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第二節(jié)定積分在幾何學上的應用一平面圖形的面積二體積三平面曲線的弧長面積：面積元素一平面圖形的面積1.1直角坐標之一般情形面積元素：面積：1.【直角坐標情形】下面我們來討論如何利用定積分來求平面圖形的面積，分以下幾種情況討論：【解】兩曲線的交點選x為積分變量于是所求面積【說明】注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式．【解】兩曲線的交點選y為積分變量【說明】本題若選x為積分變量，則如下故由此我們看到，積分變量選取適當，則可使計算簡便.如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積1.2直角坐標之參數(shù)方程的情形面積元素曲邊扇形的面積2、【極坐標情形】【解】由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積【解】利用對稱性知

旋轉體就是由一個平面圖形饒這平面內一條直線旋轉一周而成的立體．這直線叫做旋轉軸．圓柱圓錐圓臺二、體積1、【旋轉體的體積】【解】直線OP方程為【例8】計算橢圓繞x軸及y軸旋轉而成的橢球體的體積Vx，Vy．(a>b>0)

【解】(1)繞x軸旋轉(2)繞y軸旋轉當a=b=R時，即得球體的體積公式V=

【解】【解】【解Ⅰ】體積元素為【注意】本題易犯的一個錯誤是兩者截然不同.【解Ⅱ】——柱殼法

2、【平行截面面積為已知的立體的體積】如果一個立體不是旋轉體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.立體體積又如【解Ⅱ】

如圖垂直于y

軸的截面為矩形截面面積立體體積【解】取坐標系如圖底圓方程為截面面積立體體積【解】所求弧長為【解】【練習】曲線弧為弧長公式3、【參數(shù)方程情形】【解】星形線的參數(shù)方程為根據(jù)對稱性第一象限部分的弧長【證】根據(jù)橢圓的對稱性知故原結論成立.曲線弧為弧長公式4、【極坐標情形】【解】【解】5、【小結】直角坐標系下參數(shù)方程下極坐標系下弧微分的概念（三種形式）弧長公式平面曲線弧長的概念,

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