機(jī)電系統(tǒng)建模與仿真

機(jī)電系統(tǒng)建模與仿真第一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日2.2機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模2.2.1機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建?；陂]環(huán)矢量法的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型：連桿機(jī)構(gòu)定義各個(gè)桿件矢量R1,R2,R3,...

閉環(huán)矢量方程，正交分解被動(dòng)桿件的速度方程

被動(dòng)桿件的加速度方程第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日舉例：①定義連桿矢量②閉環(huán)矢量方程

R2+R3=R1+R4③矢量投影方程

r2cosθ2+r3cosθ3=r1cosθ1+r4cosθ4，

r2sinθ2+r3sinθ3=r1sinθ1+r4sinθ4④速度方程Cω=D第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日⑤加速度方程Aε=B⑥仿真算法第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模D-H法建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型：

①對(duì)多體系統(tǒng)的每一剛體建立固連坐標(biāo)系；

②應(yīng)用坐標(biāo)變換原理推導(dǎo)機(jī)構(gòu)“末端坐標(biāo)系”相對(duì)于“參考坐標(biāo)系”的等價(jià)齊次變換矩陣。第五頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模坐標(biāo)變換設(shè)Pxyz=[px,py,pz]T

Puvw=[pu,pv,pw]T

矢量表示法：

Puvw=puiu+pvjv+pwkw

px=ixPuvw=puixiu+pvixjv+pwixkw

py=jyPuvw=pujyiu+pvjyjv+pwjykw

pz=kzPuvw=pukziu+pvkzjv+pwkzkw第六頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模方向余弦矩陣用方向余弦矩陣描述同一點(diǎn)在不同坐標(biāo)系統(tǒng)中的坐標(biāo)變換，也可用于描述剛體定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的方位。

R為正交矩陣RT=R?1，detL=±1。方向余弦矩陣中僅有三個(gè)獨(dú)立元素，各元素間存在如下的約束關(guān)系第七頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日剛體的連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)及其合成①當(dāng)剛體作連續(xù)兩次轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其合成轉(zhuǎn)動(dòng)的方向余弦矩陣為兩次分轉(zhuǎn)動(dòng)的方向余弦矩陣的乘積，乘積的順序與分轉(zhuǎn)動(dòng)的順序相反。②特殊情形：（注意變換方向）對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)

對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第八頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日以歐拉角表示的旋轉(zhuǎn)矩陣歐拉角方式I：繞Oz旋轉(zhuǎn)角→繞轉(zhuǎn)動(dòng)后的Ou軸轉(zhuǎn)動(dòng)θ角→繞轉(zhuǎn)動(dòng)后的Ow軸轉(zhuǎn)動(dòng)ψ角歐拉角方式II：繞Oz旋轉(zhuǎn)角→繞轉(zhuǎn)動(dòng)后的Ov軸轉(zhuǎn)動(dòng)θ角→繞轉(zhuǎn)動(dòng)后的Ow軸轉(zhuǎn)動(dòng)ψ角

歐拉角方式III：繞Ox旋轉(zhuǎn)ψ角（偏轉(zhuǎn)）→繞Oy軸轉(zhuǎn)動(dòng)θ角（俯仰）→繞Oz軸轉(zhuǎn)動(dòng)角（側(cè)傾）第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第九頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模齊次坐標(biāo)和變換矩陣齊次坐標(biāo)P=[wpx,wpy,wpz,w]T

齊次變換矩陣齊次平移矩陣第十頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日舉例：兩關(guān)節(jié)機(jī)器人，平面運(yùn)動(dòng)問(wèn)題O0x0y0z0→繞O0z0軸旋轉(zhuǎn)q1→O1x1y1z1→沿O1x1軸平移l1→O1x1y1z1→繞O1z1軸旋轉(zhuǎn)q2→O2x2y2z2→沿O2x2

軸平移l2→O2x2y2z2

0T1=Rz,q1Tx,l1，1T2=Rz,q2Tx,l2，T=0T1·1T2末端齊次坐標(biāo)（在O2x2y2z2）P2=[0001]變換至O0x0y0z0P0=TP2第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第十一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日2.2.2典型傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型定軸傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的模型第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第十二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的模型（1）：剛性傳動(dòng)軸情況第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第十三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的模型（2）：彈性傳動(dòng)軸情況第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第十四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的模型小結(jié)：（1）從動(dòng)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J等效到主動(dòng)軸上時(shí)，Je=n2J，n為由主動(dòng)軸到從動(dòng)軸的傳動(dòng)比。（2）類似地，對(duì)于從動(dòng)軸上的剛度K、阻尼B，等效到主動(dòng)軸上時(shí)，Ke=n2K，Be=n2B。（3）從動(dòng)軸上的力矩M等效到主動(dòng)軸上為nM。（4）從動(dòng)軸上的轉(zhuǎn)角折算到主動(dòng)軸上為/n。（5）主動(dòng)軸向從動(dòng)軸的轉(zhuǎn)換也成立。第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第十五頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日備注：齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化的一些前提假設(shè)（1）齒輪具有理想的齒廓幾何形狀。（2）齒輪的材質(zhì)是均勻的，在嚙合過(guò)程中嚙合剛度為常數(shù)。（3）齒輪嚙合過(guò)程無(wú)功率消耗。（4）齒輪傳動(dòng)過(guò)程是平穩(wěn)的，無(wú)脫嚙現(xiàn)象。第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第十六頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模絲杠螺母?jìng)鲃?dòng)機(jī)構(gòu)的模型慣性負(fù)載的等效轉(zhuǎn)換：轉(zhuǎn)換前后系統(tǒng)所具有的動(dòng)能不變。Je=mL(L/2)2第十七頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日備注：其它物理量的等效轉(zhuǎn)換力（矩）負(fù)載的等效轉(zhuǎn)換：轉(zhuǎn)換前后力（矩）負(fù)載對(duì)系統(tǒng)的作功（功率）不變。等效剛度：轉(zhuǎn)換前后彈簧的變形能相等。等效阻尼：轉(zhuǎn)換前后阻尼的耗能功率相等。第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第十八頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日同步齒形帶傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的模型主動(dòng)輪半徑：ri從動(dòng)輪半徑：rL齒形帶彈性變形：Δl=riirLL對(duì)主動(dòng)輪和從動(dòng)輪分別列寫(xiě)微分方程，并化簡(jiǎn)。第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第十九頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日思考題：機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)及簡(jiǎn)化K1,K2,K3—I,II,III軸的扭轉(zhuǎn)剛度K4—絲桿螺母副及基座的軸向剛度J1,J2,J3—I,II,III軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Mi—驅(qū)動(dòng)馬達(dá)輸入轉(zhuǎn)矩m—工作臺(tái)直線運(yùn)動(dòng)部分質(zhì)量B—工作臺(tái)直線運(yùn)動(dòng)速度阻尼x0—工作臺(tái)位移l—絲桿螺母的螺距z1,z2,z3,z4—齒輪齒數(shù)第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第二十頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日2.2.3系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型拉格朗日法的基本原理拉格朗日方程T——質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能，qj——廣義坐標(biāo)，Qj——廣義力或L——拉格朗日函數(shù)，L=K?P；K、P——質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能和勢(shì)能；廣義力Fj中不含有勢(shì)力第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第二十一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日廣義力的計(jì)算定義式

在虛位移上的元功之和相等有勢(shì)力的廣義力

V——?jiǎng)菽芎瘮?shù)

第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第二十二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日舉例：二關(guān)節(jié)機(jī)械手①選取廣義坐標(biāo)，建立坐標(biāo)系②計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)能和勢(shì)能③求出拉格朗日函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)④求廣義力⑤代人拉格朗日方程第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第二十三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日Kane法Kane方程（1）：在具有獨(dú)立廣義坐標(biāo)qj（j=1,2,…,k）和m（m<k）個(gè)速度約束的非完整約束系統(tǒng)中，引入km個(gè)獨(dú)立的系統(tǒng)廣義速率us（s=1,2,…,km），使廣義速度表達(dá)為廣義速率的線性組合：

Wjs和Wj為廣義坐標(biāo)qj和時(shí)間t的確定性函數(shù)；設(shè)若有us=ds/dt，稱s為對(duì)應(yīng)于us的偽坐標(biāo)。第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第二十四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

Kane方程（2）：質(zhì)點(diǎn)系中任一質(zhì)點(diǎn)的矢徑ri（i=1,2,…,n）均為廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)：

ri=ri(q1,q2,…,qk,t)質(zhì)點(diǎn)的速度將式中廣義速度表達(dá)為廣義速率線性組合的形式第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第二十五頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日Kane方程（3）：令其中vi(s)稱質(zhì)點(diǎn)i的第s偏速度。質(zhì)點(diǎn)i的速度即表示成廣義速率的線性組合第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第二十六頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日Kane方程（4）：將質(zhì)點(diǎn)速度vi對(duì)廣義速率取變分故，代入動(dòng)力學(xué)普遍方程第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第二十七頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模Kane方程（5）：定義對(duì)應(yīng)于us的廣義主動(dòng)力廣義慣性力則由s的相互獨(dú)立性，得到Kane方程第二十八頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日利用Kane方程建立動(dòng)力學(xué)模型的步驟（1）：建立偏速度方程：對(duì)自由度為k的多剛體系統(tǒng)，記i、

vCi及vij分別為系統(tǒng)中任一剛體Bi的角速度、質(zhì)心速度及其上任意質(zhì)點(diǎn)Pij的速度，據(jù)Kane方程由于剛體運(yùn)動(dòng)可視為平動(dòng)和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的合成

vij=vCi+iij

其各偏速度之間也存在類如上式的關(guān)系

vij(s)=vCi(s)+i(s)ij第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第二十九頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日利用Kane方程建立動(dòng)力學(xué)模型的步驟（2）：廣義主動(dòng)力方程：作用于剛體Bi的廣義主動(dòng)力

記Fi=∑Fij表示作用于剛體Bi的全部主動(dòng)力之和，Li=∑ijFij表示全部Fij對(duì)Bi質(zhì)心的矩的和。質(zhì)點(diǎn)系的廣義主動(dòng)力為各剛體上廣義主動(dòng)力之和

或?qū)懗删仃囆问降诙聶C(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第三十頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第三十一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日利用Kane方程建立動(dòng)力學(xué)模型的步驟（3）：廣義慣性力方程：作用于剛體Bi的廣義慣性力記Fi*=∑mijaij=MiaCi，Li*=∑ijmijaij，Mi和aCi分別為剛體Bi的質(zhì)量和質(zhì)心加速度。進(jìn)一步地，因aij=aCi+iij+i(iij)第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第三十二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日寫(xiě)成正交分量形式以ei=[ei1,ei2,ei3]表示{Li*}的向量基

第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第三十三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日綜合為矩陣形式第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第三十四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日利用Kane方程建立動(dòng)力學(xué)模型的步驟（4）：將以上得到的廣義主動(dòng)力和廣義慣性力代入Kane方程寫(xiě)成矩陣形式亦即第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第三十五頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模備注（1）：關(guān)于矢量的坐標(biāo)列陣對(duì)于任意的矢量ω=ωxi+ωyj+ωzk，ωx、ωy和ωz為其在直角坐標(biāo)系的正交分量，則稱下列矩陣ω為的坐標(biāo)列陣第三十六頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模備注（2）：關(guān)于剛體的慣性（或慣量）矩陣Jxx、Jyy、Jzz——?jiǎng)傮w對(duì)x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（慣量矩）；Jxy、Jyz、Jzx——?jiǎng)傮w的慣量積第三十七頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日備注（3）：主軸坐標(biāo)系和慣量主軸使慣量矩陣成為對(duì)角陣的連體坐標(biāo)系稱為剛體的主軸坐標(biāo)系，各坐標(biāo)軸稱剛體的慣量主軸，慣量矩陣的對(duì)角線元素稱為剛體的主慣量矩。剛體對(duì)不同參考點(diǎn)均存在不同的慣量主軸和主慣量矩，其中對(duì)質(zhì)心的慣量主軸和主慣量矩稱中心慣量主軸和中心主慣量矩。第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第三十八頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日備注（4）：對(duì)于慣量主軸的判斷1.剛體對(duì)稱軸為其上各點(diǎn)的慣量主軸，過(guò)對(duì)稱軸上一點(diǎn)并與之垂直的任意軸也是該點(diǎn)的慣量主軸；2.剛體對(duì)稱平面上各點(diǎn)的法線為該點(diǎn)的慣量主軸；3.過(guò)球?qū)ΨQ剛體對(duì)稱點(diǎn)任意軸為該點(diǎn)的慣量主軸；4.中心慣量主軸上各點(diǎn)的慣量主軸與前者平行。第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第三十九頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日Kane法應(yīng)用舉例①選取廣義速率

u1=dθ1/dt，u2=dθ2/dt②將質(zhì)心速度和角速度表達(dá)為廣義速率的線性組合，得到相應(yīng)的偏速度③求解廣義主動(dòng)力④求解廣義慣性力⑤建立動(dòng)力學(xué)方程第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第四十頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日聯(lián)立約束法建立動(dòng)力學(xué)模型根據(jù)牛頓定律列出每個(gè)連接桿件（運(yùn)動(dòng)部件）的力（力矩）平衡方程，同時(shí)將系統(tǒng)約束方程一起聯(lián)立，建立約束矩陣方程。通過(guò)求解約束矩陣方程不僅可求出各構(gòu)件動(dòng)力-運(yùn)動(dòng)關(guān)系，還可同時(shí)解出各構(gòu)件間的約束反力。第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第四十一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)用舉例①力平衡方程②約束方程③約束矩陣方程第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第四十二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日2.3面向?qū)嶓w的機(jī)構(gòu)建模2.3.1基于ADAMS的機(jī)械系統(tǒng)建模2.3.2基于MATLAB的機(jī)構(gòu)建模第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第四十三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日2.4試驗(yàn)建模2.4.1辨識(shí)的基本概念試驗(yàn)建?；蛳到y(tǒng)辨識(shí)：根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。確定數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)和估計(jì)數(shù)學(xué)模型參數(shù)。離線辨識(shí)與在線辨識(shí)。試驗(yàn)建模的方法：頻率響應(yīng)法、脈沖試驗(yàn)法、隨機(jī)信號(hào)試驗(yàn)法第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第四十四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日2.4.2最小二乘辨識(shí)方法最小二乘法的定義（1）：數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)對(duì)SISO系統(tǒng)：A(z1)y(k)=B(z1)u(k)+e(k)

將算子A和B的各系數(shù)組成向量

=[a1,a2,…,an,b0,b1,b2,…,bn]T

并令(k)=[y(k1),…,y(kn),u(k),…,u(kn)]T

y(k)=T(k)+e(k)

對(duì)N次觀測(cè)，將k=n+1,…,n+N代入上式，得到N個(gè)方程組成的線性方程組。第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第四十五頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日最小二乘法的定義（2）：線性方程組形式的數(shù)學(xué)模型令Y=[y(n+1),y(n+2),…,y(n+N)]T

e=[e(n+1),e(n+2),…,e(n+N)]T

那么Y=+e第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第四十六頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日最小二乘法的定義（3）：殘差及準(zhǔn)則函數(shù)記參數(shù)的估計(jì)值為，由模型估計(jì)y(k)的值殘差：估計(jì)值和實(shí)際觀測(cè)的差準(zhǔn)則函數(shù)：

或J()=(Y)T(Y)

使J()最小的估計(jì)值稱的最小二乘估計(jì)。第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第四十七頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日最小二乘的解：

J()取極值的條件：J()=0

TTY=0

T=TY

普通最小二乘估計(jì)第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第四十八頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日噪聲對(duì)估計(jì)值的影響假若噪聲e(k)是具有不同統(tǒng)計(jì)特性的隨機(jī)變量，則引入加權(quán)因子w(k)

或令w=diag[w(n+1),w(n+2),…,w(n+N)]

J()=(Y)T·w·(Y)

由J()=0，當(dāng)e(k)是相互獨(dú)立且具有同分布的隨機(jī)變量，w=I普通假定e(k)是與輸入無(wú)關(guān)的白噪聲并服從正態(tài)分布。第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第四十九頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日統(tǒng)計(jì)特性：①無(wú)偏性②有效性當(dāng)w=R1時(shí)，加權(quán)最小二乘估計(jì)是最小誤差方差估計(jì)。③一致性：若e(k)是零均值白噪聲序列（高斯白噪聲），是的一致估計(jì)。④漸進(jìn)正態(tài)性：若e(k)是高斯白噪聲，服從正態(tài)分布。第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第五十頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日最小二乘遞推算法（1）：無(wú)矩陣求逆，減少計(jì)算量和存儲(chǔ)量；跟蹤時(shí)變系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)在線辨識(shí)。對(duì)于任意的N次觀測(cè)，記PN=[NTN]1，有最小二乘解增加一組新觀測(cè)值uN+1=u(n+N+1)，yN+1=y(n+N+1)：

YN+1=N+1T+eN+1；其中，YN+1=[YNT,yN+1]T，N+1T=[NT,N+1]，

N+1=[yn+N,…,yN+1,un+N+1,…,uN+1]T第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第五十一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日最小二乘遞推算法（2）：PN+1與PN間的遞推關(guān)系第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第五十二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日最小二乘遞推算法（2）：與間的遞推關(guān)系第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第五十三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日最小二乘遞推算法（3）：算法流程①由m組數(shù)據(jù)確定初值和Pm；或簡(jiǎn)單令，P0=2I，為大的正數(shù)。②引入新一組觀測(cè)數(shù)據(jù)uN+1和yN+1，構(gòu)造

N+1=[yn+N,…,yN+1,un+N+1,…,uN+1]T③計(jì)算增益矩陣GN+1=PNN+1/(1+N+1TPNN+1)④計(jì)算預(yù)報(bào)誤差，滿足迭代終止條件時(shí)結(jié)束計(jì)算。⑤不滿足迭代終止條件時(shí)計(jì)算PN+1=PNGN+1N+1TPN及，并轉(zhuǎn)②。第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第五十四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日最小二乘適應(yīng)算法（1）：數(shù)據(jù)飽和現(xiàn)象增益矩陣隨數(shù)據(jù)的增長(zhǎng)而漸趨于0，使。發(fā)生數(shù)據(jù)飽和時(shí)如參數(shù)估計(jì)值距真值偏差尚遠(yuǎn)，算法因失去修正能力而失效；對(duì)時(shí)變過(guò)程，將導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)值不能跟蹤時(shí)變參數(shù)的變化?？朔?shù)據(jù)飽和的方法：設(shè)法降低舊數(shù)據(jù)的影響。對(duì)時(shí)變系統(tǒng)，在辨識(shí)算法中充分利用新數(shù)據(jù)所包含的信息。第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第五十五頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日最小二乘適應(yīng)算法（2）：遺忘因子法引入遺忘因子（0<<1），并令=2

須為接近于1的正數(shù)，適用于常系數(shù)或緩慢時(shí)變系統(tǒng)。第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第五十六頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日最小二乘適應(yīng)算法（3）：限定記憶法設(shè)長(zhǎng)度為N的數(shù)據(jù)，有NT=[1,2,…,N]，且PN=(NTN)1為已知，此時(shí)有估計(jì)。當(dāng)有新數(shù)據(jù){uN+1,yN+1}加入，據(jù)遞推公式有為保持?jǐn)?shù)據(jù)長(zhǎng)度為N，在序列中剔除數(shù)據(jù){u1,y1}，并對(duì)pN+1作修正，有存在估計(jì)，注意此處N+1T=[2,…,N,N+1]，YN+1=[yn+2,…,yn+N,yn+N+1]T。第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第五十七頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日改進(jìn)的最小二乘算法（1）：增廣最小二乘法在數(shù)學(xué)模型中引入噪聲模型：A(z1)y(k)=B(z1)u(k)+D(z1)e(k)，或y(k)=T(k)+e(k)=[a1,a2,…,ana,b0,b1,b2,…,bnb,d1,d2,…,dm]T(k)=[y(k1),…,y(kna),u(k),…,u(knb),

e(k1),…,e(km)]T在此要求e(k)是可測(cè)量的。遞推增廣增廣最小二乘法的算法與RLS的形式一致，只是參數(shù)向量的維數(shù)擴(kuò)充了m維。算法簡(jiǎn)單，具有一致無(wú)偏性。第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第五十八頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日改進(jìn)的最小二乘算法（2）：廣義最小二乘法在SISO模型中，將有色噪聲e(k)描述為以白噪聲序列{(k)}為輸入的線性系統(tǒng)的輸出：D(z1)e(k)=(k)，D(z1)=1+d1z1+d2z2…+dmzm

將D(z1)算子作用于SISO模型：A(z1)D(z1)y(k)=B(z1)D(z1)u(k)+D(z1)e(k)

即A(z1)D(z1)y(k)=B(z1)D(z1)u(k)+(k)

將yf(k)=D(z1)y(k)和uf(k)=D(z1)u(k)視為白化濾波處理后的輸出和輸入。A(z1)yf(k)=B(z1)uf(k)+(k)第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模第五十九頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模改進(jìn)的最小二乘算法（2）：廣義最小二乘法求解步驟①令D(z1)=1，利用基本最小二乘法對(duì)A(z1)和B(z1)進(jìn)行估計(jì)得到和；②計(jì)算；③由D(z1)e(k)=(k)，估計(jì)；④由D(z1)計(jì)算yf(k)=D(z1)y(k)及uf(k)=D(z1)u(k)，而后重新估計(jì)A(z1)和B(z1)；

⑤重復(fù)步驟②~④，直到滿足估計(jì)精度。第六十頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模改進(jìn)的最小二乘算法（2）：廣義最小二乘法的遞推算法設(shè)tk時(shí)刻的模型和噪聲參數(shù)估計(jì)分別為和①在tk+1時(shí)刻對(duì)新加入數(shù)據(jù)yk+1和uk+1進(jìn)行濾波：并令②據(jù)和RLS算法將系統(tǒng)參數(shù)修正為③計(jì)算殘差估計(jì)，并構(gòu)造殘差數(shù)據(jù)向量④據(jù)k+1和RLS算法將系統(tǒng)參數(shù)修正為第六十一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模改進(jìn)的最小二乘算法（3）：輔助變量法原理設(shè)存在與同階的輔助變量矩陣Z，使非奇異，且（Z與e獨(dú)立）當(dāng)矩陣Z的選擇與噪聲無(wú)關(guān)而與數(shù)據(jù)陣密切相關(guān)，并滿足上述假設(shè)條件時(shí)，即為的無(wú)偏一致估計(jì)：輔助變量的選擇方法：迭代輔助變量算法、自適應(yīng)濾波法、純滯后和Tally原理等。第六十二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日第二章機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)建模方法

——機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)建模改進(jìn)的最小二乘算法（3）：迭代輔助變量法的參數(shù)估計(jì)流程①首先據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)、Y計(jì)算最小二乘估計(jì)。②將代入關(guān)系式：A(z1)w(k)=B(z1)u(k)，求得w(k)，w(k)為假定的理想系統(tǒng)在u(k)輸入下的輸出。③構(gòu)造輔助變量矩陣④求，并以取代，返回步驟②