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§第十二講《§2留數(shù)》§2留數(shù)留數(shù)的定義及留數(shù)定理如果函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)解析,則根據(jù)柯西—古薩定理知:其中為在的這個(gè)鄰域內(nèi)的任意一條閉曲線。如果是的孤立奇點(diǎn),那末,在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)包含在內(nèi)的任意一條正向簡單閉曲線的積分一般不為零。因此,將函數(shù)在內(nèi)展開成洛朗級數(shù)對上式兩端沿曲線積分,右端各項(xiàng)的積分除留下的一項(xiàng)等于外,其余各項(xiàng)的積分全為零,所以定義稱為函數(shù)在處的留數(shù)。記為,即從而有也就是說在處的留數(shù)就是在以為中心的環(huán)形域內(nèi)的洛朗級數(shù)中負(fù)冪項(xiàng)的系數(shù)。定理(留數(shù)定理)設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外,處處解析。是內(nèi)包含諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線,那末證明(略)留數(shù)定理將函數(shù)沿閉路的積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在中的各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)。如何求函數(shù)在各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)?一般說來,只須求出函數(shù)在以孤立奇點(diǎn)為中心的環(huán)形域內(nèi)的洛朗級數(shù)中的系數(shù)就可以了。但如果知道孤立奇點(diǎn)的類型,求其留數(shù)更為方便。二、留數(shù)的求法1.可去奇點(diǎn)、本性奇點(diǎn)處留數(shù)的求法如果是的可去奇點(diǎn),則。因?yàn)樵谔幍穆謇收归_式中,。如果是的本性奇點(diǎn),則只能用將在處展開為洛朗級數(shù)的辦法求了。例1是函數(shù)的可去奇點(diǎn),所以。而是函數(shù)的本性奇點(diǎn),其洛朗展開式為所以。2.極點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算規(guī)則規(guī)則I如果是的一級極點(diǎn),那末例2計(jì)算解因?yàn)?,所以是函?shù)的一級極點(diǎn)。根據(jù)規(guī)則I,有規(guī)則如果是的級極點(diǎn),那末證明因?yàn)槭堑募墭O點(diǎn),所以所以對上式兩邊求階導(dǎo)數(shù),得令,兩邊求極限,得所以從而即規(guī)則成立。當(dāng)時(shí),即為規(guī)則I.例3計(jì)算解顯然的二級極點(diǎn)。根據(jù)規(guī)則,得規(guī)則設(shè)函數(shù)在都解析。如果且,那末是的一級極點(diǎn),并且有證明因?yàn)榧?,所以為的一級零點(diǎn),從而是的一級極點(diǎn)。,所以其中在處解析且。又因?yàn)?,所以其中在處解析且。故是的一級極點(diǎn)。由規(guī)則知,,而,所以令,即得。例4計(jì)算積分,其中為正向圓周:。解函數(shù)在圓周內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn),。因?yàn)樵谔幉坏扔诹悖?,但,所以是函?shù)的一級極點(diǎn)。由規(guī)則I,得根據(jù)留數(shù)定理得函數(shù)在處的留數(shù)也可以借助于規(guī)則求。對此例來說,利用規(guī)則III要比用規(guī)則I求留數(shù)容易。例5計(jì)算積分,其中為正向圓周:。解被積函數(shù)在圓周內(nèi)有四個(gè)一級極點(diǎn):。根據(jù)規(guī)則得,,由留數(shù)定理得例6計(jì)算積分,其中為正向圓周:。解顯然是被積函數(shù)的一級極點(diǎn),是被積函數(shù)的二級極點(diǎn)。而所以以上我們介紹了求極點(diǎn)處留數(shù)的若干公式。用這些公式解題一般說來是比較簡單的,但是對某些特殊情況未必盡然。例如求函數(shù)在處留數(shù)。首先應(yīng)確定是被積函數(shù)的幾級極點(diǎn)。因?yàn)樗允堑娜壛泓c(diǎn)。由的表達(dá)式知,是的三級極點(diǎn)。利用規(guī)則。得由此可見,往下的計(jì)算要先對一個(gè)分式函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù),然后對求導(dǎo)的結(jié)果求極限,計(jì)算十分復(fù)雜。對這類問題,我們可以直接利用已知函數(shù)的洛朗展開式求。因?yàn)樗宰ⅲ喝绻瘮?shù)在極點(diǎn)處級數(shù)不是,它的實(shí)際級數(shù)要比低,這時(shí)兩邊同乘以得從而所以一般說來,在應(yīng)用公式時(shí),為了計(jì)算方便不要把取得比實(shí)際級數(shù)高。但對一些特殊情況把取得比實(shí)際級數(shù)高,計(jì)算反而方便。上邊例子中的留數(shù)可以用下述方法求。由此可見解決問題的關(guān)鍵在于根據(jù)具體問題靈活地選擇方法,不要拘泥于套公式。三.無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)設(shè)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析,為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任一條正向簡單閉曲線,那末積分的值與無關(guān),我們稱此定值為函數(shù)在點(diǎn)的留數(shù),記作值得注意的是這里積分曲線的方向是負(fù)的,也就是取順時(shí)針方向。當(dāng)時(shí),有所以也就是說,在點(diǎn)的留數(shù)等于它在處的去心鄰域內(nèi)洛朗級數(shù)展開式中的系數(shù)變號。由上述討論可得下面的定理。定理二如果函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn),那末在所有各奇點(diǎn)(包括點(diǎn))處的留數(shù)的總和必等于零。證明設(shè)函數(shù)的有限奇點(diǎn)分別為,無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。作繞原點(diǎn)的正向閉曲線,并將包含在它的內(nèi)部。根據(jù)留數(shù)定理和在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處留數(shù)的定義,有關(guān)于在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的留數(shù),我們有如下的規(guī)則。規(guī)則證明(略)例7計(jì)算積分,其中為正向圓周

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