第三節(jié)-二階常系數(shù)線性微分方程解法

第三節(jié)-二階常系數(shù)線性微分方程解法第一頁，共35頁。第三節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程的解法一、二階常系數(shù)線性微分方程解的性質(zhì)與通解的結(jié)構(gòu)二階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式其中a,b是常數(shù).(1)(2)稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程。

2第二頁，共35頁。二階常系數(shù)齊次線性方程解的性質(zhì)回顧一階齊次線性方程1、方程(1)的任意兩個解的和仍是(1)的解；2、方程(1)的任意一個解的常數(shù)倍仍是(1)的解；3第三頁，共35頁。二階常系數(shù)齊次線性方程解的性質(zhì)1、方程(2)的任意兩個解的和仍是(2)的解；2、方程(2)的任意一個解的常數(shù)倍仍是(2)的解；也是(2)的解.(稱線性無關(guān)),則上式為(2)的通解.定理1(2)4第四頁，共35頁。二、二階常系數(shù)齊次線性方程的解法代數(shù)方程(3)稱為微分方程(2)的特征方程,它的根稱為特征根(或特征值).

(3)(2)5第五頁，共35頁。故它們線性無關(guān),

因此(2)的通解為

(3)情形1

6第六頁，共35頁。情形2

需要求另一個特解7第七頁，共35頁。情形3

可以證明,是(2)的解，且線性無關(guān)，所以方程(2)的通解為

8第八頁，共35頁。小結(jié)特征根的情況通解的表達(dá)式實(shí)根實(shí)根復(fù)根9第九頁，共35頁。解特征方程為故所求通解為例1例2解特征方程為解得故所求通解為特征根為10第十頁，共35頁。解特征方程為故通解為例3特征根為11第十一頁，共35頁。對應(yīng)齊次方程三、二階常系數(shù)非齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法(1)(2)1、方程(1)的任意一個解加上方程(2)的任意一個解是(1)的解；2、方程(1)的任意兩個解之差是(2)的解

.定理2那么方程(1)的通解為12第十二頁，共35頁。問題歸結(jié)為求方程(1)的一個特解.只討論

f

(x)的兩種類型.用待定系數(shù)法求解.對應(yīng)齊次方程三、二階常系數(shù)非齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法(1)(2)那么方程(1)的通解為定理213第十三頁，共35頁。則14第十四頁，共35頁。情形1

若

r

不是特征根,

即情形2

若

r

是特征方程的單根,即15第十五頁，共35頁。情形3

若

r

是特征方程的二重根,即16第十六頁，共35頁。綜上討論設(shè)特解為其中17第十七頁，共35頁。解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根例4代入原方程,得

18第十八頁，共35頁。解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程，原方程通解為例5得19第十九頁，共35頁。解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根例6代入方程,得20第二十頁，共35頁。解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根例6注意：現(xiàn)即即得這樣比代入原方程要簡便得多。21第二十一頁，共35頁。解例7對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根22第二十二頁，共35頁。此時原方程的通解為

23第二十三頁，共35頁?？梢宰C明,方程(1)具有如下形式的特解:24第二十四頁，共35頁。解例8所求通解為

對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得

25第二十五頁，共35頁。解例9所求通解為

對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得

26第二十六頁，共35頁。定理3(非齊次線性方程的疊加原理)

和的特解,的一個特解,27第二十七頁，共35頁。例10解代入得28第二十八頁，共35頁。解代入得原方程通解為例1029第二十九頁，共35頁。解例11是對應(yīng)齊次方程的通解,但沒有原方程的特解,

故(B)也不對；

二階非齊次線性微分方程

30第三十頁，共35頁。31第三十一頁，共35頁。解例12求導(dǎo)，原方程改寫為再求導(dǎo)，32第