第六章-線性系統(tǒng)的頻域分析

2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系1自動(dòng)控制原理第六章線性系統(tǒng)的頻域分析2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系2第六章線性系統(tǒng)的頻域分析6-1頻率特性的概念

6-2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制

6-3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制

6-4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)6-5最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應(yīng)用

6-6閉環(huán)頻率特性2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系3本章重點(diǎn)頻率特性基本概念典型環(huán)節(jié)的幅相頻率特性及其繪制典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性奈奎斯特穩(wěn)定性及其判定最小相位系統(tǒng)和穩(wěn)定裕量概念系統(tǒng)頻率特性的Bode圖形表示方法由系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系4

頻率特性法是經(jīng)典控制理論中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析與綜合的又一重要方法。與時(shí)域分析法和根軌跡法不同，頻率特性法是根據(jù)系統(tǒng)對(duì)正弦信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，即系統(tǒng)的頻率特性來(lái)分析系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)。

頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)之間有著內(nèi)在的聯(lián)系。應(yīng)用時(shí)域分析法和根軌跡法分析系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)先通過(guò)某種方法獲得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。頻率特性法可以根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)采用解析的方法得到系統(tǒng)的頻率特性，也可以用實(shí)驗(yàn)的的方法測(cè)出穩(wěn)定系統(tǒng)或元件的頻率特性。6.1頻率特性的概念2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系5反映系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的性能。討論線性定常系統(tǒng)（包括開環(huán)、閉環(huán)系統(tǒng)）在正弦輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)輸出。系統(tǒng)或?qū)ο?.1頻率特性的概念

為系統(tǒng)的幅頻特性,它反映系統(tǒng)在不同頻率正弦信號(hào)作用下,輸出穩(wěn)態(tài)幅值與輸入穩(wěn)態(tài)幅值的比值。稱１．頻率特性的定義

為系統(tǒng)的相頻特性,它反映系統(tǒng)在不同頻率正弦信號(hào)作用下，輸出信號(hào)相對(duì)輸入信號(hào)的相移。稱2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系66.1頻率特性的概念求如圖RC電路的頻率特性。例6－1RC電路的傳遞函數(shù)為：解設(shè)輸入其拉氏變換為則輸出的拉氏變換為:2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系7求拉氏反變換，得其中暫態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量6.1頻率特性的概念ＲＣ電路的穩(wěn)態(tài)頻率響應(yīng)為：2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系8可見，ＲＣ電路的頻率特性為:式中為幅頻特性為相頻特性6.1頻率特性的概念ＲＣ電路的穩(wěn)態(tài)頻率響應(yīng)為：2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系96.1頻率特性的概念考慮系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：如果令：可以證明：如果令：傳遞函數(shù)頻率特性注意：為幅頻特性為相頻特性2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系10（１）幅頻特性反映系統(tǒng)對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的穩(wěn)態(tài)衰減（或放大）特性。（２）相頻特性表示系統(tǒng)在不同頻率正弦信號(hào)下輸出的相位移。（３）已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，令，可得系統(tǒng)的頻率特性。（４）頻率特性包含了系統(tǒng)的全部動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)，反映了系統(tǒng)的內(nèi)在性質(zhì)，因此也是一種數(shù)學(xué)模型描述。幾點(diǎn)說(shuō)明：6.1頻率特性的概念2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系11頻率特性的數(shù)學(xué)描述形式為：

是系統(tǒng)的幅頻特性。其中：是系統(tǒng)的相頻特性。6.1頻率特性的概念頻率特性是系統(tǒng)（或元件）對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)特性。輸出的振幅和相位一般均不同于輸入量，且隨著輸入信號(hào)頻率的變化而變化。2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系12在系統(tǒng)的輸入端輸入一正弦信號(hào)，測(cè)出不同頻率時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的振幅uo和相移，便可得到它的幅頻特性和相頻特性。獲取系統(tǒng)頻率特性的途徑:頻率特性是特定情況下的傳遞函數(shù)。它和傳遞函數(shù)一樣，反映了系統(tǒng)的內(nèi)在聯(lián)系。一、解析法二、實(shí)驗(yàn)法6.1頻率特性的概念三、定義法對(duì)已知系統(tǒng)的微分方程，把正弦輸入函數(shù)代入，求出其穩(wěn)態(tài)解，取輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入正弦量的復(fù)數(shù)比即可得到。2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系13頻率特性的表示方法:（一）解析表示（二）圖示（幾何）表示1、極坐標(biāo)圖——Nyquist圖（又叫幅相頻率特性、或奈奎斯特圖，簡(jiǎn)稱奈氏圖）2、對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖——Bode圖（伯德圖）3、復(fù)合坐標(biāo)圖——Nichocls圖（尼柯爾斯圖，或尼氏圖），一般用于閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性分析。6.1頻率特性的概念2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系141.極坐標(biāo)圖—奈奎斯特圖（Nyqusit）—幅相特性曲線系統(tǒng)頻率特性為幅頻-相頻形式當(dāng)在0～變化時(shí),向量G(j)的幅值和相角隨而變化,與此對(duì)應(yīng)的向量G(j)的端點(diǎn)在復(fù)平面G(j)上的運(yùn)動(dòng)軌跡就稱為幅相頻率特性或Nyqusit曲線。畫有Nyqusit曲線的坐標(biāo)圖稱為極坐標(biāo)圖或Nyqusit圖。慣性環(huán)節(jié):G(s)=1/(Ts+1)的Nyqusit圖6.1頻率特性的概念2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系152.

對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖——伯德圖（Bode圖）將系統(tǒng)頻率特性G(j)的幅值和相角分別繪在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上，分別得到對(duì)數(shù)幅頻特性曲線（縱軸：對(duì)幅值取分貝數(shù)后進(jìn)行線性分度20lg|G(j)|；橫軸：對(duì)頻率取以10為底的對(duì)數(shù)后進(jìn)行分度:lgω）和相頻特性曲線（縱軸：對(duì)相角進(jìn)行線性分度；橫軸：對(duì)頻率取以10為底的對(duì)數(shù)后進(jìn)行分度lgω

），合稱為伯德圖(Bode圖)。

對(duì)數(shù)相頻特性記為單位為分貝（dB)對(duì)數(shù)幅頻特性記為單位為度或弧度（rad)6.1頻率特性的概念2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系163.復(fù)合坐標(biāo)圖——Nichocls圖（將Bode圖的兩張圖合二為一）將對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性繪在一個(gè)平面上，以對(duì)數(shù)幅值作縱坐標(biāo)（單位為分貝）、以相位移作橫坐標(biāo)（單位為度）、以頻率為參變量。這種圖稱為對(duì)數(shù)幅—相頻率特性，也稱為尼柯爾斯圖，或尼氏圖。

0o180o-180oω0-20dB20dB6.1頻率特性的概念2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系17二、實(shí)驗(yàn)法當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)建立，尚不知道其內(nèi)部結(jié)構(gòu)或傳遞函數(shù)時(shí)，在系統(tǒng)的輸入端輸入一正弦信號(hào)，測(cè)出不同頻率時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的振幅Y和相移φ，便可得到它的幅頻特性和相頻特性。這種通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定系統(tǒng)頻率特性的方法是求取頻率特性的實(shí)驗(yàn)法。獲取系統(tǒng)頻率特性的途徑有兩個(gè):一、解析法當(dāng)已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時(shí)，用代入傳遞函數(shù)可得到系統(tǒng)的頻率特性因此，頻率特性是特定情況下的傳遞函數(shù)。它和傳遞函數(shù)一樣，反映了系統(tǒng)的內(nèi)在聯(lián)系。這種通過(guò)傳遞函數(shù)確定頻率特性的方法是求取頻率特性的解析法。6.1頻率特性的概念2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系186.2典型環(huán)節(jié)幅相頻率特性的繪制

自動(dòng)控制系統(tǒng)通常由若干環(huán)節(jié)構(gòu)成，根據(jù)它們的基本特性，可劃分成幾種典型環(huán)節(jié)。典型環(huán)節(jié)的基本特性在第二章已經(jīng)介紹，本節(jié)將介紹典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制方法。系統(tǒng)或環(huán)節(jié)頻率特性的繪制有多種方式，本節(jié)主要介紹應(yīng)用較為廣泛的極坐標(biāo)圖和伯德圖。2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系196.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制一、典型環(huán)節(jié)的幅相特性曲線（極坐標(biāo)圖）

以角頻率ω為參變量，根據(jù)系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性在復(fù)平面上繪制出的頻率特性叫做幅相特性曲線或頻率特性的極坐標(biāo)圖。它是當(dāng)角率ω從0到無(wú)窮變化時(shí)，矢量的矢端在

平面上描繪出的曲線?？捎梅岛拖嘟墙M成的向量表示。由0變化到時(shí)，向量的幅值和相位也隨之作相應(yīng)的變化，其端點(diǎn)在復(fù)平面上移動(dòng)的軌跡稱為極坐標(biāo)圖。當(dāng)輸入信號(hào)的頻率放大環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：其對(duì)應(yīng)的頻率特性是：其幅頻特性和相頻特性分別為：(6-16)(6-19)(6-17)(6-18)頻率特性如圖6-1所示。圖6-1比例環(huán)節(jié)的幅相曲線2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系20放大環(huán)節(jié)的幅頻特性為常數(shù)K，相頻特性等于零度，它們都與頻率無(wú)關(guān)。理想的放大環(huán)節(jié)能夠無(wú)失真和無(wú)滯后地復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)。1、比例環(huán)節(jié)6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系212、積分環(huán)節(jié)所以，積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖是負(fù)虛軸。3、微分環(huán)節(jié)所以，微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖是正虛軸。圖6-2積分環(huán)節(jié)的幅相曲線(極坐標(biāo)圖)6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系224、一階慣性環(huán)節(jié)一階慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖5、一階微分環(huán)節(jié)圖6-3慣性環(huán)節(jié)的幅相曲線令：

則有

這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓方程，其圓心坐標(biāo)是半徑為。2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系23

當(dāng)ω由零至無(wú)窮大變化時(shí)，慣性環(huán)節(jié)的頻率特性在平面上是正實(shí)軸下方的半個(gè)圓周，證明如下：6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制

推廣：當(dāng)慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的分子是常數(shù)K時(shí)，即其頻率特性是圓心為，

半徑為的實(shí)軸下方半個(gè)圓周。2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系246.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系256、二階慣性環(huán)節(jié)的高頻部分與負(fù)實(shí)軸相切。極坐標(biāo)圖的精確形狀與阻尼比ξ有關(guān)，但對(duì)于欠阻尼和過(guò)阻尼的情況，極坐標(biāo)圖的形狀大致相同。

二階慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖思考題：對(duì)于二階微分環(huán)節(jié)的情況，同學(xué)們仿照前面講過(guò)的內(nèi)容自行繪制。ξ變化對(duì)二階慣性環(huán)節(jié)極坐標(biāo)圖曲線形狀的影響2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系266.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制ξ變化對(duì)二階慣性環(huán)節(jié)極坐標(biāo)圖曲線形狀的影響2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系276.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制ξ變化對(duì)二階慣性環(huán)節(jié)極坐標(biāo)圖曲線形狀的影響2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系286.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制ξ變化對(duì)二階慣性環(huán)節(jié)極坐標(biāo)圖曲線形狀的影響2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系296.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制ξ變化對(duì)二階慣性環(huán)節(jié)極坐標(biāo)圖曲線形狀的影響2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系306.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制

當(dāng)阻尼比較小時(shí)會(huì)產(chǎn)生諧振，諧振峰值諧振頻率,這可由幅頻特性的極值方程解出。

其中稱為振蕩環(huán)節(jié)的無(wú)阻尼自然振蕩頻率，它是頻率特性曲線與虛軸的交點(diǎn)處的頻率。

將代入得到諧振峰值為：2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系316.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制

將代入得到諧振相移為：

在的范圍內(nèi)，隨著ω的增加，緩慢增大；當(dāng)時(shí)達(dá)到最大值。當(dāng)時(shí)，迅速減小，時(shí)的頻率稱為截止頻率；頻率大于后，輸出幅值衰減很快。2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系326.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系33對(duì)于

二階微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖7、二階微分環(huán)節(jié)6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制

圖6-6二階微分環(huán)節(jié)幅相曲線

二階微分環(huán)節(jié)頻率特性曲線如圖6-6所示，它是一個(gè)相位超前環(huán)節(jié)，最大超前相角為。

滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：其對(duì)應(yīng)的頻率特性是：幅頻特性和相頻特性分別為：如圖6-7所示，滯后環(huán)節(jié)的頻率特性在平面上是一個(gè)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的單位圓。2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系348、純滯后環(huán)節(jié)6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制圖6-7滯后環(huán)節(jié)頻率幅相曲線2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系35當(dāng)時(shí)，兩者存在本質(zhì)的差別可見，低頻時(shí)傳遞延遲與一階環(huán)節(jié)的特性相似

當(dāng)時(shí)8、純滯后環(huán)節(jié)6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系36H.W.Bode（1906-1982）美國(guó)Bell實(shí)驗(yàn)室著名科學(xué)家，他的工作為數(shù)據(jù)傳輸、通信工程，火炮控制及經(jīng)典控制中的反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性分析奠定了基礎(chǔ)，他于1969獲得IEEEMedalofHonor。二、(半)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖(Bode圖)6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系371.定義：伯德（Bode）圖又叫對(duì)數(shù)頻率特性曲線，它是將幅頻特性和相頻特性分別繪制在兩個(gè)不同的坐標(biāo)平面上，前者叫對(duì)數(shù)幅頻特性，后者叫對(duì)數(shù)相頻特性，統(tǒng)稱為對(duì)數(shù)頻率特性。兩個(gè)坐標(biāo)平面橫軸（ω軸）用對(duì)數(shù)分度。

二、(半)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖(Bode圖)6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系38對(duì)數(shù)相頻特性的縱軸是線性分度：對(duì)數(shù)幅頻特性的縱軸按下式線性分度:半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系。6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系39用伯德圖分析系統(tǒng)有如下優(yōu)點(diǎn)：（1）將幅頻特性和相頻特性分別作圖，使系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的幅值和相角與頻率之間的關(guān)系更加清晰；（2）幅值用分貝數(shù)表示，可將串聯(lián)環(huán)節(jié)的幅值相乘變?yōu)橄嗉舆\(yùn)算，簡(jiǎn)化計(jì)算；（3）用漸近線表示幅頻特性，使作圖更為簡(jiǎn)單方便；（4）橫軸（ω軸）用對(duì)數(shù)分度，擴(kuò)展了低頻段，同時(shí)也兼顧了中、高頻段，有利于系統(tǒng)的分析與綜合。6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系40一、典型環(huán)節(jié)的Bode圖繪制1.放大環(huán)節(jié)（比例環(huán)節(jié)）幅頻特性是放大環(huán)節(jié)的頻率特性為：對(duì)數(shù)幅頻特性為放大環(huán)節(jié)的相頻特性是K>1，20lgK>0,橫軸上方；K=1，20lgK=0,與橫軸重合;K<1，20lgK<0,橫軸下方。6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系412.積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的頻率特性是幅頻特性為對(duì)數(shù)幅頻特性是相頻特性是6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系42當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),

積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性是一條在ω=1（弧度/秒）處穿過(guò)零分貝線（ω軸），且以每增加十倍頻降低20分貝的速度（-20dB/dec.）變化的直線。積分環(huán)節(jié)的相頻特性是一條值為-90°且平行于ω軸的直線。6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制幅頻特性穿越0分貝線（ω軸）時(shí)的頻率，稱為穿越頻率或剪切頻率(用表示)2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系433.微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的頻率特性是幅頻特性為對(duì)數(shù)幅頻特性是相頻特性是6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系44積分環(huán)節(jié)與微分環(huán)節(jié)的比較這些幅頻特性曲線將通過(guò)點(diǎn)（）。類推相差一個(gè)符號(hào)6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系454.慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的頻率特性是：對(duì)數(shù)幅頻特性是：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系46慣性環(huán)節(jié)的相頻特性為：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制在時(shí)近似幅頻特性曲線的斜率發(fā)生了變化,兩條近似直線交接于,

稱為交接頻率。2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系475.一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性是：對(duì)數(shù)幅頻特性是：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系48一階微分環(huán)節(jié)的相頻特性為：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系49一階因子在低頻時(shí)，即低頻時(shí)的對(duì)數(shù)幅值曲線是一條0分貝的直線下兩頁(yè)的圖中表示了一階因子的精確對(duì)數(shù)幅頻特性曲線及漸近線，以及精確(Exactcurve)的相角曲線。在高頻時(shí)，即高頻時(shí)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線是一條斜率為20分貝/十倍頻程的直線對(duì)數(shù)幅頻特性相頻特性一階慣性環(huán)節(jié)與一階微分環(huán)節(jié)的比較6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系50漸近線

漸近線

精確曲線

Asymptote

Exactcurve精確曲線

Exactcurve一階慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性漸近線精確曲線

2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系51一階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線

2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系52二階振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性是對(duì)數(shù)幅頻特性為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，6.二階振蕩環(huán)節(jié)當(dāng)時(shí)，6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系53當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)相頻特性為6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系54二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性是對(duì)數(shù)幅頻特性為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，7.二階微分環(huán)節(jié)當(dāng)時(shí)，6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系55對(duì)數(shù)相頻特性為當(dāng)時(shí)，請(qǐng)同學(xué)們課下完成。6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制思考題：1、二階微分環(huán)節(jié)的Bode圖是怎樣的？

2、二階振蕩與微分環(huán)節(jié)的比較與前述相比怎樣？3、互為倒數(shù)的傳遞函數(shù)的BODE圖有什么關(guān)系？

4、最小相位環(huán)節(jié)和對(duì)應(yīng)的非最小相位環(huán)節(jié)的BODE圖有什么關(guān)系？2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系56令諧振頻率諧振峰值

當(dāng)時(shí)，幅值曲線不可能有峰值出現(xiàn)，即不會(huì)有諧振

諧振頻率諧振峰值

6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系57幅頻特性與

關(guān)系二階因子的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線

2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系58幅頻特性與

關(guān)系二階因子的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線

2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系59幅頻特性與

關(guān)系二階因子的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線

2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系60幅頻特性與

關(guān)系二階因子的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線

2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系61幅頻特性與

關(guān)系二階因子的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線

2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系62二階因子的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線

幅頻特性與

關(guān)系2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系63相頻特性與

關(guān)系二階因子的對(duì)數(shù)相頻特性曲線

2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系64相頻特性與

關(guān)系二階因子的對(duì)數(shù)相頻特性曲線

2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系65相頻特性與

關(guān)系二階因子的對(duì)數(shù)相頻特性曲線

2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系66相頻特性與

關(guān)系二階因子的對(duì)數(shù)相頻特性曲線

2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系67相頻特性與

關(guān)系二階因子的對(duì)數(shù)相頻特性曲線

2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系68二階因子的對(duì)數(shù)相頻特性曲線

相頻特性與

關(guān)系2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系69當(dāng)時(shí)，二階振蕩系統(tǒng)的準(zhǔn)確的對(duì)數(shù)幅頻特性：幅值誤差與關(guān)系二階振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性是對(duì)數(shù)幅頻特性為當(dāng)時(shí)，二階振蕩系統(tǒng)的近似折線的對(duì)數(shù)幅頻特性：由此得幅值誤差與關(guān)系6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系70幅值誤差與

關(guān)系二階振蕩環(huán)節(jié)頻率特性以漸近線表示時(shí)引起的對(duì)數(shù)幅值誤差2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系71幅值誤差與

關(guān)系二階振蕩環(huán)節(jié)頻率特性以漸近線表示時(shí)引起的對(duì)數(shù)幅值誤差2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系72幅值誤差與

關(guān)系二階振蕩環(huán)節(jié)頻率特性以漸近線表示時(shí)引起的對(duì)數(shù)幅值誤差2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系73幅值誤差與

關(guān)系二階振蕩環(huán)節(jié)頻率特性以漸近線表示時(shí)引起的對(duì)數(shù)幅值誤差2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系74幅值誤差與

關(guān)系二階振蕩環(huán)節(jié)頻率特性以漸近線表示時(shí)引起的對(duì)數(shù)幅值誤差2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系75二階振蕩環(huán)節(jié)頻率特性以漸近線表示時(shí)引起的對(duì)數(shù)幅值誤差幅值誤差與

關(guān)系2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系76純滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：對(duì)數(shù)幅頻特性是：8.純滯后環(huán)節(jié)純滯后環(huán)節(jié)的頻率特性是：對(duì)數(shù)相頻特性為：6.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制一、繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖的步驟1、將開環(huán)傳遞函數(shù)分解成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式；2、各環(huán)節(jié)幅頻特性相乘得到開環(huán)幅頻特性；3、各環(huán)節(jié)相頻特性相加得到開環(huán)相頻特性；4、如幅頻特性有積分環(huán)節(jié)，根據(jù)開環(huán)頻率特性表達(dá)式的實(shí)部和虛部，求出漸近線；5、根據(jù)系統(tǒng)類型和開環(huán)M、N的數(shù)值，確定極坐標(biāo)圖的起始角度和終止角度；求極坐標(biāo)曲線與負(fù)實(shí)軸的焦點(diǎn)。2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系77

本節(jié)將通過(guò)一些示例介紹系統(tǒng)的開環(huán)率特性（包括它的極坐標(biāo)和伯德圖）的繪制方法和步驟。將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分解成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式是繪制系統(tǒng)開環(huán)Bode頻率特性的基本步驟。6.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制5、在G(jω)H(jω)平面上繪制出系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖；注意各典型環(huán)節(jié)的參數(shù)和特性。0型系統(tǒng)：起點(diǎn)，是一個(gè)位于正實(shí)軸的有限值終點(diǎn),極坐標(biāo)圖曲線的終點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，并且這一點(diǎn)上的曲線與一個(gè)坐標(biāo)軸相切。

極坐標(biāo)是一條漸近平行于虛軸的直線段。幅值為零，且曲線收斂于原點(diǎn)并與一個(gè)坐標(biāo)軸相切。1型系統(tǒng)：的相角是在總的相角中項(xiàng)產(chǎn)生的在總相角中的相角是由項(xiàng)產(chǎn)生的2型系統(tǒng)：6.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制一、繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖的一般形式和規(guī)律2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系78高頻(ω→∞)區(qū)域的極坐標(biāo)圖對(duì)于的軌跡將沿者順時(shí)針方向收斂于原點(diǎn)。時(shí)，軌跡將與實(shí)軸或虛軸相切。當(dāng)思考題：1、互為倒數(shù)的傳遞函數(shù)的極坐標(biāo)圖有關(guān)系嗎？

2、最小相位環(huán)節(jié)和對(duì)應(yīng)的非最小相位環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖有關(guān)系嗎？本課程只要求最小相位系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖的繪制。極坐標(biāo)圖的一般繪制方法(最小相位系統(tǒng))2、與(負(fù))實(shí)軸的交點(diǎn)3、變化過(guò)程和范圍1、起點(diǎn)和終點(diǎn)γ＝0，起自于實(shí)軸G(0)；γ

>0，起自于無(wú)窮遠(yuǎn)，相角＝－90γ。起點(diǎn)終點(diǎn)n=m，終止于實(shí)軸G(∞)；n>m，終止于原點(diǎn)，相角＝－90(n-m)。令：得可求得。注意從小到大變化的過(guò)程中，各環(huán)節(jié)在幅相特性變化中的作用。注意分子環(huán)節(jié)和分母環(huán)節(jié)的作用是不同的。極坐標(biāo)圖的低頻部分為：極坐標(biāo)圖的高頻部分為：

考慮下列二階傳遞函數(shù)：試畫出這個(gè)傳遞函數(shù)的極坐標(biāo)圖。例6-1解極坐標(biāo)圖的中頻部分為：極坐標(biāo)圖已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

它由一個(gè)放大環(huán)節(jié)和兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，其對(duì)應(yīng)的頻率特性是幅頻特性和相頻特性分別為例6-22023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系83當(dāng)時(shí)，當(dāng)ω由零增至無(wú)窮大時(shí)，幅值由K衰減至零,相角由變至

。頻率特性與負(fù)虛軸的交點(diǎn)頻率為

，交點(diǎn)坐標(biāo)是，其極坐標(biāo)圖如圖6-17所示。2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系84當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，6.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制圖6-17開環(huán)系統(tǒng)極坐標(biāo)圖[G]2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系856.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制該系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖和伯德圖。例6-3解:系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可寫成

它由一個(gè)放大環(huán)節(jié)、一個(gè)積分環(huán)節(jié)和一個(gè)振蕩環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，對(duì)應(yīng)的頻率特性表達(dá)式為2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系86

由于系統(tǒng)含有一積分環(huán)節(jié)，為使頻率特性曲線比較精確，須求出它的漸近線。由系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性可得當(dāng)ω→0時(shí)有2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系87當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，6.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制

即漸近線是一條與實(shí)軸交點(diǎn)為且垂直于實(shí)軸的直線，圖6-19繪制出該系統(tǒng)在不同阻尼比的漸近線（虛線)及對(duì)應(yīng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖。圖6-19例6-2極坐標(biāo)圖2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系882023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系89

下面通過(guò)一些示例介紹系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性(Bode圖)的繪制方法和步驟。將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分解成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式是繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的基本步驟。6.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制二、繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性（伯德圖）的步驟1、將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成典型環(huán)節(jié)乘積形式；2、如存在交接頻率，在ω軸上標(biāo)出交接頻率的坐標(biāo)位置；3、各串聯(lián)環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性疊加后得到系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線；4、修正誤差，畫出比較精確的對(duì)數(shù)幅頻特性；5、畫出各串聯(lián)典型環(huán)節(jié)相頻特性，將它們相加后得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性。2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系90已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:1、由一個(gè)放大環(huán)節(jié)和兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，其對(duì)應(yīng)的頻率特性是幅頻特性和相頻特性分別為例6-26.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制解2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系913、各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性疊加；4、修正誤差；5、畫出各串聯(lián)環(huán)節(jié)相頻特性，相加得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性;2、存在交接頻率，在ω軸上標(biāo)出；dBφ(ω)

ω2040-45o-90o-180o-270o20lgK-40dB/dec-20dB/dec-60dB/dec幅頻特性的繪制1、比例環(huán)節(jié)2、慣性環(huán)節(jié)3、振蕩環(huán)節(jié)4、各環(huán)節(jié)疊加相頻特性的繪制1、比例環(huán)節(jié)2、慣性環(huán)節(jié)3、振蕩環(huán)節(jié)4、各環(huán)節(jié)疊加6.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系92某反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖（幅頻特性用分段直線表示）

開環(huán)頻率特性為例6-36.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制解2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系93-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec6.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系94二、由Bode圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性三、穩(wěn)態(tài)誤差的分析——系統(tǒng)類型和系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)四、由Bode圖求GK(S)一、最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)6.5最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應(yīng)用

五、由Bode進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析——瞬態(tài)計(jì)算2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系95一、最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)6.4最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應(yīng)用定義：在S右半平面上，若沒有系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)，則稱此系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)。相反，若在S右半平面有開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)，則稱之為非最小相位系統(tǒng)。注：（1）在穩(wěn)定系統(tǒng)中，若幅頻特性相同，對(duì)于任意給定頻率，最小相位系統(tǒng)的相位滯后最?。唬?）延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)也屬于非最小相位系統(tǒng)；（3）最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性與對(duì)數(shù)相頻特性具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即對(duì)于給定的對(duì)數(shù)幅頻特性只有唯一的對(duì)數(shù)相頻特性與之對(duì)應(yīng)。2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系96（4）判定最小相位系統(tǒng)的方法：a、對(duì)于最小相位系統(tǒng)，當(dāng)ω→∞時(shí)，其相位為-(n-m)90°。（其中m，n分別為傳遞函數(shù)分子和分母多項(xiàng)式的最高階次）b、對(duì)于非最小相位系統(tǒng)，當(dāng)ω→∞時(shí)，其相位不等于-(n-m)90°。c、當(dāng)ω→∞時(shí)，這兩類系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線斜率都等于-20(n-m)dB/dec。6.4最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應(yīng)用2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系97最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的零-極點(diǎn)分布圖例6-4系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為：試分別繪制其零極點(diǎn)分布圖和Bode圖。解6.4最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應(yīng)用N.Nyquist（1889-1976），美國(guó)Bell實(shí)驗(yàn)室著名科學(xué)家，他的工作為數(shù)據(jù)傳輸，通信工程，火炮控制及經(jīng)典控制中的反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性分析奠定了基礎(chǔ)。他于1960年獲得IEEEMedalof.Honor.6.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(NyquistStabilityCriterion)2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系98

閉環(huán)系統(tǒng)

雖然開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)可能位于右半s平面，但如果閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于左半s平面，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

閉環(huán)傳遞函數(shù)為：為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，特征方程的全部根，都必須位于左半s平面。閉環(huán)線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系996.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(NyquistStabilityCriterion)

在右半s平面內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)聯(lián)系起來(lái)的判據(jù)。這種方法無(wú)須求出閉環(huán)極點(diǎn)，得到廣泛應(yīng)用。對(duì)于物理上可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式的階數(shù)必須大于或等于分子多項(xiàng)式的階數(shù)，這表明，當(dāng)s趨于無(wú)窮大時(shí)，任何物理上可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)正是將開環(huán)頻率響應(yīng)與

由解析的方法和實(shí)驗(yàn)的方法得到的開環(huán)頻率特性曲線，均可用來(lái)進(jìn)行穩(wěn)定性分析

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是建立在復(fù)變函數(shù)理論中的函數(shù)映射基礎(chǔ)上的。的極限，或趨于零，或趨于常數(shù)。

2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系1006.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(NyquistStabilityCriterion)6.4.1預(yù)備知識(shí)

可以證明，對(duì)于S平面上任意一條不通過(guò)任何奇點(diǎn)的連續(xù)封閉曲線，在平面上必存在一條封閉曲線與之對(duì)應(yīng)。幅角定理

設(shè)s平面閉合曲線Γ包圍F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，則S沿Γ順時(shí)針運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，在F(S)平面上，F(xiàn)(S)閉合曲線ΓF包圍原點(diǎn)的圈數(shù)：R>0和R<0分別表示ΓF順時(shí)針包圍和逆時(shí)針包圍F(s)平面的原點(diǎn)，R＝0表示不包圍F(s)平面的原點(diǎn)。6.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(NyquistStabilityCriterion)2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系101當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為則其輔助函數(shù)是除奇點(diǎn)和外,在S平面上任取一點(diǎn),如則S平面與平面的映射關(guān)系例6-52023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系102分析例6-6試分別用下面量個(gè)特殊函數(shù)檢驗(yàn)幅角定理。F2平面F1平面S平面2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系1036.4.2奈奎斯特穩(wěn)定定理考察可見，的分子是閉環(huán)特征多項(xiàng)式，其對(duì)應(yīng)的是閉環(huán)極點(diǎn)，與系統(tǒng)的穩(wěn)定性有關(guān)。分母是開環(huán)特征多項(xiàng)式。如果我們適當(dāng)設(shè)計(jì)，就有可能利用幅角定理分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

假設(shè)F(S)在S平面的虛軸上沒有零極點(diǎn)，在S平面上作一條完整的封閉曲線s，使它包圍S平面右半部且按順時(shí)針環(huán)繞。這一封閉無(wú)窮大半圓稱作奈氏軌跡。顯然奈氏軌跡包圍的極點(diǎn)數(shù)P和零點(diǎn)數(shù)Z，就是F(s)位于S平面右半部的極點(diǎn)數(shù)和零點(diǎn)數(shù)。2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系104注意，這時(shí)的極點(diǎn)數(shù)P就是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中的不穩(wěn)定極點(diǎn)數(shù)，而不穩(wěn)定零點(diǎn)數(shù)Z就是我們要求的閉環(huán)不穩(wěn)定極點(diǎn)數(shù)。如果能夠知道F(S)包圍原點(diǎn)的圈數(shù)N，那么問(wèn)題就解決了。曲線對(duì)原點(diǎn)的包圍，恰等于軌跡對(duì)-1+j0點(diǎn)的包圍。2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系105現(xiàn)在看起來(lái)似乎問(wèn)題已經(jīng)都解決了，請(qǐng)注意這樣一個(gè)問(wèn)題?？窗鼑鶶右半平面的圖，ω的變化范圍是(-∞→0→∞),而在繪制極坐標(biāo)圖時(shí)，ω的變化范圍是(0→∞)。（這個(gè)問(wèn)題請(qǐng)同學(xué)們自己想辦法來(lái)解決辦法。）2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系1063、如果H(s)H(s)在右半s平面內(nèi)無(wú)任何極點(diǎn)，即P等于零，這意味著H(s)H(s)必須不包圍-1+j0點(diǎn)。2、如果H(s)H(s)在右半s平面內(nèi)無(wú)任何極點(diǎn)，即P不等于零，對(duì)于穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，必須R=-P，這意味著H(s)H(s)必須反時(shí)針方向包圍-1+j0點(diǎn)P次。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)對(duì)-1+j0點(diǎn)順時(shí)針包圍的次數(shù)(注意ω的變化范圍是(-∞→0→∞))，是

在S右半平面的極點(diǎn)數(shù)。式中為在右半s平面內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)，是這一判據(jù)可表示為：1、如果z=0，則系統(tǒng)穩(wěn)定，Z>0則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且S右半平面上有z個(gè)不穩(wěn)定極點(diǎn)。2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系1076.4.3含有位于上極點(diǎn)和/或零點(diǎn)的特殊情況設(shè)，顯然在S=0處有一個(gè)極點(diǎn)，這時(shí)奈奎斯特軌跡取為下圖形式，于是軌跡沒有經(jīng)過(guò)起點(diǎn)。平面sswj￥+0j-0j￥+j￥-j1<<eABCFED當(dāng)ω從(0ˉ→0→0＋)，從(∞＋→0→∞－)。￥平面GHReIm-￥=w￥=w''',,FED'A'B'C+=0w-=0w2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系108在中將有：對(duì)于包含因子的開環(huán)傳遞函數(shù)，當(dāng)變量s沿半徑為()的半圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，即例如，考慮開環(huán)傳遞函數(shù)：在中，當(dāng)時(shí)，有中的2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系1092023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系1106.4.3含有位于上極點(diǎn)和/或零點(diǎn)的特殊情況設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，分析其穩(wěn)定性。的軌跡如圖所示。在右半s平面內(nèi)沒有任何極點(diǎn)，并且分析例6-7的軌跡不包圍的值，該系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。，所以對(duì)于任何2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系111設(shè)系統(tǒng)具有下列開環(huán)傳遞函數(shù):試確定以下兩種情況下，系統(tǒng)的穩(wěn)定性：增益K較小增益K較大。小K值時(shí)是穩(wěn)定的大K值時(shí)是不穩(wěn)定的分析例6-8￥平面GHReIm-￥=w￥=w+=0w-=0w1-′000===ZRP￥平面GHReIm-￥=w￥=w+=0w-=0w1-′220===ZRP2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系112設(shè)一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)具有下列試確定該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。開環(huán)傳遞函數(shù)：表明閉環(huán)系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn)在右半s平面，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面內(nèi)有一個(gè)極點(diǎn)(），奈奎斯特曲線如圖示，軌跡順時(shí)針方向包圍點(diǎn)一次因此分析例6-92023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系113根據(jù)根軌跡，我們知道：對(duì)于大的K值，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當(dāng)增益減小到一定值時(shí)，系統(tǒng)可能穩(wěn)定。一、相對(duì)穩(wěn)定性（b）（a）-16.4.4系統(tǒng)穩(wěn)定裕量2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系114

圖(a)和(b)所示的兩個(gè)最小相位系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線（實(shí)線）沒有包圍點(diǎn)，由奈氏判據(jù)知它們都是穩(wěn)定的系統(tǒng)，但圖(a)所示系統(tǒng)的頻率特性曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)A距離點(diǎn)較遠(yuǎn)，圖(b)所示系統(tǒng)的頻率特性曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)B距離點(diǎn)較近。（b）（a）-12023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系115假定系統(tǒng)的開環(huán)放大系統(tǒng)由于系統(tǒng)參數(shù)的改變比原來(lái)增加了50%，則圖(a)中的A點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn),仍在點(diǎn)右側(cè)，系統(tǒng)還是穩(wěn)定的；而圖(b)中的B點(diǎn)則移到的左側(cè)點(diǎn)，系統(tǒng)便不穩(wěn)定了?？梢娗罢咻^能適應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)的變化，即它的相對(duì)穩(wěn)定性比后者好。（a）（b）2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系116二、穩(wěn)定裕度

通常用穩(wěn)定裕度來(lái)衡量系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性或系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，其中包括系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。（一）相角裕度

我們把GH平面上的單位圓與系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線的交點(diǎn)頻率稱為幅值穿越頻率或剪切頻率，它滿足：所謂相角裕度是指幅值穿越頻率所對(duì)應(yīng)的相移與角的差值，即2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系117

對(duì)于最小相位系統(tǒng)，如果相角度系統(tǒng)是穩(wěn)定的(下圖)且

值愈大，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性愈好。如果相角裕度,系統(tǒng)則不穩(wěn)定(下圖右)。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線穿過(guò)點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系118（二）幅值裕度

把系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線與GH平面負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)頻率稱為相位穿越頻率，顯然它應(yīng)滿足

對(duì)于最小相位系統(tǒng)，當(dāng)幅值裕度Kg>1,系統(tǒng)穩(wěn)定，且Kg值愈大,系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性愈好。如果則系統(tǒng)不穩(wěn)定.

所謂幅值裕度Kg是指相位穿越頻率所對(duì)應(yīng)的開環(huán)幅頻特性的倒數(shù)值，即2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系119幅值裕度的含義

使系統(tǒng)到達(dá)臨界狀態(tài)時(shí)的開環(huán)頻率特性的幅值增大(對(duì)應(yīng)穩(wěn)定系統(tǒng))或縮小(不穩(wěn)定系統(tǒng))的倍數(shù)。幅值裕度也可以用分貝數(shù)來(lái)表示。

分貝因此，可根據(jù)系統(tǒng)的幅值裕度大于、等于或小于零分貝來(lái)判斷最小相位系統(tǒng)是穩(wěn)定、臨界穩(wěn)定或不穩(wěn)定。這里要指出的是，系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的好壞必須同時(shí)考慮相角和幅角裕度。通常要求相角裕度=～,幅值裕度（6分貝）2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系120

三、穩(wěn)定裕度與系統(tǒng)的穩(wěn)定性

前面已經(jīng)介紹，求出系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度可以定量分析系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。下面通過(guò)兩個(gè)示例進(jìn)一步說(shuō)明。

已知最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:試分析穩(wěn)定裕度與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系。例1-10

該系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖分別如圖(a)(當(dāng)時(shí))和圖(b)

（當(dāng)時(shí)）所示。由圖(a)可知，當(dāng)時(shí),系統(tǒng)的相角裕度，由圖(b)可知,當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的相角裕度。解2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系121系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性分別為2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系122令,則有，故或;對(duì)應(yīng)S平面的坐標(biāo)原點(diǎn)，舍去。由求出系統(tǒng)的幅值裕度為可見，當(dāng),則

時(shí),該系統(tǒng)不穩(wěn)定；時(shí)，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系123四、由Bode圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性

穩(wěn)定裕量就是表征系統(tǒng)穩(wěn)定程度的量．它是描述系統(tǒng)特性的重要的量，與系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)有密切的關(guān)系。這里討論由Bode圖求系統(tǒng)穩(wěn)定余量，并判斷穩(wěn)定性的方法。的軌跡越接近于包圍點(diǎn)，系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越差．因此，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性靠近點(diǎn)的程度可以用來(lái)衡量系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量用相角裕度和增益裕度來(lái)表示．2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系124§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性剪切頻率—對(duì)應(yīng)于的頻率，記為相角裕量—在剪切頻率處，使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)所要附加的相角遲后量．為使系統(tǒng)穩(wěn)定，相角裕量必須為正值．增益裕度—在相角特性等于的頻率處，開環(huán)幅頻特性的倒數(shù)若系統(tǒng)增益Ｋ增大到，則系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)?；?023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系125§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性穩(wěn)定的系統(tǒng)，為正．2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系1262023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系127非最小相位系統(tǒng)

最小相位系統(tǒng)

相同的幅值特性6.5最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應(yīng)用2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系128(1)在具有相同幅頻特性的系統(tǒng)中，最小相位傳遞函數(shù)（系統(tǒng)）的相角范圍，在所有這類系統(tǒng)中是最小的。任何非最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍，都大于最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍。(2)最小相位系統(tǒng)，幅頻特性和相頻特性之間具有唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。即，如果系統(tǒng)的幅值曲線在從零到無(wú)窮大的全部頻率范圍上給定，則相角曲線被唯一確定。反之亦然。非最小相位系統(tǒng)高頻時(shí)相角遲后大，起動(dòng)性能差，響應(yīng)緩慢。因此對(duì)響應(yīng)要求快的系統(tǒng)不宜采用非最小相位元件。以上結(jié)論對(duì)于非最小相位系統(tǒng)不成立。

關(guān)于最小相位系統(tǒng)的幾個(gè)結(jié)論：6.5最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應(yīng)用2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系129二、由Bode圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定裕量是表征系統(tǒng)穩(wěn)定程度的量，是描述系統(tǒng)特性的重要的量，與系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)有密切的關(guān)系。這里討論由Bode圖求系統(tǒng)穩(wěn)定裕量，并判斷穩(wěn)定性的方法。系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量用相角裕量和增益裕度來(lái)表示．增益裕度

—在相角特性等于的頻率處的一個(gè)數(shù)值，剪切頻率

—對(duì)應(yīng)于的頻率，記為相角裕量

—在剪切頻率處，使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)所要附加的相角遲后量。為使系統(tǒng)穩(wěn)定，相角裕量必須為正值．6.5最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應(yīng)用2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系130如果，則系統(tǒng)穩(wěn)定。6.5最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應(yīng)用如果，則系統(tǒng)穩(wěn)定。2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系131例6-9解已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：(1)繪制折線Bode圖；(2)求ωc、γ、GM、ωg；(3)判定穩(wěn)定性。(1)繪制Bode圖dBφ(ω)

ω2040-45o-90o20lg10-20dB/dec-60dB/dec6.5最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應(yīng)用0.552023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系132(2)求ωc、γ、GM、ωg；(3)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性因?yàn)橄到y(tǒng)是最小相位的，并且系統(tǒng)穩(wěn)定2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系133三、穩(wěn)態(tài)誤差的分析——

系統(tǒng)類型和系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)系統(tǒng)類型與對(duì)數(shù)幅值之間的關(guān)系考慮單位反饋控制系統(tǒng)。靜態(tài)位置、速度和加速度誤差常數(shù)分別描述了0型、1型和2型系統(tǒng)的低頻特性。系統(tǒng)的類型確定了低頻時(shí)對(duì)數(shù)幅值曲線的斜率。因此，對(duì)于給定的輸入信號(hào)，控制系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差，以及穩(wěn)態(tài)誤差的大小，都可以從觀察對(duì)數(shù)幅值曲線的低頻區(qū)特性予以確定。

當(dāng)趨近于零時(shí)，回路增益越高，靜態(tài)誤差值就越小。6.5最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應(yīng)用2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系134靜態(tài)位置誤差常數(shù)的確定假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

當(dāng)ν=0時(shí)，由于此時(shí)最低頻段的幅頻特性斜率為0，其與縱軸的交點(diǎn)是20lgK，可以利用此值確定K。dBφ(ω)

ω2040-45o-90o-20dB/dec-60dB/decω1ω220lgK6.5最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應(yīng)用2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系135靜態(tài)速度誤差常數(shù)的確定1型系統(tǒng)中的起始線段/或其延長(zhǎng)線與的直線的交點(diǎn)具有的幅值為定理1：斜率為證明ω＝1時(shí)的幅頻特性為：起始線段/或其延長(zhǎng)線過(guò)（)這一點(diǎn)。dBφ(ω)

ω2040-45o-90o-20dB/dec-60dB/dec(1,20lgk)ω=120lgkv6.5最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應(yīng)用2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系1361型系統(tǒng)中的起始線段/或其延長(zhǎng)線與軸的交點(diǎn)為。定理2：斜率為證明故其延長(zhǎng)線與0分貝線的交點(diǎn)的頻率在數(shù)值上等于在與Bode圖的橫軸交點(diǎn)處有：dBφ(ω)

ω2040-45o-90o-20dB/dec-60dB/dec(1,20lgk)ω=1kv6.5最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應(yīng)用2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系137靜態(tài)加速度誤差常數(shù)的確定證明:的直線的交點(diǎn)具有的起始線段/或其延長(zhǎng)線與定理3：斜率為的幅值為6.5最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應(yīng)用2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系138II型系統(tǒng)中的起始線段/或其延長(zhǎng)線與軸的交點(diǎn)為。定理4：斜率為證明故，其延長(zhǎng)線與0分貝線的交點(diǎn)的頻率在數(shù)值上等于在與Bode圖的橫軸交點(diǎn)處有：6.5最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應(yīng)用2023/3/15北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化系139

四、由Bode圖求GK(S)這里只要求對(duì)最小相位系統(tǒng)會(huì)從Bode圖求得GK(S)。1、根據(jù)最低頻段的斜率確定系統(tǒng)的類型ν。2、根據(jù)最低頻段的參數(shù)求系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)K。Ⅰ型系統(tǒng)：最低頻段的幅頻特性過(guò)，最低頻段的幅頻特性在通過(guò)橫軸。0型系統(tǒng)：最低頻段的幅頻特性與縱軸的交點(diǎn)是20lgK。Ⅱ型系統(tǒng)：最低頻段的幅頻特性過(guò)，最低頻段的幅頻特性在通過(guò)橫軸。3、根據(jù)交接頻率和其前后斜率的變化量確定各典型環(huán)節(jié)。6.5最小相位系統(tǒng)的Bode圖的應(yīng)