人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)直角三角形全等判定（提高）知識(shí)講解

PAGE直角三角形全等判定（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一種特殊方法——“斜邊，直角邊”（即“HL”）.2．能熟練地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定兩個(gè)直角三角形全等.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的條件可知，對(duì)于兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等，或兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要點(diǎn)二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個(gè)判定方法是直角三角形所獨(dú)有的，一般三角形不具備.要點(diǎn)詮釋：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個(gè)直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個(gè)直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個(gè)直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書寫時(shí)必須在兩個(gè)三角形前加上“Rt”.【典型例題】類型一、直角三角形全等的判定——“HL” 1、判斷滿足下列條件的兩個(gè)直角三角形是否全等，不全等的畫“×”，全等的注明理由：（1）一個(gè)銳角和這個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等；（）（2）一個(gè)銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等；（）（3）兩直角邊對(duì)應(yīng)相等；（）（4）一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等．（）【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”.【解析】理解題意，畫出圖形，根據(jù)全等三角形的判定來(lái)判斷.【總結(jié)升華】直角三角形全等可用的判定方法有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.舉一反三：【變式】下列說法中，正確的畫“√”；錯(cuò)誤的畫“×”，并舉出反例畫出圖形.（1）一條直角邊和斜邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．（）（2）有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（）（3）有兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AE和DF是其中一邊上的高，AE＝DF（3）×.在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，AE為第三邊上的高，2、已知：如圖，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求證：AB∥DC.【思路點(diǎn)撥】從已知條件只能先證出Rt△ADE≌Rt△CBF，從結(jié)論又需證Rt△CDE≌Rt△ABF.【答案與解析】證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴在Rt△ADE與Rt△CBF中∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）∴AE＝CF，DE＝BF∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE在Rt△CDE與Rt△ABF中，∴Rt△CDE≌Rt△ABF（SAS）∴∠DCE＝∠BAF∴AB∥DC.【總結(jié)升華】我們分析已知能推證出什么，再看要證到這個(gè)結(jié)論，我們還需要哪些條件，這樣從已知和結(jié)論向中間推進(jìn)，從而證出題目.3、（2020春?東營(yíng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求證：EB=FC．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等證得DE=DF，再利用HL判定，Rt△DBE≌Rt△DCF，從而得到EB=FC．【答案與解析】證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF；∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∴在Rt△DBE和Rt△DCF中，∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）；∴EB=FC．【總結(jié)升華】本題考查直角三角形全等的判定方法，要證EB=FC，只要將EB、FC置于兩個(gè)直角三角形中，去證明它們?nèi)燃纯?舉一反三：【變式】（2020春?澧縣校級(jí)期中）如圖，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC與BD相交于點(diǎn)O．（1）求證：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何種三角形？證明你的結(jié)論．【答案】證明：（1）因?yàn)椤螦=∠D=90°，所以△ABC和△DCB都是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DCB中，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形.理由如下：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB=∠DCB，∴OB=OC∴△OBC是等腰三角形.4、如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC邊上的中線，過C作CF⊥AE，垂足為F，過B作BD⊥BC交CF的延長(zhǎng)線于D.（1）求證：AE＝CD；（2）若AC＝12，求BD的長(zhǎng).【答案與解析】（1）證明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°．∴∠D＝∠AEC．又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，∴△DBC≌△ECA（AAS）．∴AE＝CD．（2）解：由（1）得AE＝CD，AC＝BC，∴△CDB≌△AEC（HL）∴BD＝EC＝BC＝AC，且AC