概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-第十章 點(diǎn)估計(jì)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-第十章點(diǎn)估計(jì)第一頁，共二十九頁，2022年，8月28日第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)問題1、總體參數(shù)概念總體參數(shù),狹義指總體分布的數(shù)學(xué)表達(dá)式中所含的參數(shù)。定義1.1

總體X的分布參數(shù),理論概率分布參數(shù),統(tǒng)稱為總體參數(shù)。例如,正態(tài)分布N(,2)的參數(shù)為,2;二項(xiàng)分布B(n,p)的參數(shù)為n,p;泊松分布P()的參數(shù)為等等。第二頁，共二十九頁，2022年，8月28日廣義來說，總體參數(shù)可指總體或理論分布的數(shù)字特征，其中包括狹義總體參數(shù)。例如，總體的原點(diǎn)矩、中心矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、偏度、峰度以及事件的概率，或總體具有某種特征A的個(gè)體的比率等等。第三頁，共二十九頁，2022年，8月28日2、參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)定義1.2

設(shè)X1,X2,…,Xn為總體X的樣本，為總體分布F(x;)中的未知參數(shù)，構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量T=T(X1,X2,…,Xn)作為的估計(jì)，則稱T=T(X1,X2,…,Xn)為的估計(jì)量；若樣本X1,X2,…,Xn的一個(gè)觀察值為x1,x2,…,xn，則稱t=T(x1,x2,…,xn)為的估計(jì)值，統(tǒng)稱為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，第四頁，共二十九頁，2022年，8月28日注1

點(diǎn)估計(jì)實(shí)際上是指用統(tǒng)計(jì)量的值去估計(jì)未知參數(shù)的值,又指用來估計(jì)未知參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量。例如,用樣本均值估計(jì)總體的期望,用樣本方差估計(jì)總體方差,用頻率估計(jì)概率。注2

若總體分布F(x;1,2,,r)中含有r個(gè)不同的未知參數(shù),則需由樣本X1,X2,…,Xn建立r個(gè)統(tǒng)計(jì)量Ti(X1,X2,…,Xn)作為相應(yīng)參數(shù)i的點(diǎn)估計(jì)。例如:正態(tài)總體N(,2)有兩個(gè)未知參數(shù)及2,而E(X)=,D(X)=2,可分別用樣本均值第五頁，共二十九頁，2022年，8月28日第二節(jié)估計(jì)方法1、矩估計(jì)法其基本思想是替換原理,即用樣本k階矩作為總體k階矩的估計(jì)量,建立含有待估參數(shù)的方程,從而解出待估參數(shù)。其特點(diǎn)是不需要假定總體分布有明確的分布類型。第六頁，共二十九頁，2022年，8月28日定義2.1

若總體X的分布函數(shù)F(x;1,2,,r)中含有r個(gè)未知參數(shù)1,2,,r,假定總體X的k階原點(diǎn)矩E(Xk)存在,(1kr),記作令其等于k階樣本原點(diǎn)矩第七頁，共二十九頁，2022年，8月28日由上面的方程組解出r個(gè)值即令分別取作為i的估計(jì)量,這種求估計(jì)量的方法稱之為矩估計(jì)法,由此得到的估計(jì)量稱為矩估計(jì)量。若有一樣本值x1,x2,…,xn，則稱為矩估計(jì)值。第八頁，共二十九頁，2022年，8月28日注1

設(shè)總體X的期望E(X)=和方差D(X)=2都是有限的，令解之可得與2的矩估計(jì)所以無論X服從什么分布，樣本均值和樣本方差S2總分別是總體期望與方差2的矩估計(jì)量。第九頁，共二十九頁，2022年，8月28日注2第十頁，共二十九頁，2022年，8月28日例2.1設(shè)X1,X2,…,Xn是來自總體X的樣本，當(dāng)X的分布為(1)正態(tài)分布N(,2)(2)指數(shù)分布E()(3)均勻分布U(a,b)(4)二項(xiàng)分布B(n,p)(5)泊松分布P()試求其中未知參數(shù)的矩估計(jì)。第十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日第十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日注:由此例可知,矩估計(jì)量不唯一。(4)X~B(n,p),E(X)=np,D(X)=np(1–p)(5)X~P(),E(X)=D(X)=第十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日例2.2

設(shè)總體X的概率密度為X1,X2,…,Xn是來自總體X的樣本。0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7為一個(gè)樣本觀察值，試求的矩估計(jì)值。第十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日例2.3

設(shè)總體X的概率密度為第十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日2、極大似然估計(jì)定義2.2

設(shè)總體X的分布函數(shù)F(x;)的形式已知,為未知參數(shù),Θ為的可能取值范圍,x1,x2,…,xn為X的一個(gè)樣本值,或(X為離散型)達(dá)到最大值(X為連續(xù)型)第十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日則稱為的極大似然估計(jì)值，為的極大似然估計(jì)量，統(tǒng)稱為的極大似然估計(jì)。第十七頁，共二十九頁，2022年，8月28日注若總體分布中含有兩個(gè)以上的未知參數(shù)1,2,,r時(shí)，則i的極大似然估計(jì)滿足第十八頁，共二十九頁，2022年，8月28日求極大似然估計(jì)的步驟(1)利用求導(dǎo)法求極大似然估計(jì)i)建立似然函數(shù)：ii)兩邊取對(duì)數(shù)：第十九頁，共二十九頁，2022年，8月28日iii)對(duì)i(1ir)求偏導(dǎo)數(shù)，并令其值為0iv)由上述r個(gè)等式解出(1ir)

，即為i的極大似然估計(jì)。第二十頁，共二十九頁，2022年，8月28日例2.4

設(shè)總體X的概率密度為0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7為一個(gè)樣本觀察值,試求的極大似然估計(jì)。第二十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日第二十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日例2.5

設(shè)樣本X1,X2,…,Xn來自泊松總體P()，試求未知參數(shù)的極大似然估計(jì)。第二十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日例2.6

設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(,2)，試求未知參數(shù)和2以及的極大似然估計(jì)。第二十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日第二十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日(2)利用極大似然估計(jì)定義求估計(jì)i)建立似然函數(shù)ii)由x1,x2,…,xn確定順序統(tǒng)計(jì)值x(1)x(2)…x(n)第二十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日則即為i(1i