線性代數(shù)居余馬第1章行列式課件

第1章 行列式二階行列式用于解二元一次聯(lián)立方程組1.1 n

階行列式的定義及性質(zhì)323122211211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaa三階行列式用于解三元一次聯(lián)立方程組定義由n2個(gè)數(shù)aij(i,j=1,2,,n)組成的n

階行列式是一個(gè)算式 其中：aij稱為行列式的第i行，第j列的元素;當(dāng)n=1時(shí)，D＝a11當(dāng)n2時(shí),1.1.1n

階行列式的定義（遞歸法）D=

M1j

稱為a1j的余子式;Mij是劃去D的第i行第j列后的n1階行列式;A1j=(-1)1+j

M1j稱為a1j的代數(shù)余子式。例1對角行列式，上、下三角行列式例2Dn==(1)n(n1)/2a1a2an1an=(1)n1

anDn-1==(1)n+1

anDn-1=(1)n1an(1)n2

an1

Dn-21.1.2

n階行列式的性質(zhì)行列式對行和列有相同的性質(zhì)(下面主要用行講)性質(zhì)1行列式D的行與列依次互換，則行列式的值不變性質(zhì)2行列式對任一行(或列)按下式展開，其值相等，即

推論

若行列式有一行元素全為零，則行列式的值等于零（k=0）。性質(zhì)4若行列式有兩行元素相同，則行列式的值為0用歸納法證明：n=2成立。設(shè)命題對n-1階行列式成立，對第i,j

行相同的n

階行列式D，對第k（ki,j）行展開,得推論行列式有兩行元素成比例，則行列式的值為0。性質(zhì)5將行列式的某一行乘以常數(shù)加到另一行(對行列式作倍加行變換),則行列式的值不變。性質(zhì)6 若行列式兩

行對換，行列式的值反號，即證明將左邊第j行加到第i行；再將第i行乘(1)加到第j行。于是將上式第j行加到第i行,再提出第j行的公因子(1)，即得左邊=右邊是克羅內(nèi)克(Kronecker)符號兩式可合寫為同理，對列展開，有計(jì)算方法：利用定義或性質(zhì)例1上、下三角行列式均等于其主對角元素的乘積例2=2(3/2)=31.2n

階行列式的計(jì)算例3第3列乘4加到第1列對第1行展開第1行化為只有一個(gè)非0元將第3列乘1加到第1列再將第3列乘2加到第2列對第3行展開證法2用性質(zhì)3，將左式表示成23個(gè)行列式之和(n階可以表示成2n個(gè))。=右式對換2次拆成8個(gè)，其中有6個(gè)行列式各有兩列相等而等于零例5計(jì)算n階行列式Dn的每行元素之和均為a+(n1)b把各列加到第1列提出公因子a+(n1)b將第1行乘(1)加到其余各行，化為上三角行列式解例6設(shè)xyz0,計(jì)算將第2列乘(x/y)，第3列乘(x/z)都加到第1列解法1第1行乘(1)加到第2,3行上三角行列式例7解例8證明n階范德蒙(Vandermonde)行列式(ij

時(shí)，

xi

xj)證明用數(shù)學(xué)歸納法.n=2成立假設(shè)對n-1階命題成立從第n行起,依次將前一行乘(x1)加到后一行對第1列展開提出公因子是x2,,xn的n1階范德蒙行列式，由歸納假設(shè)得歸納假設(shè)BA=將A和C所在的每一列依次與其前面的m列逐列對換(共對換km次)。

例9可以簡記為反復(fù)利用遞推公式

Dn=kDn1+ln

Dn1

=kDn2+ln1

Dn2

=kDn3+

ln2

D2

=kD1+l2k

k2

kn-2+)

Dn=ln+kln1+k2ln2++kn2l2+kn1l+kn

D1=a=l+kkn-1

D1

=kn1l+kn

1nnnlkDD+=-1定理設(shè)線性齊次方程組其系數(shù)行列式方程組有唯一解0時(shí)，j=1,2,,n

其中1.3克拉默(Cramer)法則

證明其中Akj是D中akj的代數(shù)余子式(1)驗(yàn)證滿足方程組i=1,2,,n

交換兩個(gè)和號的順序=bi(i=1,2,,n)(2)證明解唯一設(shè)（c1,c2,,cn）是滿足方程組的解A1j+)A2jAnj推論若齊次線性方程組其逆否命題是：若方程組有非零，則D=0的系數(shù)行列式D0,則x1=x2==xn=0,即解唯一例1已知三次曲線y=a0+a1x+a2x2+a3x3

過4個(gè)點(diǎn)Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4）其中x1,x2,x3,x4

互異，試求方程的系數(shù)a0,a1,a2,a3解法1

將4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入三次曲線的方程,得到非齊次線性方程組其中a0,a1,a2,a3

為未知量；方程組的系數(shù)行列式D

是范德蒙行列式其中

Dj是以y1,y2,y3,y4

替代D中第j列元素所得的行列式由Cramer法則,有唯一解(j=0,1,2,3)

解法2

將三次曲線上的任意點(diǎn)(x,y)所滿足的方程寫成a0+a1x+a2x2+a3x3+a4y=0，它與一起構(gòu)成的關(guān)于a0,a1,a2,a3,a4

的齊次線性方程組有非零解(因?yàn)閍4=1)例2求4個(gè)平面aix+biy

+ciz+di=0

(i=1,2,3,4)相交于一點(diǎn)(x0,y0,z0)的充分必要條件。解設(shè)4個(gè)平面相交于一點(diǎn)P0(x0,y0,z0)，則其中必有某3個(gè)平面相交于P0點(diǎn)（如果任意3個(gè)平面都不相交于此點(diǎn)，則4個(gè)平面不會交于此點(diǎn)）。不妨設(shè)前3個(gè)平面相交于P0點(diǎn)，于是前3個(gè)平面方程構(gòu)成的非齊次線性方程組有唯一解，從而將4個(gè)平面方程寫成其中t=1,i=1,2,3,4，于是4個(gè)平面相交于P0點(diǎn)就是4個(gè)方程構(gòu)成的x,y,z