體材料中的雜質(zhì)擴散等物理過程時,若用表示所擴散物質(zhì)的濃度,則濃度所滿足的方程形式和熱傳導方程完全相同.所以熱傳導方程也叫擴散方程.第一章典型方程和定解條件的推導第二十頁，共五十五頁，2022年，8月28日第一章典型方程和定解條件的推導

例5靜電場的勢方程

在區(qū)域內(nèi),靜電場強度為,介電常數(shù),電荷密度為,求靜電場的勢滿足的方程即奧氏公式故第二十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日第一章數(shù)學物理方程的導出和定解問題故即—Laplace方程—Poisson方程當內(nèi)沒有電荷時靜電場是有勢場，故存在勢函數(shù)u,有第二十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日波動方程—聲波、電磁波、桿的振動；熱傳導方程—物質(zhì)擴散時的濃度變化規(guī)律,

長海峽中潮汐波的運動，土壤力學中的滲透方程;Laplace方程—穩(wěn)定的濃度分布,靜電場的電位,流體的勢.總結：第一章典型方程和定解條件的推導第二十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日一維齊次波方程：一維齊次熱方程：二維Laplace方程：第一章典型方程和定解條件的推導第二十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日§1.2初始條件與邊界條件

初始條件邊界條件第二十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日第一章典型方程和定解條件的推導……第二十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日第二十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日

一.初始條件及Cauchy問題

描述某系統(tǒng)或某過程初始狀況的條件稱為初始條件，初值條件與對應方程加在一起構成初值問題(或稱Cauchy問題）。?%?;?á'?;#&á*第一章典型方程和定解條件的推導第二十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日初始位移、初始速度分別為,稱波動方程的初值條件.

弦振動問題第一章典型方程和定解條件的推導

熱傳導方程稱為熱傳導方程的初值條件.第二十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日

不同類型的方程，相應初值條件的個數(shù)不同。初始條件給出的應是整個系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而非系統(tǒng)中個別點的初始狀態(tài)。第一章典型方程和定解條件的推導第三十頁，共五十五頁，2022年，8月28日

例.長為l兩端固定的弦，初始時刻將弦的中點拉起h()()xu0lh正確寫法第一章典型方程和定解條件的推導第三十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日（I）第一類邊界條件*（II）第二類邊界條件（III）第三類邊界條件二.邊界條件描述某系統(tǒng)或過程邊界狀況的約束條件稱為邊界條件.第一章典型方程和定解條件的推導第三十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日例1.長為l的弦，一端固定，一端以sint規(guī)律運動

第一類邊界條件第一章典型方程和定解條件的推導例2.長為l的桿，一端溫度為0，一端溫度為ξ

(t)第三十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日弦振動問題：弦的一端（如x=l）可以在垂直x軸的直線上自由的上下滑動，且不受垂直方向的外力，我們稱這種端點為“自由端”。第一章典型方程和定解條件的推導第二類邊界條件在這一端點，邊界上的張力沿垂直于x軸的方向的分量為0，因此在方程的推導中知,即第三十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日當該點處的張力沿垂直x軸的方向的分量是t

的已知函數(shù)時，有*第一章典型方程和定解條件的推導第三十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日熱傳導問題：如果物體和周圍介質(zhì)處于絕熱狀態(tài)，即在表面上熱量的流速始終為0，則由方程推導過程可知，有邊界條件當物體與外界接觸的表面S

上各單位面積在單位時間內(nèi)流過的熱量已知時，由傅立葉定律，在S

上有，這表明溫度沿外法線方向的方向導數(shù)是已知的，故邊界條件可以表示為*第一章典型方程和定解條件的推導第三十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日第三類邊界條件

例(1)弦的振動（端點彈性連結）彈性力張力第一章典型方程和定解條件的推導第三十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日(2)熱傳導問題（端點自由冷卻）散失的熱量內(nèi)部流到邊界的熱量即第一章典型方程和定解條件的推導第三十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日第一章典型方程和定解條件的推導其它附加條件（1）銜接條件第三十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日（2）自然邊界條件第四十頁，共五十五頁，2022年，8月28日弦振動的Cauchy問題第一章典型方程和定解條件的推導只包含初值條件的定解問題稱為初值問題初值問題(Cauchy問題)第四十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日包含初值條件和邊界條件的定解問題稱為混合問題

(初邊值問題)熱傳導方程的混合問題第一章典型方程和定解條件的推導第四十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日波動方程的混合問題只附加邊界條件的定解問題稱為邊值問題.初值條件、邊界條件統(tǒng)稱為定解條件

.初值問題、邊值問題、混合問題統(tǒng)稱為定解問題.第一章典型方程和定解條件的推導第四十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日§1.3

二階線性偏微分方程的分類、化簡及疊加原理第四十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日一般線性二階偏微分方程（n個自變量）兩個自變量二階線性偏微分方程的一般形式………

第一章典型方程和定解條件的推導第四十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日第一章典型方程和定解條件的推導橢圓型拋物型第四十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日第一章典型方程和定解條件的推導第四十七頁，共五十五頁，2022年，8月28