北大材料力學ch9應力狀態(tài)課件

材料力學第九章應力與應變分析AnalysisofStress&Strain3/14/2023材料力學導言Introductionlaak前面我們介紹了在拉(壓)、剪切、扭轉、彎曲四種基本變形下的強度計算和剛度計算,以及其相應的應力、變形計算公式。對圖示梁上C－截面上的k點(翼緣與腹板交點下側),既有M(=Pa)引起的s又有Q(=P)引起的t,其強度條件應是什么形式?組合變形(拉彎、扭彎、…)的截面如何確定最危險點及建立相應的強度條件？為解決這些問題,需要研究構件上一點的應力隨截面方位的變化而改變的規(guī)律。即一點的應力狀態(tài)。3/14/2023材料力學

我們可以用三對相互垂直的平面,繞此點(M)取出一個微小的正六面體(如圖,通常叫:微單元體Element)。用此微元體三個相互垂直的平面上的應力來表征此點(M)的應力狀態(tài)。并可將其用一個二階張量(Tensor)來描述?！?-1應力狀態(tài)的概念

I.StressstateatapointM因為兩者表示同一點M的應力狀態(tài),其各分量間必然有一定的相互轉換規(guī)律。這些規(guī)律的數(shù)學形式是什么？彈性理論已經證明,物體內任一點的應力存在三個主平面(Principalplanes,其上τ≡0),其上的應力(б1≥б2≥б3)叫該點的主應力(Principalstresses)。且這三個主平面相互垂直,圍成一個叫主單元體(ElementofPrincipalStresses)的微元體。在§1-7我們講了某點的應力隨所選截面方向改變而改變。過一點各方向截面上應力矢量的集合稱為該點的應力狀態(tài)。但怎樣描述一點的應力情況——一點的應力狀態(tài)?當M點的微元體坐標Oxyz改變?yōu)镺x1y1z1時,有:3/14/2023材料力學§9-2平面應力狀態(tài)分析(I基本公式)

StressAnalysisofPlaneStressState如右圖,我們由微三棱柱bef來求截面法線n與x軸夾a角的任意斜截面上的應力sa,ta與sx,sy,tx(=-ty),a的關系(其中a以由x軸正向到斜截面外法線為逆時針轉為正,反之為負。sa以受拉為正,反之為負。ta(與tx,ty一樣)以繞微元體內任一點為順時針轉為正,反之為負。設ef面的面積為dA;則:eb面—dAcosafb面—dAsina在桿件中,我們經常遇到的一點之應力狀態(tài)為單向應力狀態(tài)或平面應力狀態(tài)。一般的空間應力狀態(tài)在桿件中很少出現(xiàn),通常在彈性力學中討論。我們現(xiàn)在來研究平面應力狀態(tài)下與零主應力平面垂直的任意斜截面上的應力。由得:3/14/2023材料力學§9-2平面應力狀態(tài)分析(I基本公式)

StressAnalysisofPlaneStressState由得:由剪應力互等定理知(|ty|=|tx|),注意到圖中tx方向為正,故|ty|=tx,利用化簡上兩式,得:如以代入上兩式,易得與a斜面垂直的另一斜面上的正應力和剪應力。且有:3/14/2023材料力學§9-2平面應力狀態(tài)分析(II應力圓)

StressAnalysisofPlaneStressState(StressCircle)下面介紹應力圓的作法:由基本公式易得:將此兩式分別平方,然后對應相加,可得:此式表示一圓的方程,如圖所示。此圓叫相應單元體的應力圓(or摩爾圓Mohr’sCircle)。在Ost坐標系中,其圓心在s軸上。圓心與坐標原點O的距離為:其半徑為:3/14/2023材料力學§9-2平面應力狀態(tài)分析(II應力園)

StressAnalysisofPlaneStressState(StressCircle)作好應力圓后,可用極點法在圖上求解出此微元體上與x軸夾角為a的任意斜截面上的sa,ta如下:tOs***MPasxsyCD1D2txtyIfx//s→作D1P//dc,P為與D1P應力圓的交點。叫極點。P(極點pole)E(sa,ta)a2a

應力圓上E點的坐標,即為sa,ta3/14/2023材料力學§9-2平面應力狀態(tài)分析(II應力園)

StressAnalysisofPlaneStressState(StressCircle)下面證明前述圖解法的正確性:如圖,應有:3/14/2023材料力學§9-2平面應力狀態(tài)分析(II應力園)

StressAnalysisofPlaneStressState(StressCircle)從以上作圖及證明可以看出,應力圓上的點與單元體上的面之間存在一一對應關系:單元體某一面上的應力,必對應于應力圓上其一點的坐標;單元體上任意A、B兩個面的外法線之間的夾角若為b,則在應力圓上代表該兩個面上應力的兩點之間的圓弧段所對的圓心角必為2b,且兩者的轉向一致(如圖)。實質上,這種對應關系是應力圓的參數(shù)表達式(9－l)和(9－2)以兩倍方位角為參變量的必然結果。根據(jù)這種對應關系,只要由單元體的x平面和y平面上已知的應力sx、tx和sy、ty(=-tx)作出應為圓,就可很容易地從應力圓確定任一a截面上的應力sa、ta。

應力圓直觀地反映了一點處應力狀態(tài)的特征,在實際應用中,并不一定把應力圓看作為純粹的圖解法,可以利用應力圓來理解有關一點處應力狀態(tài)的一些特征,或從圖上的幾何關系來分析一點處的應力狀態(tài)。3/14/2023材料力學(例題9-1,例題9-2:自學)§9-2

平面應力狀態(tài)分析

(III主應力與主平面PrincipalStressandPrincipalPlane)sIsII作業(yè):9-2,9-9(c),9-10(g)㈠解析法(AnalyticMethod)因為主平面上t=0,若已知微元體在x軸和y軸上的應力sx、tx和sy、ty(=-tx),則x軸和主方向的夾角ao應滿足:與用轉軸公式推導慣性主軸和主矩類似,易得:結合z軸為主應力為零的一個已知主方向,且三個相互垂直的主應力必須滿足可進一步確定s1,s2,s3的數(shù)值和方向。3/14/2023材料力學§9-3

梁的主應力·主應力跡線的概念

PrincipalStressinBeam·PrincipalStressTrajectories對橫力彎曲梁,其任一橫截面上的應力為:且在縱截面上:故其沿梁高的應力變化情況如圖所示。其上一般點的主應力為:可見,梁上任一點一般有一主拉應力和一主壓應力。梁的主應力跡線是指這樣一簇曲線,其上的每一點之切線方向均與該點的主應力方向重合。3/14/2023材料力學§9-3

梁的主應力·主應力跡線的概念

PrincipalStressinBeam·PrincipalStressTrajectories作業(yè):9-13因此,梁上存在兩組相互正交的主應力跡線簇——主拉應力跡線和主壓應力跡線。顯然,主應力跡線的形狀與梁上荷載情況及其支承條件有關。在設計鋼筋混凝土構件時,其上的主拉應力跡線可指導構件的配筋。在光彈實驗中常用到主應力跡線的概念。3/14/2023材料力學例題9-4:自學?！?-4

空間應力狀態(tài)的研究

IntroductiontoAnalysisofTriaxialStressStateI.三向應力圓(Three---DimensionalStressCircle)可見:3/14/2023材料力學解:該單元體有一個已知的主應力sz=20MPa。因此,與該主平面正交的各截面上的應力與主應力sz無關,于是,可依據(jù)x截面和y截面上的應力畫出應力圓(圖b)。從圖上可量得兩個主應力值為46MPa和-26MPa。將該單元體的三個主應力按其代數(shù)值的大小順序排列為:s1=46MPa，s2=20MPa，s3=-26MPa§9-4

空間應力狀態(tài)的研究

IntroductiontoAnalysisofTriaxialStressState例題9－3單元體各面上的應力如圖a所示。作應力圓,并求出主應力和最大剪應力值及其作用面方位。3/14/2023材料力學§9-4

空間應力狀態(tài)的研究

IntroductiontoAnalysisofTriaxialStressState根據(jù)上述三個主應力值,便可作出三個應力圓如圖b所示。在三個應力圓中的最大應力圓上,B點的縱坐標(該圓的半徑)即為該單元體的最大剪應力，按比例尺量出為tmax=BC=36MPa從圖b的應力圖上量得2ao=34o,據(jù)此便可確定s1所在的主平面方位和主單元體各面間的相互位置。其中最大剪應力所在截面與s2平行,與s1和s3所在的主平面各成45o夾角,如圖c所示。3/14/2023材料力學§9-5

平面應力狀態(tài)下的應變研究

Two-DimensionalStrainAnalysisyxx’y’a一點的應力狀態(tài)是由該點領域的變形情況決定的。此點的應變狀態(tài)即為該點鄰域的變形(應變)情況的描述。彈性理論已證明:任一點的應變狀態(tài)也存在三個相互垂直的主方向,在此方向上的剪應變g≡0;且對各向同性材料,應變主方向與應力主平面的法線方向重合。我們現(xiàn)在來研究已知z軸為一主方向時(gxz=gyz≡0),并已知ex,ey,gxy時求任意與x方向夾角為a的x’方向(及y’方向x’軸)的ea,ga:可以證明:可見,若將ex,ey,-gxy/2,ea,-ga/2代換sx,sy,tx,(ty),sa,ta。則前面關于平面應力狀態(tài)的結論均可相對應地應用于平面變形狀態(tài)的應變研究中。3/14/2023材料力學§9-6

應力與應變間的關系

GeneralizedHooke′sLawofIsotropicalMaterials·VolumetricStrainI,各向同性材料的廣義胡克定律:一點的主應變?yōu)檠丶魬儭?的方向上之線應變。應用彈性理論可以證明:對各向同性材料,主應變方向與主應力方向重合。故1方向的主應變ε1為:同理,得:對平面應力狀態(tài),不妨設s3=0,則有:可見,在s3=0的平面應力狀態(tài)下,e3≠0。各向同性材料的三個彈性常數(shù),存在以下關系:3/14/2023材料力學§9-6

應力與應變間的關系

GeneralizedHooke′sLawofIsotropicalMaterials·VolumetricStrainI,各向同性材料的廣義胡克定律:對非主單元體,在線彈性,小變形,各向同性的條件下,彈性理論已證明:沿坐標軸方向,正應力只引起線應變,而剪應力只引起同一平面內的剪應變。故有:對sz=0,txz=tyz=0的平面應力狀態(tài),有:3/14/2023材料力學§9-6

應力與應變間的關系

(III,各向同性材料的體積應變·VolumetricStrain)將廣義胡克定律代入上式,得:此式即線彈性小變形條件下的廣義體積胡克定律(VolumetricHooke’sLaw)上式表明:任一點處的體積應變與該點處的三個主應力之和成正比。對于平面純剪切應力狀態(tài),s1=-s3=txy,s2=0,由上式可見,材料的體積應變等于零。即在小變形條件下,剪應力不引起各向同性材料的體積改變。例題9－7邊長a=0.1m的銅立方塊,無間隙地放入體積較大、變形可略去不計的鋼凹槽中,如圖a所示。已知銅的彈性模量E=100GPa,泊松比m=0.34。當受到P=300kN的均布壓力作用時,求該銅塊的主應力、體積應變以及最大剪應力。分析:銅塊受到軸向壓縮將產生膨脹,但是又受到剛性凹槽壁的阻礙,使得銅塊在x、z方向的應變等于零。于是,在銅塊與槽壁接觸面間將產生均勻的壓應力sx和sz，如圖b所示。解:(參見教材PP34-35)3/14/2023材料力學§9-6

應力與應變間的關系

(III,各向同性材料的體積應變·VolumetricStrain)作業(yè):9-23,9-24,9-323/14/2023材料力學§9-7空間應力狀態(tài)下的比能

StrainEnergyIntensityofTriaxialStressState(s