空間向量與立體幾何-山東省2021年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編

空間向量與立體幾何-山東2021年高二期末真題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.（2021.山東泰安?高二期末）若直線(xiàn)/的方向向量為玩，平面a的法向量為萬(wàn)，則能使

〃/。的是（）

A.陽(yáng)=（1,2,1）,拓=（1,0,1）B.加=（0,1,0）,萬(wàn)=（0,3,0）

C.沅=（1,-2,3）,歷=（-2,2,2）D.加=（0,2,1）,n=（-l,0,-l）

2.（2021?山東?惠民縣第二中學(xué)高二期末）如圖，在平行六面體中，

AA；=￡,AB=b^罰=\點(diǎn)尸在A。上，且A「：PC=2:3,則而=（）.

32-2

B.—a-3t--b+—c

555

22-3

C.——a+—b+—cD.

555555

3.（2021.山東淄博.高二期末）空間兩點(diǎn)A（L5,4）,4（-1,3,5）間的距離等于（）

A.2B.3C.4D.9

4.(2021?山東濟(jì)南?高二期末)4知向量"=(2,3,1),6=(1,2,0),則歸+可等于()

A.V3B.3C.735D.9

5.（2021?山東臨沂?高二期末）若向量Z=（OJ—l）,B=（1JO）且則實(shí)數(shù);1=

()

A.2B.y/2C.-2D.-V2

6.（202卜曲東羅莊?高二期末）已知矩形ABC。，P為平面A8CD外一點(diǎn)，且上4_L平面

ABCD,M,N分別為PC,尸。上的點(diǎn)，且=，PN=ND,NM=xAB+yAD+zAP,

貝ijx+y+z=（）

7.（2021?山東荷澤?高二期末）在正四面體P-A8C中，棱長(zhǎng)為1,且。為棱AB的中

點(diǎn)，則而?兩的值為（）

A.--B.-C.--D.g

4422

8.（2021.山東濟(jì)南.高二期末）如圖，在三棱柱ABC-4BG中，M為AG的中點(diǎn)，若

區(qū)4=￡，BC=b>BB、=c，則下列向量與麗?'相等的是（）

1-1--1-17?-

A.—ci—b+cB.一〃+一。一c

2222

1-1r-C1-1F-

C.——a+—b+cD.—a+—b+c

2222

9.（2021?山東威海?高二期末）已知向量￡=（1,3,-2）出=（2,-1,3）,"=（4,5,機(jī)），若Z，b，

2共面，則實(shí)數(shù)”的值為（）

A.——■B.—1C.12D.1

2

試卷第2頁(yè)，共20頁(yè)

10.（2021?山東淄博?高二期末）如圖所示，在正方體ABC。-ABCR中，點(diǎn)尸是側(cè)面

CORG的中心，AF=xAD+yAB+zAAi,求x+y+z=（)

?_________r

Di

A.1B.-C.2

22

11.（2021?山東德州?高二期末）在正方體ABC。-德丹GR中,E為。R中點(diǎn)，則異面

直線(xiàn)4E與8G所成角的余弦值為（）

A.骼B.哈，弋D,正

4

12.（2021?山東羅莊?高二期末）已知空間向量萬(wàn)=（2,-1,2）,b==(1,-2,1),則向量5在

向量2上的投影向量是（）

424242

A.B.（21,2）C.D.(1,-2,1)

13.（2021.山東泰安?高二期末）如圖所示，在空間四邊形。鉆C中,OA=o,OB=b,OC=c,

點(diǎn)M在04上，且。瓶=2加，N為BC中點(diǎn),則“點(diǎn)（）

B

A.^-a--b+-cB.-^a+-b+-c

232322

C.-a+-b--cD.-^a+-b--c

222332

14.（2021.山東寧陽(yáng)縣一中高二期末）如圖所示,空間四邊形0A8C中，麗=&，OB=b，

反=0，點(diǎn)M在04上，且兩'=2雨，N為BC中點(diǎn),則麗等于（）

O

B

八2一11_

A.-a--h+-cB.——a+—br+—c

232322

221

C.-a+-h--cD.—a+—br——c

223332

15.（2021?山東棗莊?高二期末）如圖，在平行六面體ABC。-A&GA中，M為AG與

8a的交點(diǎn)，若=A￡）=瓦A4,=c.則下列向量中與麗相等的向量是（）

匚’

AB

1-1一_1_1__

A.——。+—力+cB.—a+—b+c

2222

1-1一一1_1一一

C.——a——b+cD,—a——b+c

2222

16.（2021?山東泰安?高二期末）已知四棱錐P-ABC。中，AB=（4,-2,3）,AD=（-4,1,0）,

"=（-6,2,-8）,則點(diǎn)P到底面ABC。的距離為（）

A.返B.返C.1

D.2

1326

17.（2021?山東棗莊?高二期末）在長(zhǎng)方體ABCD-ABIGR中，AB=BC=\,例=6

則異面直線(xiàn)AR與DB｝所成角的余弦值為

A.-B.正C.—D.受

5652

試卷第4頁(yè)，共20頁(yè)

18.（2021?山東聊城?高二期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。為平行四邊

形，且A3=AP=6,AD=2,/BAD=/BAP=NDAP=60。,E,F分別為PB,PC

上的點(diǎn)，且而=2麗，PF=FC，（）

A.1B.及C.2D.>/6

二、多選題

19.（2021?山東淄博?高二期末）已知空間向量7、J、I都是單位向量，且兩兩垂直，

則下列結(jié)論正確的是（）

A.向量；+7+E的模是3

B.{?+],'],可可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底

C.向量7+/+E和左夾角的余弦值為立

3

D.向量7+7與1-]共線(xiàn)

20.（2021?山東聊城?高二期末）以下命題正確的是（）

A.若;是平面a的一個(gè)法向量，直線(xiàn)〃上有不同的兩點(diǎn)A,B,則罰/a的充要條件是

p-AB=Q

—>2—?1—?2—

B.已知A,B,C三點(diǎn)不共線(xiàn)，對(duì)于空間任意一點(diǎn)。，^OP^-OA+-OB+-OC,

則尸，A,B,C四點(diǎn)共面

>）3

C.已知a=（—1,1,2），b=（0,2,3）>若ka+o與2a-b垂直，則％=-2

D.已知AABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4-1,1,2）,5（4,1,4）,C（3,—2,2）,則AC邊上的高8。

的長(zhǎng)為行

21.（2021?山東威海?高二期末）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCQ-AIBCQI中，。為底面

ABC。的中心，則（）

A.ACLLBCB.直線(xiàn)CD與8力所成的角為60。

C.三棱錐O-SCA的體積為g

D.直線(xiàn)AG與平面A4QQ所成角的正弦值為四

3

22.（2021.山東棗莊.高二期末）如圖,棱長(zhǎng)為1的正方體ABCQ-ABGR中P為線(xiàn)段

上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線(xiàn)。尸與AC所成的角可能是3B.平面。出尸，平面AAP

C.三棱雉。-C0P的體積為定值

D.平面APR截正方體所得的截面可能是直角三角形

23.（2021?山東濟(jì)南?高二期末）已知正方體A8CO-A4GR的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E,F在

平面AgGR內(nèi)，若|AE|=6，AC1DF,貝I]()

A.點(diǎn)E的軌跡是一個(gè)圓

B.點(diǎn)F的軌跡是一個(gè)圓

C.|歷|的最小值為五T

試卷第6頁(yè)，共20頁(yè)

D.AE與平面AB。所成角的正弦值的最大值為當(dāng)鏟犯

三、填空題

24.(2021?山東棗莊?高二期末)在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(l,2,0),B(x,3,-1),

C(4,y,2),若A、8、C三點(diǎn)共線(xiàn)，貝ijx+y=.

25.(2021.山東棗莊.高二期末)在長(zhǎng)方體ABC。-48cq中，AA,=AB=2,AD=\,

點(diǎn)EG分別是AB,CCt的中點(diǎn)，則點(diǎn)D,到直線(xiàn)GF的距離為.

26.(2021.山東威海.高二期末)已知四面體ABC。的每條棱長(zhǎng)都等于1,點(diǎn)G是棱CO

的中點(diǎn)，則瓦.而=.

27.(2021?山東淄博?高二期末)已知空間直線(xiàn)/的方向向量是

/n=(l,a+2ft,a-l)(a,Z>eR),平面。的法向量〃=(2,3,3).若/_1_夕，則a+b=

28.(2021?山東臨沂?高二期末)在空間直角坐標(biāo)系。-型中，點(diǎn)關(guān)于x軸的

對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)是?

29.(2021?山東濰坊?高二期末)在正三棱柱ABC-A4G中，AB=A4,=2,點(diǎn)。滿(mǎn)足

而=g(荏+麗)，則回=.

30.(202卜山東濟(jì)南?高二期末)已知四面體A8CO的頂點(diǎn)分別為A(2,3,l),8(1,0,2),

C(4,3,-l),D(0,3,-3),則點(diǎn)。到平面ABC的距離.

31.(2021?山東泰安?高二期末)已知)=(1,1,0))=(-1,0,2),且&￡+日與的夾角

為鈍角，則實(shí)數(shù)A的取值范圍為.

32.(2021?山東濰坊?高二期末)在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為8c的中

點(diǎn).則點(diǎn)E到體對(duì)角線(xiàn)8R的距離為.

四、解答題

33.(2021.山東德州.高二期末)已知四棱錐的底面為直角梯形，AB//CD,

ZDAB=90°,B41,底面ABC。，且%=/W=2AD=2DC,"是PB的中點(diǎn).

(1)證明：平面R4￡)J_平面PC。；

(2)求平面AMC與平面BMC所成銳二面角的余弦值.

試卷第8頁(yè)，共20頁(yè)

34.(2021.山東臨沂.高二期末)如圖，在四棱錐P-458中,是邊長(zhǎng)為2的正三角

形，尸C_L底面ABCD.AB1BP,BC=空

3

(1)求證：PALBD；

(2)若PC=BC,求二面角4一3?一￡)的正弦值.

35.(2021.山東泰安?高二期末)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2舊

PA=PB=PC^AC=4,。為AC的中點(diǎn).

(1)證明：PO,平面ABC；

(2)若點(diǎn)M在棱8c上，且二面角M-%-C為30°,求PC與平面所成角的正弦

值.

試卷第10頁(yè)，共20頁(yè)

36.(2021?山東荷澤?高二期末)如圖，在四棱錐P-ABC。中，PA_L底面A8CZ),

AD//BC,AB^AD=AC=3,BC=4,M為線(xiàn)段AO上一點(diǎn)，AM=2MD>N為PC的中

點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面

(2)若平面AMN與平面心。所成的銳二面角的正弦值為好，求直線(xiàn)MN與直線(xiàn)PA所

3

成角的余弦值.

37.（2021.山東濰坊.高二期末）在圖1中，AABC和AA8都是直角三角形，

AB=BC=瓜,/04。=30。,乙48=90。.將板。沿4：折起，使得AB_L3Z）,如圖2.

（1）證明：平面ABCJ?平面ACE）；

（2）若E,尸分別為A2CD的中點(diǎn),求二面角8—屏'一A的大小.

試卷第12頁(yè)，共20頁(yè)

38.(2021.山東.惠民縣第二中學(xué)高二期末)如圖所示，在四棱錐P-43CD中，底面

ABCQ是矩形，底面ABC。，PA^AB=2,AD=l,E是PB的中點(diǎn)，作￡F_LPC

—4—

交PC于點(diǎn)F,且=

(1)求證：2。，平面人后產(chǎn)；

(2)求平面DEF與平面48CD的夾角的余弦值.

39.（2021.山東濟(jì)南.高二期末）如圖，在四棱錐P-A8C3中，A8CD為矩形,

AD=PA=PB=242,PAA.PB,平面平面ABCD.

（1）證明:平面平面P8C；

（2）若M為尸C中點(diǎn)，求平面40。與平面8Am的夾角的余弦值.

試卷第14頁(yè)，共20頁(yè)

40.(2021.山東威海.高二期末)如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SA8為等邊三角形,

ZABC=90°,AB=BC=2,平面SABA.平面ABC,。為AC的中點(diǎn).

(I)求證：ABA.SD；

(II)在側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)P,使二面角S-AB-P的大小為30°,若存在，求正的

值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

41.（2021.山東淄博.高二期末）已知在空間直角坐標(biāo)系。-邙中，點(diǎn)A,B,C,M的

坐標(biāo)分別是（2,0,2）,（2,1,0）,（0,4,—1）,（2,3,-1）,過(guò)點(diǎn)A,B,C的平面記為a.

（1）證明：點(diǎn)A,B,C,M不共面；

（2）求點(diǎn)例到平面a的距離.

42.（2021?山東淄博?高二期末）如圖所示，已知正方體ABCD-A4GR的棱長(zhǎng)為2,E,

F分別為BC,CD的中點(diǎn).

（1）求平面。聲尸與平面AAA夾角的余弦值；

（2）設(shè)西=4夙，若平面CEP〃平面咽口,求2的值.

試卷第16頁(yè)，共20頁(yè)

43.(2021.山東聊城?高二期末)如圖，在棱長(zhǎng)均為4的四棱柱A88-A4G。中，DDJ

平面ABC。，NBA。=60,E為線(xiàn)段A。的中點(diǎn).

(1)求平面BQ。與平面BRE夾角的余弦值；

(2)在線(xiàn)段86上是否存在點(diǎn)尸，使得DF〃平面BRE?若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)尸的位置;

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

44.（2021?山東棗莊?高二期末）如圖，四棱錐P-"C￡＞的側(cè)面△外￡）是正三角形，底

面ABCD是直角梯形，ZBAD=ZADC=W,AD=AB=2CD=2,M為8c的中點(diǎn).

（1）求證：PM±AD；

（2）若PB=?AB，求線(xiàn)PM與平面所成角的正弦值.

試卷第18頁(yè)，共20頁(yè)

45.(2021?山東羅莊.高二期末)如圖，已知三棱錐M-A8C中，

MA=MB=MC=AC=20，AB=BC=2,。為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊BC上，且

~BN=-BC.

3

(1)證明：8O_L平面AWC；

(2)求二面角N-AM-C的正弦值.

46.(2021.山東濰坊.高二期末)如圖，四棱柱A8CO-A4C2的底面ABC。為矩形,

40=243,仞為8c中點(diǎn)，平面ARD4_LABC。，，A。且AA=A。.

(1)證明：/月AO=90°.

(2)若此四棱柱的體積為2求二面角A-A8-M的正弦值.

試卷第20頁(yè)，共20頁(yè)

參考答案

1.C

【分析】

利用〃/a可得而4=0，逐一檢驗(yàn)即可得正確選項(xiàng).

【詳解】

對(duì)于選項(xiàng)A：機(jī).〃=lxl+2x0+lxl=2W0,故選項(xiàng)A不正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：而i=OxO+lx3+OxO=3wO，故選項(xiàng)B不正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：7T7.〃=—2xl-2x2+2x3=0，所以m_L〃，所以〃/a,故選項(xiàng)C正確;

對(duì)于選項(xiàng)D：=—lx0+2x0-lxl=-lwO,故選項(xiàng)D不正確；

故選：C

2.B

【分析】

根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到麗二）^+二通+即可求解.

【詳解】

---2-----

因?yàn)锳P：PC=2:3,可得AP=gAC，

根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得Q=麗+平=麗+I而=麗+y（正-麗）

3___2___3___2_____.3__,2____.Q__.2__.2__

=-AA^+-AC=-AA^+-(AB+BC)=-A^+-(AB+AD)=^X\+-AB+-BC,

又由4A=a，AB=b>AD=c

___422

所以而=乎+葵+汽

故選：B.

3.B

【分析】

直接利用兩點(diǎn)間的距離公式可得答案.

【詳解】

由兩點(diǎn)間的距離公式可得

222

|AB\=>/（1+1）+（5-3）+（4-5）=3.

故選：B.

4.C

【分析】

利用空間向量加法運(yùn)算的坐標(biāo)表示計(jì)算〃+以再用空間向量的模長(zhǎng)公式計(jì)算模長(zhǎng).

答案第21頁(yè)，共39頁(yè)

【詳解】

a+B=(3,5,l)

^|a+^|=V32+52+l2=>/35

故選：C

5.C

【分析】

由向量垂直關(guān)系得到數(shù)量積為零，列方程計(jì)算即可得答案.

【詳解】

因?yàn)镽+4)_L￡所以(￡+加>￡=0即7￡+痛.￡=0，

所以(0+1+1)+40+1+0)=()得2=-2

故選：C

6.B

【分析】

由PA/=2MC,，PN=ND,得兩=耳斤，麗=5而，然后利用向量的加減法法則把向量而

用向量而，而,而表示出來(lái)，可求出x，y，z的值，從而可得答案

【詳解】

解：因?yàn)镻A/=2M。，AN=Nb,

____2—?—.1—.

所以尸河=§尸。,吶=5尸。

___________2___1___

所以?xún)?而-兩=一無(wú)——PD

32

=-(AC-AP)--(Ab-AP)

32

=-(AB+AD-AP)--AD+-AP

322

=2福+，亞」而，

366

_______211

因?yàn)镹M=xAB+yAD+zAP,所以x=-,y=：,z=一一,

366

2

所以x+y+z=1,

故選：B

7.D

【分析】

答案第22頁(yè)，共39頁(yè)

結(jié)合題意畫(huà)出正四面體，由中點(diǎn)性質(zhì)可得尸方=以而+2為,則1.方可代換為

PC1（PA+PB）,由向量數(shù)量積公式即可求解

【詳解】

如圖，因?yàn)?。為棱AB的中點(diǎn)，所以所=3（而+方），

PCPD=^PC\PA+PB]=^PCPA+PCPB）,因?yàn)閹缀误w為正四面體，故而與正夾

角為60。，同理而與無(wú)夾角為60。，PCPA=PCPB=lxlxcos60°=p故

故選：D

8.D

【分析】

根據(jù)空間向量的運(yùn)算，用工友2為基底表示出由，可得選項(xiàng).

【詳解】

BM=BA+AA^+A^M=BA+BB^+-AC

=麗+函+；網(wǎng)-麗）=g麗+甌+g]

1--1

=—a+c'+一匕r

22

故選：D

9.B

【分析】

根據(jù)向量共面設(shè)三網(wǎng)+訪(fǎng)，結(jié)合坐標(biāo)求解出的值，則加的值可求解出.

【詳解】

___[x+2v=4fx=2

設(shè)0=網(wǎng)+地，所以2.,，所以,

[3x—y=5[y=i1

所以〃2=2x(-2)+1x3=-1,

答案第23頁(yè)，共39頁(yè)

故選：B.

10.C

【分析】

利用空間向量的加減法運(yùn)算用通，通，旗■來(lái)表示標(biāo)，即得結(jié)果.

【詳解】

AF=AD+DF=AD+^DD\+DC)=AD+^A^+AB)=AD+^AB+^X\,

故x=l,'=；，z=g，貝"x+y+z=2.

故選：C.

11.A

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出異面直線(xiàn)所成的角；

【詳解】

解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令正方體的棱長(zhǎng)為2,則E(0,0,1),8(2,2,0),B,(2,2,2),

C,(0,2,2),所以函=(2,2,1),Bq-(-2,0,2),

設(shè)異面直線(xiàn)片E與8G所成角為0,

則cos"罵”=胃旦1^^=立

2222

EB^BC}V2+2+l-7(-2)+26

12.A

【分析】

由向量5在向量］上的投影向量為151cos＜扇5＞與，計(jì)算即可求出答案.

【詳解】

答案第24頁(yè)，共39頁(yè)

解：向量a=(2,7,2),6=(1,-2,1)

則團(tuán)=也2+22+(-1)2=3,|fe|=^l2+l2+(-2)2=s/6,a4?=2xl+(-l)x(-2)+Ix2=6,

所以向量方在向量日上的投影向量為

11\/同"同W同3x763(33'3>

故選：A.

13.B

【分析】

由向量的加法和減法運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】

故選：B

14.B

【分析】

首先連接。N,再利用向量加減法的幾何意義求解即可.

【詳解】

連接QV,如圖所示：

因?yàn)榧?2礪，N為8c中點(diǎn)，

________1___1___2__?11

所以伽=0而_。而=_0與+_反一_OA=一一a+-b+-c.

223322

故選：B

15.A

【分析】

利用向量運(yùn)算的三角形法則、平行四邊形法則表示出麗即可.

【詳解】

答案第25頁(yè)，共39頁(yè)

=%而'

=c+1（BA+BC）,

1-1r-

=——4+—0+C,

22

一1

=c+—-a+b

2

故選：A.

16.D

【分析】

先求出平面ABC。的一個(gè)法向量，然后求而與法向量夾角的余弦值，利用點(diǎn)到面的距離公

式即可求解.

【詳解】

設(shè)"=(x,y,z)是平面的一個(gè)法向量,

n-AB=O4x-2y+3z=0

則由題設(shè)一，即nn

n-AD=O-4x+y=0

4一

令x=l,可得y=4,z=-,所以九=

——,426

=—6+2x4—8x—=----

33

136+4+64=2廊,

1inn

/ruun,n-AP

cos（n,AP

nxAP

故點(diǎn)尸到平面ABCD的距離為

=2

故點(diǎn)P到平面ABCD的距離為2,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：向量方法求點(diǎn)到面的距離

\n-AB\

設(shè)AB是平面儀的一條斜線(xiàn)，G是平面。的一個(gè)法向量，則點(diǎn)區(qū)到平面。的距離為。=*^

〃

答案第26頁(yè)，共39頁(yè)

B

17.C

【詳解】

分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾

角與線(xiàn)線(xiàn)角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果.

詳解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DDi為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

ZXO,0,0),4(1,0,0),4(1,1,6),A(0,0,6),所以函=(—1,0,回，函=(1,1,&),

因?yàn)閏os(也,DBt)=蔚稿=擊金=V，所以異面直線(xiàn)AR與所成角的余弦值為

正，選C.

點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線(xiàn)面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g

直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出

平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.

18.B

【分析】

根據(jù)給定條件選定基底向量而，而，而，并表示出

gg'，再利用向量運(yùn)算即可得解.

n,r

【詳解】

在四棱錐P-A3CD中，底面ABC。為平行四邊形，連接AC,如圖，PE=2EB，PF=FC，

答案第27頁(yè)，共39頁(yè)

R

F

————__1———1—1——_I___

則EF=EB+3A+AP+PF=§P5—A3+AP+/PC=3PB-AB+AP+/(AC-AP)

=-(AB-AP)-AB+AP+-(AB+AD-AP)=--AB+-Ab+-AP=-(-AB+3Ab+AP'),

326266

又4?=AP=6,A￡>=2,ABAD=ZBAP=ZDAP=60°,

則福通=而拓=6x2xcos6O=6，ABAP=6x6xcos60=18)

因此，\EF\=-J(-AB+3AD+AP)2=-\IAB2+9AD+AP2-6ABAD+6ADAP-2ABAP

66

=-736+9x4+36-6x6+6x6-2x18=y/2.

6

故選：B

19.BC

【分析】

利用空間向量的模長(zhǎng)公式可判斷A選項(xiàng)的正誤;利用空間向量數(shù)量積公式得出7+]、7-1、

k兩兩垂直，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用空間向量夾角的余弦公式可判斷C選項(xiàng)的正誤；

利用空間向量夾角的余弦公式計(jì)算出7+]與[夾角的余弦值，可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，|7+]+對(duì)=(：+/+，=T+j2+k+2l-j+2i-k+2j-k=3,

.?./+1+q=6,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)榭臻g向量7、)\1都是單位向量，且兩兩垂直，則7+1、7-A1均為

非零向量，

i+=i7=0，[i+j\k=i-k+j-k=0,jj-k=i-k-j-k=0,

所以，7+，、7-%兩兩垂直，則｛7+71-1,可可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，B選項(xiàng)正確；

僅+1+9仄1K,

對(duì)于C選項(xiàng)，cos<?+/+左,E>=p---......=—j=—=—,C選項(xiàng)正確；

|7+/+斗:V3xl3

對(duì)于D選項(xiàng)，夕+7)?0-1)=7?2-1]+”-了=-i,

答案第28頁(yè)，共39頁(yè)

|『+］|=，（7+］）2=清+了+27,=4,同理可得區(qū)-|=&,

所以，cos</+］,,刁>=（：：?f,）=T=_：,

卜小UV2XV22

vO<<z+則<，+，］一/>=丁，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.

20.BCD

【分析】

舉出反例可判斷A；由空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算轉(zhuǎn)化條件為麗=g而+前，即可判斷B：由空

間向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷C；由空間向量夾角的坐標(biāo)表示可得cosA,再由

忸￡）|=|題卜inA即可判斷D.

【詳解】

對(duì)于A,若直線(xiàn)/?ua,貝iJ；.旃=0成立，故人〃。不是7.通=0的必要條件,

故A錯(cuò)誤；

___2___?_2__2

對(duì)于B,^OP=-OA+-OB+-OC,則g（麗-麗）中麗-西+|（反-肉,

—1——

所以AP=iP8+PC,所以P,A,B,C四點(diǎn)共面，故B正確;

對(duì)于C,由題意可得￡+B=(-k,A+2,2Z+3)，2a-b=(-2,0,l)>

若二+力與2。^垂直，則［二+0（2，4=24+2n3=0,解得k=-^,

故C正確；

對(duì)于D,由題意荏=(5,0,2),AC=(4,-3,0),

I-,,-------f—AC-AB204犧

則M=R=?8sAA=何同=近=干,

所以sinA=Jl-cos?A=

|福卜也4=回、/|=拒,故口正確.

所以AC邊上的高忸Q|=

故選：BCD.

21.AB

【分析】

答案第29頁(yè)，共39頁(yè)

利用向量法判斷ABD選項(xiàng)的正確性，求得三棱錐OBCDi的體積來(lái)判斷C選項(xiàng)的正確性.

【詳解】

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

房==所以A選項(xiàng)正確.

&(0,0,1),0(0,0,0),8(1,1,0),

西=((),-1,1),麗=(-1,-1,0),

8s(可耐=氤禽=正%6,

所以直線(xiàn)與8。所成的角為60。，B選項(xiàng)正確.

平面A41A。的法向量為〃=(0,1,0),

cos值同下高=g二Y,所以直線(xiàn)AC,與平面AAQQ所成角的正弦值為孝,

所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，AC±BD,AC±BBt,由于BOcBq=B,

所以AC_L平面8。。耳，

所以81coi=V(：-OBR=馬義SqgX°C

=所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

=3(2J26

故選：AB

答案第30頁(yè)，共39頁(yè)

22.BC

【分析】

對(duì)于A選項(xiàng)，建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解；對(duì)于B選項(xiàng)，由正方體的性質(zhì)可知。?平

面AAP,進(jìn)而可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)，利用等體積法求解即可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)，分別討論

所成的截面圖形即可判斷.

【詳解】

解：對(duì)于A選項(xiàng)，如圖1,建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（l,0,0）,8（1,1,0）,4（1,0,1）,D（0,0,0）,D,（0,0,l）,C（0,l,0）,

令/（小黑，但?！唬?，

所以COS/AC,I>P\=L7=

\/萬(wàn),2分+1

<0,4€（0,1）,

（4Z2+2）（4萬(wàn)+2）

所以品］乂€（0,1）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，

由于〃0）=等，41）=0，

所以等＜cos（n,R7）＜0,即直線(xiàn)與AC所成的角。滿(mǎn)足弓＜cos，＜0,

答案第31頁(yè)，共39頁(yè)

又因?yàn)镚e0,J,故,故直線(xiàn)力7與AC所成的角不可能是9故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

2V4Zyo

對(duì)于B選項(xiàng)，由正方體的性質(zhì)可知。必，平面4仙尸，所以平面RAPJ?平面A4P,故B

選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，三棱雉R-CDP的體積%=%=?xSsX">=《x!xlxlxl=4,是

3326

定值，故C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)AB的中點(diǎn)為。，當(dāng)P點(diǎn)在線(xiàn)段。8（不包含端點(diǎn)）上時(shí)，此時(shí)平面4尸。截

正方體所得的截面為AEF。梯形，如圖2；當(dāng)尸點(diǎn)在。點(diǎn)時(shí)，此時(shí)平面APR截正方體所得

的截面正三角形ABQi；當(dāng)尸點(diǎn)在線(xiàn)段。片（不包含端點(diǎn)）上時(shí)，此時(shí)平面APR截正方體所

得的截面為等腰三角形ARG,該三角形不可能為直角三角形，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

23.ACD

答案第32頁(yè)，共39頁(yè)

【分析】

對(duì)于A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，需要對(duì)各個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證.

選項(xiàng)A：由+=后,得%初=1,分析得E的軌跡為圓；

選項(xiàng)B：由ACJ.DBE,而點(diǎn)F在4。上，即尸的軌跡為線(xiàn)段與2，；

選項(xiàng)C：由E的軌跡為圓，F(xiàn)的軌跡為線(xiàn)段8,2,可分析得|EF|mM=4-r；

選項(xiàng)D：建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求最值.

【詳解】

對(duì)于A:|AE|L+/E2=逐,即|產(chǎn)僅層=逐，所以其?=1,即點(diǎn)E為在面

內(nèi)，以A1為圓心、半徑為I的圓上；故A正確；

對(duì)于B:正方體ABCD-ABCR中,ACA.BD,又AC_L3尸，且BDC\DF=D,所以AC_LDBF,

所以點(diǎn)F在4A上，即尸的軌跡為線(xiàn)段用A,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C:在平面內(nèi)，

BlG

A到直線(xiàn)BA的距離為4=應(yīng)，當(dāng)點(diǎn)E,尸落在AG上時(shí)，|所需=0—1；故c正確;

對(duì)于D:

建立如圖示的坐標(biāo)系，則4(0,0,0)1(2,0,0),A(0,0,2),0(0,2,0)

答案第33頁(yè)，共39頁(yè)

因?yàn)辄c(diǎn)E為在面AAGR內(nèi)，以4為圓心、半徑為1的圓上，可設(shè)E(cose,sine,2)

所以恁=(cosasina2),襦=(2,(),-2),而=(-2,2,0),

n-BD=-2x+2y=0

設(shè)平面ABD的法向量7=(x,y,z),則有

n\B=2x-2z=0

不妨令k1,則“=(1,1,1),

設(shè)4E與平面48。所成角為a,則:

|夜sin6+(+2|

sina=1cos傷碼I-厲汨-即。+勤6+2]

\/\n\x\AE\V5x5/3V15

當(dāng)且僅當(dāng)‘4時(shí)‘sina有最大值第;當(dāng)中

故D正確

故選：CD

【點(diǎn)睛】

多項(xiàng)選擇題是2020年高考新題型，需要要對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證.

24.--

2

【詳解】

-^=(x-l,l,-l),出=(3，y-2,2)

?.?A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn),

芥々，可知X=-2

.?.-2(x-l)=3,mx=--

-2=y-2,解得y=0

則x+y=_]

點(diǎn)睛：本題考查的是空間直角坐標(biāo)系和三點(diǎn)共線(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)，要掌握三點(diǎn)共線(xiàn)的特點(diǎn)，由含有

公共點(diǎn)的向量結(jié)合共線(xiàn)定理可以先求出4的值，然后計(jì)算求得X、)'，從而求得結(jié)果

25.叵

3

【分析】

以。為原點(diǎn)，D4為x軸，DC為丫軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能

求出點(diǎn)。到直線(xiàn)GF的距離.

【詳解】

答案第34頁(yè)，共39頁(yè)

以。為原點(diǎn)，D4為X軸，0c為y軸，DR為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則2(0,0,2),G(0,2,1),加(1,1,0),

西=(-1,-1,2),而=(-1,1,1),

???點(diǎn)R到直線(xiàn)GF的距離：

"=1尸山、］(奇溪，

vI股HFGI

=后\口百年

YV6xV33

點(diǎn)A到直線(xiàn)GF的距離為叵.

3

故答案為：匝.

3

【點(diǎn)睛】

空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：(1)觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)

寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線(xiàn)的方向向量；(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線(xiàn)垂

直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；(5)根據(jù)定理

結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

26.-

4

【分析】

由題意，BCAG=BC(AC+CG),根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律即可求解.

【詳解】

解：因?yàn)樗拿骟wABCD的每條棱長(zhǎng)都等于1,點(diǎn)G是棱CO的中點(diǎn)，

所以而=*+函，Ji|cG|=p|AC|=I,|BC|=I,

答案第35頁(yè)，共39頁(yè)

D

所以配.而=能?(而+五)=及.衣+配京

=|BC|-|AC|-COS60+|BC|-|CG|-COS120Q=(_；=；,

故答案為：

4

27.2

【分析】

由直線(xiàn)/的方向向量與平面。的法向量共線(xiàn)可得答案.

【詳解】

-=2

1=22